partie positive du plan des a

Nous pouvons ojiérer tout à fait de même dans le problème qui nous occupe car il est tout à fait analogue, si ce n'est que les parallélogrammes sont remplacés par des polygones générateurs d'un groupe fuchsien, les fonctions doublement périodiques par des fonctions fuclisiennes, et la partie positive du plan des to par la multiplicité il/, .

Parmi les polygones équivalents à R^, il y en aura un que nous regarderons comme plus simple que tous les autres et que nous appellerons poljif/one réduit. Voici comment nous pourrons définir ce polygone réduit. Soit (f une fonction des coordonnées d'un point de la multiplicité il/, . Je supposerai que cette fonction est constamment comprise entre o et i, et qu'elle n'atteint la valeur o que sur les frontières de la multiplicité il/,, c'est à dire aux points qui correspondent aux polygones limites. Elle pourra d'ailleurs être choisie arbitrairement. Cela posé, aux différents polygones équivalents à R^ , correspondront différents points de il/, et par conséquent différentes valeurs de ç. Le polygone que nous appellerons réduit sera celui qui correspondra à. la plus grande valeur de f.

Cela posé, les points de J/, qui correspondront aux polygones réduits rempliront un certain domaine que j'appelle I)^. Ce domaine et ses transformés par les diverses substitutions de F rempliront toute la multiplicité il/, . Le domaine D^ sera limité par un certain nombre de multiplicités m,, iii^, ..., m.,^ qui auront jj — i dimensions, si je suppose que il/j en a ^j. Voyons quelle sei-a la forme des équations de ces multiplicités frontières. Soit a un point de il/, , a . .S' le transformé de a par une substitution 6' convenablement choisie dans le groupe /'; les équations cherchées seront de la forme suivante:

(i) . çr(ce) = e(«..SO

ç désignant la fonction définie plus haut. Si nous considérons un point a appartenant h. l'une des multiplicités frontières i», , w^, ..., ni,^, par exemple à celle qui est définie par l'équation (i), ce point correspondra

Acfa mathematica. 4. Imprimé 20 Janvitr 18:^4. Q^

266 H. Poincaré.

à un polygone réduit, et il en sera de même du point et . *S' qui correspondra à un polygone réduit équivalent au premier et qui appartiendra aussi à une multiplicité frontière. C'est ainsi que certaines classes de formes quadratiques contiennent deux formes réduites et qu'à un point d'un côté du polygone générateur d'un groupe fuclisien, correspond un point équivalent du côté conjugué. Les multiplicités m^, m„, ..., ni,^ se répartissent donc en paires de multiplicités conjuguées à la façon des côtés du polygone R^. Ces multiplicités m sont limitées par des multiplicités m' de p — 2 dimensions; celles-ci le sont elles-méme par des multiplicités m" de p — 3 dimensions et ainsi de suite. Ces multiplicités m', m", etc. se répartissent en cycles à la façon des sommets du polygone R^ . Ces cycles peuvent d'ailleurs contenir une, deux, ou plusieurs d'entre elles: si un de ces cycles en contient plus de deux, il y aura plus de deux polygones réduits équivalents à un polygone donné.

Ainsi, en général, il n'y a qu'un polygone réduit équivalent à un polygone donné, mais dans certains cas exceptionnels il peut y en avoir deux ou plusieurs. C'est tout à fait ce qui arrive pour les formes quadratiques définies. On peut présenter la chose d'une autre manière. En général, parmi les valeurs de f qui correspondent à une infinité de polygones équivalents, il y en a une qui est plus grande que toutes les autres; mais il peut arriver exceptionnellement qu'il y en ait deux ou plusieurs qui soient égales entre elles et plus grandes que toutes les autres.

Nous allons maintenant nous occuper d'une question fort importante: quand un polygone limite est-il réduit? et nous examinerons successivement les trois exemples du paragraphe précédent.

Reprenons d'abord le polygone R^ du i" exemple, en supposant que les deux côtés conjugués a.,„a, et ctia, sont infiniment petits. Nous avons vu qu'en laissant de côté le cas exceptionnel des polygones limites de la 3^ espèce, tous les polygones limites pouvaient être ramenés à ce cas. Nous négligerons donc devant les quantités finies, les quantités de l'ordre de «lOCj et de a^a.2„.

Je joins a2„iCt., . (Il faut entendre par Là, ici comme dans tout ce qui va suivre, que je trace un arc de cercle passant par ces deux points et orthogonal au cercle fondamental.) Je divise ainsi le polygone R^ en deux autres: )\ = cl..2„la.,„'x^'l., et rô = -^o — ''u-

Sur les groupes des équations lincaires. -<i7

Transformons )\^ par la substitution linéaire qui change a,„a3„^, en «2-i-2«j-.-i ■> "ous obtiendrons pour transformé un quadrilatère

Posons maintenant:

Le polygone i?,,.! qui sera équivalent à li^ aura pour sommets ct,„, , «2„> «2> «3) •■•' a2n-3> «2n^2 ) ^^i . 1 • ^j . 1 • On voit que i^u 1 u un sommet infini uient voisin de chacun des points

et trois sommets iniiniment voisins de a.,„2- Quant à la longueur des côtés infiniment petits, elle sera donnée par la relation:

/ \ / \ («2n— 2 «2ii— l)

(2) ^1.1 — «2.1 = («1 — «sj-r- „ ,. •

(,«2n— 1 «2ii ;

Joignons maintenant a-, , iOin„a , nous partagerons le polygone R^ ^ en deux autres: '"o.i = ai.ia2.ia2„2a2„3 et rô.i = -Ro.i — 'o.i- Soit maintenant rô'. 1 = ai.2X,..,a.,,„40to„g le transformé de r^i par la substitution linéaire qui change a2«-3ît2n-2 en a2„3a,„^4. Soit enfin R^ „ = rô.i + rô'.,. Il est aisé de voir que iJo.2) <iui est équivalent à iio.i, a un sommet infiniment voisin de chacun des points

et trois sommets a-,„i, ol.,i, a^ , infiniment voisins de o!..,„^. On aura d'ailleurs :

Nous allons opérer sur Eq.j comme nous avons opéré sur R^ et sur Ro.i- C'est à dire que nous joindrons ol., ,2^-2n--> et que- nous poserons, en appelant r'^'^ le transformé de r^^ par la substitution linéaire qui change

«2n— 4«27i— 5 en a2n— 6«2n— 5

268 H. Poincarc.

-^0 .3 ^^^ '"0.2 "r ' Il . 2 •

On opérera ensuite sur i?„ .j comme sur 2?o.2 et ainsi de suite.

Il est aisé de voir que i?,, , a un sommet infiniment voisin de chacun des points

et trois infiniment voisins de a,„o,.

Considérons en particulier le polygone ii'o.«-i- H 'l'^ir^ trois sommets infiniment voisins de oc., et par conséquent de a,,, . Ce seront les sommets «2) ^i.„-\ et oi.,,„i (qu'il ne faut pas confondre avec ot2„,). Il résulte de là que i?o.-i-i différera infiniment peu de i?„ . Ces deux polygones sont d'ailleurs équivalents, d'où il résulte que la transformation T qui change JfZo en -Z?o.„i appartient au groupe /'.

Posons

TT («3 «3)(«j «5) ' ■ ■ («2«-2 «2«-l)

Nous aurons la relation suivante qui est au polygone -??„.„ , ce que les relations (2) et (2') sont aux polygones i?y . 1 et B(, „ :

«i.^-i — «2.«-i = (^1 — '^■^H" et de même

Cela posé, reprenons notre fonction ç et supposons qu'elle se comporte régulièrement, ce c[ui ne présente pas de difficulté puisque cette fonction est presque entièrement arbitraire. Pour un polygone qui a des côtés infiniment petits, la fonction ^ est infiniment petite par hypothèse. Nous supposerons qu'elle est du i" ordre ainsi que et, — a,. En négligeant les infiniment petits du 2'' ordre, on peut dire que les trois quantités çr, a, — 0.2 et a, — otj,, sont proportionnelles. On a donc pour le polygone B^

F ne (lépendant ({Ue do lu position des points

et non de la longncnr des oôtôs infiniment petits ajcto et «lOts,, .

Appelons ç' et i*" les valenrs de <f et de 7<' qni correspondent à ■Ro.«-i; nous aurons:

F' = F h des inf. petits près du i"" ordre ^' = ^.IP à des inf. petits près du 2"' ordre.

Si dune IL^ > i, la substitution T transforme B^ en un polygone équivalent qui correspond à une valeur de <f plus grande. Le polyt/one R^ n'est donc jxis réduit.

Si au contraire If < i, la substitution inverse de T transformera i?„ en un polygone équivalent correspondant à une valeur de ç- plus grande, de sorte que R^ ne sera pas non plus réduit.

Reste le cas où IP = i. Mais H est essentiellenKnit né"atif. On aura donc H= — i. Mais cette relation qui n'est autre que la relation (i") du paragraphe précédent, exprime que le polygone R^ est de la i''"' catégorie.

Ainsi un polygone limite ne peut être réduit que s'il est de la T''' catégorie.

Nous allons obtenir le même résultat dans les 2'' et 3*^ exemples. Nous allons traiter d'abord le 2'' exemple, en supposant pour fixer les idées :

ff, = «3 = . . . = «.,„! .

Je définirai dans le 2'' comme dans le 3'' exenqjle, le polygone réduit de la manière suivante. Parmi les polygones équivalents à un polygone donné, j'appellerai ainsi celui qui sera tel que le plus grand de ses côtés soit aussi petit que possible. S'il y en a plusieurs qui satisfassent à cette condition, je choisirai parmi eux celui qui sera tel que le 2^ côté (par ordre de grandeur décroissante) soit aussi petit que possible et ainsi de suite. (Ici comme dans le paragraphe précédent, en ce qui concerne le 2"^ et le 3" exemple, quand je dis qu'un côté est grand ou petit, il s'agit de sa L et non de sa longueur géométrique.)

270 H. Poincaré.

Voici une proposition que je me borne à énoîicer, et que je vais appliquer à mon dessein.

Soit un triangle ABC qui se déforme de telle façon que ses trois sommets tendent respectivement vers trois points A', B' et 6" situés le premier sur le cercle fondamental, les deux autres à l'intérieur de ce cercle. Les deux côtés AB et AC croissent indéfiniment, pendant que BC reste fini; mais la différence des deux côtés AB et AC tend vers une limite finie A:

\un{AB — AC) = X.

Cette limite ne dépend que de la position des trois points A', B', C et non de la manière dont A, B, C tendent vers A', B', C. Par les points B' et 6" on peut faire passer deux cercles tangents intérieurement au cercle fondamental. Soient M et N les points de contact. Joignons MN par un arc de cercle orthogonal au cercle fondamental. Cet arc de cercle coupera B'C en un point F tel que la L de PB' soit égale à celle de PC"; je supposerai que B' est à gauche de MN et C" à droite. La limite k sera positive si A est à droite de MN, négative si A est à gauche; elle sera nulle si A est en M ou bien en N.

Considérons donc le polygone B^ dont nous allons faire croitre indéfiniment les côtés a2„ai , a^o-^ , «,«3 , 0(30(4 comme on l'a vu au paragraphe précédent. Il arrivera alors que les deux sommets a,,, et tz, tendront vers deux points B' et C" intérieurs au cercle fondamental, pendant que (Xj tendra vers un point A situé sur ce cercle lui-même. En même .temps, les points a.^ et a.^ tendent aussi vers A, car les côtés o(ja,j et a.^ct.^ qui ont leur L infiniment grande, ont leur longueur géométrique infiniment petite.

Nous pourrons trouver sur le cercle fondamental les points M et N définis plus haut; nous joindrons 3IN; je suppose d'abord que A soit comme B' à gauche de 3IN. On aura en vertu du Icmme que je viens d'énoncer

Yima.^,, = B', lim «4 = C", lima, = lima, = Yuna-^ = A

Dans les deux triangles «..otjCtj , o../j.^'x.,,^ on a

angle a^ot,a2„ = angle ot2a,o(.j et

d'où

■ Le côté 'x.^a.^ = a.,<x^ est donc le plus grand côté de Ij^ puisque tous les autres que cziot., , rx^oi.^, ct.,Gt.j, et, a,,,, sont finis.

Je dis qu'on peut trouver un polygone équivalent à J?„ dont le plus grand côté soit plus petit que a.,c^^.

Joignons i-^oi.,,,, nous aurons partagé le polygone 7?„ en deu.x autres:

Transformons r', par la substitution qui change rx^rx^ en ct^ct.^. Nous obtiendrons

avec

Le polygone i?ô = r^, + r,',' est équivalent h. i?^. Il a 2» — 4 côtés égaux aux 211 — 4 côtés finis de 7?^, . Il admet aussi deux côtés infinis

qui appartiennent li 2?„- et les deux côtés infinis

«S^în = «3«2n

grand côté de i?ô et on a:

qui n'appartiennent pas à 7?,,. Si ^-a.,,, > a^a.^ , c'est a-^oi.,,, qui est le plus

otga,,» < ot3<3t4 •

272 H. Poincaré.

Si a30(.,„ <a,c<j, c'est ctiOt., qui est le plus grand côté de i?o et on a

Ainsi, si le point A' est à gauche de MN, le polygone B^ n'est pas réduit; mais comme rien ne distingue la gauche de la droite, il n'est pas réduit non plus si A'- est à droite de MN. Il faut donc que A' soit en M ou en N. Mais alors le cercle A'B'C est tangent au cercle fondamental, ce qui veut dire que le polygone limite est de la i'" catégorie.

Ainsi tout polygone limite réduit est de la i'''° catégorie.

Passons au 3'' exemple, c'est à dire à un polygone R^^ de 4p cotés dont les côtés opposés sont conjugués. Joignons les sommets opposés ; nous obtiendrons ainsi 4}) diagonales. Je dis que si B^ est réduit, le phis grand des 4.p côtés du polygone est plus petit que la plus petite de ces 4}) diagonales. J'appelle à cette plus petite diagonale; si ce côté était plus grand que o, on partagerait le polygone B^ en deux autres r^ et r,^ en traçant la dingonale o. On appellerait ensuite r'^' le transformé de i\ par la substitution qui change le plus grand des côtés de B^ en son conjugué. Le polygone B'g = r'^ + r'^ serait équivalent à i?!,; il aurait ses côtés opposés conjugués; de plus il admettrait tous les côtés de B^ sauf le plus grand qui serait remplacé par la diagonale f>, qui par hypothèse est plus petite. Le plus grand côté de 7?,', serait donc plus petit que celui de B^ et B^ ne serait pas réduit.

Cela posé, supposons, comme dans le paragraphe précédent, que les deux côtés «4^,0(1 et a.2pa.2j,j^i croissent indéfiniment; il en sera de même des diagonales otj^.a.^, et «lOCj^,^! ; tous les autres côtés resteront finis. Supposons que les sommets ol^j, et 3.,^^^, tendent vers deux points B' et 6" intérieurs au cercle fondamental. Les sommets oti, «2, . . ., a.,^, tendront vers un même point A' situé sur la circonférence de ce cercle et. ce point A' est également celui avec lequel tendent à se confondre les sommets /9j et yî^ du polygone i?,',. De ce fait résulte l'identité suivante:

lim («la^^, — aia.2j,^i) = lim (a^^.ct^^, — a.^,o(.,,,+]).

Mais si le polygone 7?^ est réduit, on a d'autre part, puisque les côtés sont plus petits que les diagonales

Sur les groupes des équations linéaires. 273

Donc on a

liin (a,a,^, — aia2j,+,) = o.

On en conclut, comme dans l'exemple précédent, cjue le cercle A'B'C" est tangent au cercle fondamental et que le polygone i?„ est de la i'"'* catégorie.

Ainsi tout polygone limite réduit est de la 1°" catégorie.

Tout ce qui précède ne s'applique qu'aux polygones de la i''^ espèce.

Passons d'abord aux polygones de la 2" espèce qui peuvent comme nous l'avons vu être ramenés à un polygone limite de la i''^ espèce. Supposons donc que P^ soit un polygone de la 2' espèce; ce polvfonc sera équivalent à un autre lî^ de la i"'' espèce; si i?„ n'est pas de la 1"" catégorie, je dis que F^ n'est pas réduit.

En effet envisageons la fonction ^' détinie plus haut; cette fonction dans le cas du 2'' et du t," exemple sera, pour fixer les idée.-;, l'inverse du plus grand côté de B^.

La fonction ç correspondant soit au polygone P^, soit au polyo-one B^ sera infiniment petite. Soient a et h les points de il/, qui correspondent h i?^ et à P^; chacun de ces deux points sera infiniment près d'une des frontières de la multiplicité 3/j ; soient c et d les points de ces frontières qui sont respectivement le plus rapprochés l'un de a et l'autre de b. Les coordonnées du point a sont fonctions de celles du point b, puisque les deux polygones correspondants B^ et P^ dérivent l'un de Tautre d'après une loi déterminée. Si a et b sont très voisins des frontières, comme nous le supposons ici, la position du point c dépend de celle du point d, de telle façon que les coordonnées d'un de ces points soient fonctions continues de celles de l'autre. Maintenant si les points c et d restant fixes, à des infiniment petits près, le point a se rapproche du point c de telle façon que la distance' infiniment petite ac diminue de moitié par exemple, la distance infiniment petite bd diminuera aussi de moitié.

Si nous appelons <f^ et ç.^ les valeurs de ç qui répondent aux points n et b, nous aurons à des infiniment petits près du 2'' ordre

fi =Vc.f,{c), (T., = bd.f,{d)

les fonctions f^ et f^ étant des fonctions finies, en général et ne dépendant que de c et de (/.

.lc(a malhemaliea. 4. Imprimé 29 Janvier 1884. or

Si donc les points c et d restant fixes ou ne variant qu'infiniment peu, la distance ac diminue dans un certain rapport, les deux fonctions infiniment petites fj et ^^ diminueront dans le même rapport.

Cela posé, nous avons vu que si H^ n'est pas de la i*"" catégorie, ce polygone n'est pas réduit et qu'on peut trouver un polygone équivalent i?ô correspondant à une plus grande valeur de (f. Soit P'^ le polygone de la 2*" espèce qui dérive de 7?ô comme P^ de B^; soient a', h', c', d' les points qui sont à B.'^ et i'ô ce que les points a, h, c, d sont à 2?^ et à Pj,; soient ç[ et ç'., les valeurs de (f qui correspondent à iZ^ et à P'^. Les points c' et d', il est aisé de le constater, différeront infiniment peu de c et de d; on aura donc

ac bd a'c b'd'

<r< = ^>'(n,{d-) = h'd'fM à des infiniment petits près et par conséquent

Mais on a on aura donc

et par conséquent le polygone P^ ne sera pas réduit.

Ainsi, un polygone Imite de la 2' espèce ne peut être réduit que s'il est équivalent à un pohjgone de la ]"' espèce et de la f''' catégorie.

Le cas des polygones de la 3° espèce qui sont un cas particulier de ceux de la i'"'' et de la 2^ se traiterait d'après les mêmes principes. Nous n'allons étudier ici qu'un seul exemple. Nous fixerons ainsi les idées, et le lecteur se rendra mieux compte de la façon dont nous surmontons les diftérentes difficultés que si nous étudiions directement le cas général.

Sur les groupes des équations linéaires. 275

Nous clioisirons le polygone R^ du 2^ exemple en supposant que les six côtés a.2„ai, aja, ,■ x-aj, a-iOL^, a^a^ et asctg croissent iiidéfiniraeut.

Nous supposerons que ce polygone est réduit, et nous allons faire voir qu'il est de la i"" catégorie, c'est à dire que les cinq sommets otj, dj, a., a^, OL. tendent à se confondre en un seul point situé sur la circonférence du cercle fondamental, et cela de telle sorte que le cercle a.,„a,ae soit tangent au cercle fondamental.

Pour cela nous nous appuierons sur les deux principes suivants:

i". Si le polygone B^ est réduit, les côtés issus d'un sommet de rang impair sont plus petits que la diagonale qui joint ce sommet à un sommet quelconque de rang pair. En effet, soit C le côté a,c(j, par exemple, et B une diagonale joignant ctj à un sommet quelconque de rang pair. 11 est aisé de construire un polygone B'o équivalent à jf?^ et admettant mêmes côtés (en grandeur) que R^, sauf (juc le côté C est remplacé par D. Si l'on avait C > D, le plus grand coté de R^ serait plus grand que le plus grand côté de RI, et ii„ ne serait pas réduit.

2°. Supposons que les trois sommets d'un triangle ABC tendent respectivement vers trois points A', B', C", situés, le premier à l'intérieur du cercle fondamental, et les deux autres sur la circonférence de ce cercle. Si les deux points B' et C" sont distincts l'un de l'autre, les trois côtés croîtront indéfiniment, l'angle BAC tendra vers une limite finie, ainsi que la différence