CC( .C(^))----) = .CCC(----.C

La relation (5) peut toujours se mettre sous la forme:

(6) f!:{fi{ ft'i^) )) = -

Les a et les fi ont ici la même signification que dans la formule (4).

Les relations de la forme (6) pourront en général être toutes regardées comme les conséquences d'un certain nombre d'entre elles (jue nous appellerons relations fondamentales et qui seront seules réellement distinctes.

Un groupe // sera isomorphe à. G s'il est dérivé d'un même nombre de substitutions fondamentales, et si Ton a entre ses substitutions fondamentales lés mêmes relations fondamentales. Si entre les substitutions de // il n'y a pas d'autre relation de la forme (G) (|u'entre celles de G, l'isomorphisme est réciproque et par conséquent holoèdrique; autrement il est mérièdriqiie.

Théorie des groupes fuchsiens. H

Par suite des relations (6), une inèinc substitution peut l'tre mise (l'une infinité de manières sous la forme (4); de sorte que la définition domiée plus haut de Terposanf d'une sithstitittion laisse subsister une certaine ambiguïté. Nous appellerons alors exposant d'une substitution la plus

petite valeur ([ue peut prendre la somme des modules de /9,,y9.^ /5'„

(juand on écrit cette substitution sous la forme (4).

Ici il V a lieu de faire une distinction importante entre les différentes sortes de o-roupes formés de substitutions réelles. Nous devons d'abord laisser de côté les groupes qui ne comprennent ([u'un nombre fini de substitutions et qui ont déjà été étudiés à fond par plusieurs géomètres. Mais si les substitutions d'un groupe sont en nombre infini, on peut faire deux hypothèses diftérentes:

On peut supposer ([u'il est possible de choisir dans le groupe une substitution

(^, fi {^)

telle que f, {z) diffère infiniment peu de z\ (et cela quel que soit z) c'est à dire que le groupe contient une substitution infinitésimale.

On peut supposer aussi que le groupe ne contient pas de pareille substitution.

Les groupes de la première espèce seront continus, celix de la seconde discontinus.

Il ne peut exister de fonction uniforme analytique de z qui reste inaltérée par les substitutions d'un groupe continu, car cette fonction devrait reprendre la même valeur en des points infiniment voisins les ims des autres et, par conséquent, avoir une valeur constante. Aussi les groupes continus n'ont-ils aucun intérêt pour nous et réserverons-nous le nom de growpes fuchsiens aux groupes discontinus formés de substitutions réelles.

Si le groupe G est discontinu, il est clair qu'on pourra diviser le plan ou une partie du plan en une infinité de régions jouissant des propriétés suivantes:

Chacune d'elles correspondra à l'une des substitutions du groupe G. Celle qui correspondra à la substitution:

12 H. Poincaré.

s'appellera la région B^ et par conséquent celle qui correspondra à la

substitution :

(2, /o («)) o\i (2, s) s'appellera B^.

Quand z sera intérieur à la région B^, /J {£) devra être intérieur à B^.

En d'autres termes, i?^ sera la -transformée de B^ par la substitution:

Supposons maintenant que 2 soit intérieur à la région Bj^ correspondant à:

f;r^ (z) devra être intérieur à B^ et par conséquent /] {ff^ (s)) sera intérieur à Bj.

Dire que Bi est transformée de i?^, i^ar une substitution réelle, c'est dire que ces régions sont congruentes et par conséquent que toutes les régions B sont congruentes entre elles.

Pour me servir d'une expression très usitée de l'autre côté du Rhin, je dirai que la division d'un plan en une infinité de régions est régulière lorsqu'en déformant ces régions d'une manière continue on pourra faire coïncider le nouveau mode de division avec l'ancien de telle façon que chaque région de la nouvelle division vienne coïncider avec une région de l'ancienne, et qu'une région donnée quelconque du nouveau mode de division vienne coïncider avec une région donnée également quelconque de l'ancien mode. En ce qui concerne le mode de division qui nous occiqje, il est clair que si l'on applique aux différentes régions B la substitution

chacune des régions B se changera en une autre région B et B^ se changera en B^. C'est dire que la division du plan sera régulière.

Le problème de la reclierche des groupes fuchsiens se ramène donc au suivant: Subdiviser d'une façon régtdière le plan ou une partie du plan en une infinité de régions toutes congruentes entre elles.

Deux régions seront dites limitrophes lorsqu'elles confineront entre elles tout le long d'un arc de courbe qui leur servira de frontière commune.

Soit Bp une région limitrophe de B^ tout le long d'un arc AB de son périmètre; cet arc AB sera l'tm des côtés de B^. Mais on peut sup-

Théorie dos groupes fuclisiens. 13

poser que ce ne soit pas le plan tout entier, mais une partie du plan ([ui ait été divisée en une infinité de régions R, toutes congruentes entre elles. Dans ce cas, li^ pourra confiner tout le long d'un arc CI) de son périmètre à la j^ai'tie du plan qui n'aura pas été subdivisée en régions R. Cet arc CD sera encore un des côtés de R^. Les côtés tels que AB seront ceux de la l'" sorte, les côtés tels que Cl) ceux de la 2"'" sorte.

Je supposerai toujours (pie les côtés de la 2""' sorte sont des segments de l'axe X.

Je justifie en quelques mots cette hypothèse. Si Ton a divisé une partie du plan en une infinité de régions R, et si la région R^ est contiguë à la partie du plan non divisée, on pourra toujours étendre la division à une portion plus grande du plan. Je l'étendrai jusqu' à ce que R^ cesse d'être contiguë à la partie non divisée, ou jusqu' à ce que R^ atteigne l'axe X. Cet aperçu suffira, je pense, pour faire comprendre les raisons (jui me permettent d'adopter cette hypothèse.

J'appellerai sommets de R^ les extrémités de ses côtés et je serai conduit à envisager: 1° les sommets situés au dessus de X; 2° les sommets situés sur X et séparant deux côtés de la 1"" sorte; 3" les sommets situés sur X et séparant un côté de la l'-" sorte et un de la 2'"" sorte. J'appellerai ces différents sommets, sommets de la 1 ''"■", de la 2''" ou de la 3"" catégorie.

Les points

seront dits correspondants.

Quand le point z est à l'intérieur de i?,, tous les points fi[z) seront dans des régions i?, différentes de i?„. Donc il ne peut y avoir dans l'intérieur de i?„ deux points correspondants, et un point intérieur à R^ ne peut être non plus correspondant d'un point du [lérimètre de cette région.

Au contraire un point situé sur l'un des côtés de R^, sur A^ par exemple, appartient à la fois à deux régions i?„ et R^. Si le point z est sur /^„ c'est à dire sur le périmètre de R,„ le point /^"' (z) sera sur le périmètre de R^ sur un côté que j'appellerai A), et qui séparera R^ d'une région i?^ correspondant à la substitution:

14 H. Poincaré.

Les côtés Xj, et ^^ seront dits conjugués.

On peut tirer de là les conclusions suivantes: 1° Les côtés de la 1"° sorte sont en nombre pair et conjugués deux à deux. 2° Deux côtés conjugués sont congruents. 3° Les points du périmètre de B^ (sans parler des sommets dont nous nous occuperons plus loin) sont correspondants deux à deux.

Une convention spéciale est nécessaire pour faire rentrer dans le cas général un cas particulier qui se présentera quelquefois.

Il pourrait arriver que l'on eût identiquement:

y;u)=/r'(2) ou ■^=fAfAz)\.

Alors Bj, coïnciderait avec B^, k,, avec A^. Mais dans ce cas, la substitution

est elliptique et la relation (1) § 1 pourrait se mettre sous la forme (3)

§ 1 de telle façon que:

La substitution {2, fj, {z)) n'altérant pas le côté X^,, celui-ci devra passer par le point a (point double de la substitution) et se partager en deux moitiés congruentes entre elles.

Cela posé on pourra regarder le point et comme \m sommet et les deux moitiés du côté X^ comme deux côtés distincts, conjugués entre eux; l'on est ainsi ramené au cas général.

Ciiaque sommet appartient à trois ou plusieurs régions différentes; il en résulte que plusieurs sommets de B^ peuvent être correspondants. Je dirai que les sommets correspondants appartiennent à lui mchne cycle.

D'après ce qui précède le nombre des côtés de la 1''" sorte est pair; soit 2w ce nombre. Ces 2» côtés seront conjugués deux à deux. Soient Aj, Aj X„ n de ces côtés; A„^,, A,,^^.,) '''.>« les n autres côtés conjugués des premiers, de telle sorte que les côtés A^„ X^^^, soient conjugués. Soit Bj, la région qui est limitrophe de B^ le long du côté A^,, et

la substitution correspondante. De cette façon, on aura:

Théorie des groupes fuclisicns. 15

Il est aisé de voir que si l'on sort d'une région li^ correspondant à: par le côté ?.^,, on entre dans une région correspondant à la substitution

Rien n"est ])lus facile maintenant que de trouver quelle est la substitution i|ui correspond à une région donnée TZj . Soit A un point intérieur à i?„, B un point intérieur à li^ ; joignons ces deux points i)ar un arc quelconque AMB. Si je suppose que cet arc .4.1/7? parte de- la région R^, qu'il en sorte par le côté /„ pour entrer dans la région i?„^, puis qu'il sorte de B^^ par le côté correspondant à ^^ pour entrer dans la région i2^„, qu'il sorte de i?^, par le côté correspondant à 4^ pour entrer dans B^^. etc. et enfin cpi'il sorte de B^,^ par le côté correspondant à /„ pour entrer dans Bj\ la substitution (jui correspondra à cette région itj^ sera:

Dans cette expression a,, a.,, et, désignent des indices qui

peuvent être 1, 2, ou 2».

Donc toute substitution qui correspond à une région que l'on peut atteindre en partant de B^ et en franchissant un nombre fini de côtés est

une combinaison de {z, Q, {z, Q (z, f„). Nous laisserons de côté

tous les groupes pour lesquels on ne pourrait pas passer d'une région à l'autre en franchissant un nombre fini de côtés. Alors toute substitution sera une combinaison de :

Comment trouverons-nous les relations de la forme (6) qui auront lieu entre les fonctions f\, f.^, f„l

Pour cela il suffira évidemment de rechercher comment on peut exprimer par une combinaison des substitutions (7) la substitution:

(s, z) ou {z, /„ (z)) qui correspond à B^. On appli(piera la régie exposée plus haut; c'est k

16 H. Poincaré.

dire qu'on décrira un contour fermé quelconqv^e AMA passant par un point A intérieur à B^. Si ce contour traverse successivement des régions

R^, R^^, i?^„, ^/9 iJ ^^„ = -^0 ^^ ^" ^°^'* respectivement par les

côtés ^|, ^, /„ , la substitution qui correspondra à B^ sera:

K /«,(/..( iAM) )j

ce qui permettra d'écrire

De toutes les relations (6) ainsi obtenues, toutes ne sont pas fondamentales. Pour obtenir les relations fondamentales, il suffit de décrire des contours fermés infinitésimaux autour de chacun des sommets de B,^.

Puisqu'on trouve ainsi toutes les relations de la forme (6), les substitutions (7) sont généralement indépendantes et par conséquent forment un systéuie de substitutions fondamentales du groupe envisagé.

On voit de plus que l'exposant d'une substitution /] est le nombre minimum de côtés qu'il faut franchir pour passer de B,^ dans la région qui correspond à la substitution f^.

Outre les groupes fuchsiens ou groupes discontinus formés de substitutions réelles, j'ai été conduit à envisager les groupes discontinus formés de substitutions linéaires quelconques et que j'ai appelés groupes Kleinéens. Je n'en parlerai pas dans le présent travail, me réservant d'exposer dans un mémoire spécial les résultats que j'ai obtenus à leur égard.

§ 4. Polygones générateurs.

Les régions i?, sont définies par la condition que chacune d'elles ne contient qu'un seul point correspondant à vm point z donné. Mais cette condition ne suffit pas povir les définir complètement. En effet si l'on se donne un groupe fuchsien G, il y aura une infinité de manières de subdiviser le plan de telle sorte que dans chaque région il n'y ait qu'un point correspondant à un point z donné.

Au contraire si l'on se donne la décomposition du plan en luie infinité de régions telles que B, le groupe G sera parfaitement déterminé.

Donnons-nous un groupe G et envisageons les diverses décompositions du plan en régions B^ qui correspondent h ce groupe. Ces décompositions

Théorie des groupes faelisions. 1 7

sont en nombre infini. Comment de l'une d'elles pourrons-nous déduire toutes les autres? Soit S^ une portion de la région 7?„, S, la portion correspondante de la région Zt',. Choisissons parmi les substitutions du groupe a l'une quelconque d'entre elles:

Soit ij, l'indice de la substitution:

de telle sorte que:

Des diverses régions i?, je retranche la portion .S', et j'ajoute à t-e ipii reste la région 5, . tT'obtiens ainsi une infinité de régions:

R, = hr + S — <S';.

Ces réo-ions B] recouvriront la même partie du plan (jue les régions 7?^ et ne la recouvriront qu'une fois. Chacune d'elles ne contiendra qu'un seul point correspondant à un point donne z. A la décomposition du plan en régions i?- correspondra donc le même groupe (î (pi'ii la décomposition en régions B,. Si S„ est contigu intérieurement k l'une des frontières de B^ et si Sp est contigu extérieurement à l'une des frontières de B^ — 5"^, la région B'^ sera d'une seule pièce et sans trou. La plupart du temps, poin- pins de commodité, nous choisirons la région B^ de telle sorte qu'elle soit d'une seule pièce et sans trou, mais cela n'a rien d'essentiel.

En opérant sur les régions jRj comme nous avons opéré sur les régions B„ nous obtiendrons une nouvelle décomposition . du plan en régions i?, qui correspondra toujours au groupe envisagé G. En continuaut indéfiniment de la sorte, on obtiendra toutes les décompositions qui correspondent au groupe G.

On est conduit tout naturellement à la généralisation .suivante: Jusqu'ici j'ai supposé que la région S^ était tout entière intérieure à la région i?„ et par conséquent S, à la région B^, et de fait, sans cette hypothèse, on ne saurait ce qu'on doit entendre par la région:

Jï'. = i?, + Si — S,

h moins toutefois (pie l'on ne fasse ime convention s])éciale.

Ada mullieiiHiHca, I. "^

18 H- PoincarL".

On est coiiduit ainsi h envisager des régions divisées en deux parties dont l'une est considérée comme positive et l'autre comme négative.

Ainsi si «S; ne fait pas partie de 7?,, on considérera la région R[ comme formée d'une partie positive R, + ^i , et d'une partie négative S^. Cet oi'dre de considérations n'est pas d'ailleurs absolument nouveau.

Si l'on envisage un quadrilatère ABCD dont deux côtés opposés AB et CD se coupent en un point M, ce quadrilatère,' formé de deux triangles ABM et BCM opposés par le somrnet, s'appelle un quadrilatère concave. Les formules qui donnent l'aire d'un quadrilatère convexe s'appliquent à une pareille figure pourvu que l'on regarde l'aire de cette figure comme la différence et non comme la somme des aires des deux triangles AD3I et BCM. Dans un quadrilatère concave l'un des deux triangles doit donc être regardé comme -positif et l'autre comme négatif. Il se passe ici quelque chose d'analogue. Une région conrnve i?, sera formée d'une portion positive Jij + 5, et d'une portion négative 6*,. Le nombre des points correspondants à lui mi'-me point donné ^-, compris dans la partie positive de B,, est toujoui-s 'fini et il surpasse d'une unité le nombre des points correspondants à z compris dans la partie négative.

Nous ferons peu d'usage de cette subdivision du plSn en régions R^ concaves, parce que. la subdivision en régions convexes est infiniment plus commode, mais elle pou-rra nous servir comme d'intermédiaire pour passer d'une subdivision convexe à une autre subdivision également convexe.

Puisqu'il y a une infinité de manières de subdiviser le'plan en régions 7?, convexes, noTis devons choisir parini ces diverses manières la plus simple et la plus commode.

Voici comment nous pourrons procéder: Nous déterminerons une

région S^j et la région S^, transformée de S^ par la substitution fj, {z).

Nous ajouterons Sj, à R^ et nous en retrancherons S^.

•^j- Nous obtiendrons ainsi une nouvelle région R„ qui

A/'''^s \fi' pourra servir de base h. une nouvelle subdivision du

plan en régions R\ correspondant au groupe G. Car

pour obtenir la région R'^ il suffira de retrancher de

Ri la région 5,. transformée de *S'„ par f, (z) et d'y

/ ajouter la région iS", transformée de S^, par /J (z). Com-

s„ Yb

^ ment maintenant conviendra-t-il de choisir les régions

S, et S„? .

Thôurio (lus {groupes l'uelisiuu.s. l'.l

Suit AMJi 1111 (.oté de lî^, A'M'B' le eùté conjugué. Ces deux côtés sont cougruents et la substitution réelle tiui change AMB en A'M'B' est une substitution f], [z) du groupe G. Joignons les points A et B par un arc de cercle ANB ayant son centre sur X. f.a réirion .S' sera la réo-ioii AMENA comprise entre l'arc de courbe AMB et l'arc de cercle ANB. Le transformé de ANB par /^ {z) sera un arc de cercle A'N'B' ayant son centre sur X, et la transformée S^, de S^ sera la région A'M'B'N'A'. Si nous ajoutons S^, à R^ et que nous en retranchions S^, nous obtiendrons uTie région R^ analogue à R^ mais où les côtés conjugués AMB, A'M'B' seront devenus des arcs de cercle ANB, A'N'B' ayant leurs centres sin* X

En opérant de même manière sur chaque paire de côtés conjugués de la V^" sorte, on réduira tous ces côtés à des arcs de cercle ayant leurs centres sur X. On peut donc toujours supposer que la région R^ est un polygone dont les côtés sont de deux sortes, les uns sont des arcs de cei-cle ayant leurs centres sur X, les autres sont des segments de cet axe X lui-même. Un pareil polygone s'appellera polygone normal.

Mais une difficulté spéciale peut se présenter dans certains cas.

En effet nous ne nous sommes, pas inquiétés de savoir si la région: