Théorie des groupes fuchsiens
Dans une série de mémoires présentés à l'Académie des Sciences j'ai défini certaines fonctions nouvelles que j'ai appelées fuchsiennes, kleinéennes, thétafuchsiennes et zétafuchsiennes. De même que les fonctions elliptiques et abéliennes permettent d'intégrer les différentielles algébriques, de même les nouvelles transcendantes permettent d'intégrer les équations diftérentielles linéaires à coefficients algébriques. J'ai résumé succinctement les résultats obtenus dans une note insérée aux Mathematische Annalen. Ayant l'intention de les exposer en détail, je commencerai, dans le présent travail, par étudier les propriétés des groupes fuchsiens, me réservant de revenir plus tard sur leurs conséquences au point de vue de la théorie des fonctions.
§ 1. Substitutions réelles.
Soit 2 une variable imaginaire définie par la position d'un point dans un plan; t une fonction imaginaire de cette variable définie par la l'elation :
cz + d
Je supposerai, ce qui ne restreint pas la généralité, que l'on a:
ad — hc = 1 .
Si le point s décrit deux arcs de courbe se coupant sous un certain gle a, le point t décrira de son côté deux arcs de courbe se coupant
an^
Acfa mathematica. I. .
2 H. Poinçaré.
SOUS le nième angle et, cest à dire que la substitution (z, ,|(') con-
serve les angles.
La fonction ? est en effet monogène.
cz + a °
Si z décrit un cercle, / décrit également Tin cercle; c'est h dire que
la substitution ( 2, ^ 1 chano;e les cercles en cercles.
Enfin si z^, z^, z.^, z^ sont quatre valeurs de z et si t^, f.-^, t.^, t^ sont les valeurs correspondantes de t, on a:
Il existe en général deux valeurs de z qui sont égales aux valeurs correspondantes de t; c'est ce qu'on appelle les points doubles de la substitution (1).
Si (a + dy-^i
les points doubles sont distincts; et si nous les appelons a et y9 la relation (1) peut s'écrire:
K étant une constante que j'appellerai mnMpllcateur. Si au contraire
(') J'emploierai dans ce qui suit les notations de M. Jordan.
La substitution [2, /{z)] ou bien [x, «/ ; / (x, «/), {«^ (.r, ?/)] sera 1 opération qui consiste à changer z en f{z) ou bien celle qui consiste à changer x en f{x^y) et y en ^ (x, ly)- La substitution inverse de [z^f{z)] sera [/(«), ^]; le produit de deux substitutions sera 1 opération qui consiste à faire successivement ces deux substitutions.
Un système de substitutions formera un groujie si la substitution inverse de toute substitution du sj-stème et le produit de deux substitutions quelconques du système font également partie du système.
Un groupe A est isomorphe à un autre groupe J5 si à toute substitution de B corresjiond une et une seule substitution de A et de telle sorte quau produit de deux substitutions do iJ, corresponde le produit des deux substitutions correspondantes de ^l.
Si B est également isomorphe à ^, les deux groupes sont isomorphes entre eux et 1 isomnriibisnie est holoèdrique : autreuiciit il est mérièdrique.
TIii'cmIi.' dos groupes fuchsieiis. 8
{a + dy = i
k'S points doubles se confondent et l'on ;i:
i.a relation (1) peut alors s'écrire:
Telles sont les principales propriétés des substitutions linéaires p, — , .)•
Mais nous allons faire une hypothèse de plus; nous supposerons (pie les coëfticients a, h, c, d sont réels. Je dirai alors ([ue la substitution (1) est une substitution réelle.
Il en résulte que la partie imaginaire de t est positive, nulle ou négative selon que la partie imaginaire de ^ est elle-même positive, nulle ou négative; c'est à dire que la substitution (1) conserve l'axe des parties réelles que j'appellerai désormais X et change également en elle-même la partie du plan qui est au dessus de cet axe.
Si z décrit un cercle ayant son centre sur X, t décrira également un cercle ayant son centre sur X. Si s^ et z.^ sont deux quantités imaginaires conjuguées, les valeurs correspondantes t^ et /^ tle t seront aussi imaginaires conjuguées.
Si a et i? sont deux valeurs de z, y et i) les valeurs correspondantes de t; si a', ^?', ;-', u sont les valeurs conjuguées de a, y?, y, d; on aura en vertu de la relation (2)
« — « fi — li Y — y o — o
a — ii ji — « ;- — o o — y
Si l'on pose pour abréger:
a — «' /î — jï
cette relation s'écrira:
4 H. Poincaré.
Les substitutions réelles ont" été étudiées par différents géomètres et en particulier par M" Klein dans ses rccherclies sur les fonctions modulaires; il les a partagées en substitutions elliptiques, paraboliques et hyperboliques.
Les substitutions elliptiques sont celles pour lesquelles:
(a + ciy < 4.
Les points doubles a et /9 sont imaginaires conjugués; l'un d'eux est par conséquent au dessus de X, l'autre au dessous; la relation (1) peut se mettre sous la forme (3) et la constante K est une quantité imaginaire dont le module est l'unité. Si z décrit un cercle passant par a et /?, i décrira également im cercle passant par a et /^ et coupant le premier sous un angle égal à l'argument de K.
La substitution (1) change en elle-même toute circonférence qui ayant son centre sur le prolongement de a^ coupe ce segment harmoniquement.
Les substitutions paraboliques sont celles pour lesquelles:
(a + dy = 4.
Les points doubles se confondent en un seul qui est situé sur X. La relation (1) se met sous la forme (4) et de telle sorte que ce soit réel. Si s décrit un cercle passant par et, t décrira également un cercle passant par a et tangent au premier. La substitution (l) n'altère pas les circonférences qui sont tangentes à X en oc. Soit C une pareille circonférence; soit ;H(, un point de cette circonférence C, la substitution (1) le changera en un autre point tn^ de cette même circonférence; elle changera ;», en un autre point m.^ de C, m^ en un autre point m.^, etc. Quand K tendra vers l'infini le point uiy se rapprochera indéfiniment de a. Soit de même m^ le point que la substitution (1) change en m^, m^ le point que cette substitution change en m^, etc. Quand x tendra vers l'infini, le point «(j, se rapprochera aussi indéfiniment de a.
J'appelle C^ le cercle qui a son centre sur X et qui passe par a et par »«j,; qui par conséquent coupe orthogonalement le cercle C en a et en niy. Il est clair que la substitution (1) changera C'j en C^, C\ en C\, C\ en C\, etc. et en général 6\ en Cy.^^. De plus si ^ est infini positif ou négatif, €'., se réduit à un cercle de rayon infiniment petit. C'est dire que si l'on applique une infinité de fois la substitution (1), ou la
Théorie des groupes fuchsicus. 5
substitution inverse à un cercle passant par a et ayant son centre sur X, le rayon de ce cercle devient infiniment petit.
Il en résulte qu'un arc de courbe de longueur finie, ne cou[)ant pas X ne pourra rencontrer un nombre infini de cercles C'y, c'est à dire de transformés successifs d'un cercle C\ ayant son centre sur X et passant par a.
Les substitutions hyperboliques sont celles pour lesquelles:
(a + dy > 4.
Les points doubles a et y9 sont distincts et situés sur X La relation (1) se met sous la forme (3) et de telle sorte que K soit réel et positif. Je puis de plus toujours supposer:
Si 3 décrit un cercle passant par et ou par ^î, f décrira également un cercle passant par ot ou par yî et tangent au premier. La substitution (1) n'altère pas les circonférences qui passent par a et y?.
J'appelle comme plus haut C une circonférence passant par ot et ^9, et
TO 2, m^j, m„, JH,, »ij.
une série de points tels que la substitution (1) change ni^ en iUy.^i. 11 est clair que le point m^ se rapprochera indéfiniment de j3 quand ^ tendra vers -j" <^ ^t de a quand ^ tendra vers — co.
J'appelle aussi C^ le cercle qui ayant son centre sur X passe par a et par m,. Lorsque ;f tendra vers + oo, C^ se rapprochera indéfiniment du cercle décrit sur a^î comme diamètre; lorsque x tendra vers — co, le rayon de C'y diminuera indéfiniment. C'est dire que si l'on applique la substitution (1) une infinité de fois à un cercle C'^ passant par a et ayant son centre sur X, on obtiendra à la limite un cercle ayant a^î pour diamètre. Si on applique une infinité de fois à C'^ la substitution inverse, le rayon limite sera nul.
Si au contraire on appliquait une infinité de fois la substitution (1) à un cercle passant par ^3 et a3'ant son centre sur X, le rayon limite serait nul, tandis qu'en lui appliquant une infinité de fois la substitution inverse, on obtiendrait à la limite le cercle (jui a ot^î pour diamètre.
6 H. Poincaré.
11 réïsulte du là (lu'uii arc de coiirljc de longueur lin'u'. ne coupant pas X, rencontrera un nombre infini de cercles C'^, c'est à dire de transformés successifs du cercle C\, ou bien un nombre fini de ces transformés, selon qu'il rencontrera ou ne rencontrera pas le cercle qui a a/9 pour diamètre.
Si l'on a:
il existe une substitution réelle (jui change a en y et fi en o. Cette substitution est définie par la relation:
11 est une autre propriété des substitutions réelles sur lacjuelle je voudrais attirer l'attention; en diftérentiant la relation (1) on trouve:
àt 1
dz {cz + dy Si de plus j'appelle y la partie imaginaire de 2, Y celle de f, je trouve:
, dt Y mod — = — .
dz V
§ 2. Figures congruentes.
Je dirai que deux figures sont congruentes quand l'une est la transformée de l'autre par une substitution réelle. Les substitutions réelles formant un groupe, il est clair (|ue deux figures congruentes à une même troisième sont congruentes entre elles.
Je puis énoncer tout d'abord les théorèmes suivants:
Dans deux figures congruentes les angles homologues sont égaux.
Si dans deux figures congruentes, le point y est homologue de a et le point â homologue de y9, on a:
Cette relation peut prendre une autre forme.
Considérons en eft'et les quantités a, fl et leurs conjuguées a', fl' de telle sorte (|Ut':
Les (luatre points a, ^, a, ^ sont sur un même cercle qui a son centre sur X. Supposons de plus que a et ^ soient tous deux au-dessus de X. Ce cercle coupe X en deux points que j'appelle li et k; h sera celui de ces deux points qui est sur l'arc y9^3', k celui de ces deux points qui est sur l'ai-c aa'. Je pose
[a, ;?] est essentiellement réel, positif et plus grand que 1. De plus on a:
Si Y est un point de l'arc de cercle a ;9, on a:
[«, r] [r, iA = [«, /?]•
11 est clair maintenant qu'en employant cette notation nouvelle, on peut mettre la relation (1) sous la forme:
Voyons ce qui se passera quand ot et /5 seront intiniment voisins. Soit: ^
Z = X + Il ]' — 1
h = dx + dy ] — 1
mod dz = \dx- + dy^-
On aura, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur:
^ , , mod dz h z + dz] = \ + —^
ou:
, , mod dz
L [z, z + dz\ =
On voit ainsi que lo logarithme népérien de [z, z + <l^ est proportionnel au module de dz et indépendant de son argument.
L'intéscrale
/ mod tZz
8 H. Poincarc.
prise le long d'un arc de courbe quelconque s'appellera la L de cette courbe.
L'intégrale double:'
' dxdy
ff
prise à l'intérieur d'ime aire plane quelconque sera la S de cette aire.
D'après ce qui précède deux arcs de courbe congruents ont même L; deux aires congruentes ont même S. La L d'un arc de cercle ajS ayant son centre sur X sera le logarithme népérien de [et, j3].
Je ne puis passer sous silence le lien qui rattache les notions précédentes à la géométrie non-euclidienne de Lobatchewski.
Supposons que l'on convienne d'enlever aux mots droite, longueur, distance, surface leur signification habituelle, d'appeler droite tout cercle qui a son centre sur X, longueur d'une courbe ce que nous venons d'appeler sa L, distance de deux points la L de l'arc de cercle qui vniit ces deux points en ayant son centre sur X et enfin surface d'une aire plane ce que nous appelons sa S.
Supposons de plus qu'on conserve aux mots aiigle et cercle leur signification, mais eu convenant d'appeler centre d'un cercle le point qui est à une distance constante de tous les points du cercle (d'après le sens nouveau du mot distance) et rayon du cercle cette distance constante.
Si l'on adopte ces dénominations, les théorèmes de Lohatcheivski sont vrais, c'est à dire que tous les théorèmes de la géométrie ordinaire s'appliquent à ces nouvelles quantités, sauf ceux qui sont une conséquence du postulatum d'Euclide.
Cette terminologie m'a rendu de grands services dans mes recherches, mais je ne l'emploierai pas ici pour éviter toute confusion.
§ 3. Groupes Discontinus.
Envisageons une infinité de substitutions de la forme: (1) (., ^ii±-))
qui, en posant pour abréger:
Théorie des groupes fuclisiens. 9
peuvent s'écrire sous la forme:
Pour abréger encore, je dirai simplement la substitution
Je suppose que / est un indice qui varie de 0 à l'infini. Je suppose de plus:
d'où
Je suppose enfin que ces substitutions forment un groupe. Je vais définir certains symboles dont je serai amené à faire usage dans la suite. Je poserai:
f:{z) =MMz% ff{z) =fin{z% /"■■(^) =Mfr' W]
Je définirai de même, par une extension toute naturelle, le symbole f.'" (z) quand m sera nul ou négatif. Je poserai:
/,» iz) = z, z= /-' (/ {z)i fr' (z) = fr' [/r"+' (^)].
Si /", {£) est une des substitutions du groupe envisagé, toutes les substitutions qui sont comprises dans la formule générale:
(2) fl" (z)
feront également partie du groupe.
Si f^ (z) est une substitution du groupe non comprise dans la formule (2), toutes les substitutions de la forme:
appartiendront au groupe.
Si maintenant f^ (z) est une substitution du groupe qui ne soit pas comprise dans la formule (3), c'est à dire qui ne soit pas une combinaison de f^ et de /^,, si f^ est une substitution du groupe qui ne soit pas
une combinaison de f^, f\ et f.^, etc si enfin /^ est une substitution
qui ne soit pas une combinaison de f\, f.^, fp--^, les substitutions
comprises dans la formule générale:
Acia mnthemalica. I. * 2
10 n. Poincaré.
(4) f^Uti [ftM )
(où c(,, oîj, c(„ sont des indices qui peuvent être 1, 2, 3,
p — 1 ou p, et où yîj, /îj, ;5„ sont des entiers positifs ou négatifs)
feront égalenient partie du groupe.
Il peut se faire que Ton ait épuisé ainsi toutes les substitutions du groupe envisagé, de telle sorte que toute substitution de ce groupe soit
une combinaison de /j, Z^, , f^. On dit alors que le groupe est
dérivé de /"j, /', , /,',, ou quc/'j, f\, , /^, sont un système de
substitutions fondamentales du groupe. Il est évident qu'un groupe peut avoir une infinité de systèmes de substitutions fondamentales; mais un seul de ces systèmes suffit ])our déterminer complètement le groupe.
On peut concevoir aussi des groupes tels qu'il soit impossible de les faire dériver d'un nombre fini de substitutions fondamentales. Mais nous les laisserons systématiquement de côté.
Soit donc un groupe G dérivé de p substitutions fondamentales f^, f^, , fp de telle sorte que toutes ses substitutions soient de la forme (4).
J'appellerai exposant d'une substitution de ce groupe la somme des modules des nombres entiers positifs ou négatifs y9, , yî.^, , j3„.
Il peut se faire que les diverses substitutions contenues dans la formule (4) ne soient pas toutes distinctes et que l'on ait identiquement:
