l — 2/J et 2-(l — 2;„

C^uand on euimait les valeurs de

(4) 'J-i^ 'J-i^ ■■■■> ««+1' /^2' A' •••' /^"' -^'1' Kl ■■■■> À,-n

les substitutions S^ sont entièrement déterminées et comme ce sont les substitutions fondamentales du gr()U[)e (/, les invariants ibiidanientaux de ce groupe s'exprimeront aisément en fonctions des (juantités (4). Nous regarderons donc les coefficients de l'équation (i) comme des fonctions des quantités (4).

La région R n'est pas entièrement déterminée c^uand on se domie les (| nantîtes (4) ; en effet on peut faire varier arbitrairement la fornie des côtés ctjOt.^, «.,«;, ..., a„ct„+i et il s'en suit des variations correspondantes des côtés conjugués ctj/î^, /J^/l, ..., /5„cz„^i . Toutefois toutes les régions R obtenues de la sorte sont équivalentes, au sens donné à ce najt au § 3 du mémoire sur les (jroupes Ideinéens (Acta Matliematica, T. 3, p. 63). On pourra d'ailleui's tracer les coupures

de telle façon que les côtés

«ja,, . . ., c(„o(„^i

aient (elle forme (|ûe l'on veut.

Il résulte de là, (jue s'il existait deux é()uations (1) cdnduisant à un même système de valeurs des (juantités (4), on [«mrrait toujoiu's tracer les coupures de telle façon (|ue la région R soit la même pour l'une et pour l'autre équation.

Lnaginons maintenant des fonctions de z jouissant des propriétés suivantes: 1° elles seront uniformes quand ï parcourra la légion R; il

Sur lut- groupes des équations linéaires. 221

est cliiir ([Ile si l;i rcui')ii 11 se recouvre partiellement elle-iiième, à deux points z^ et z^ de cette région pourra correspondre un lui'ine point du plan; dans ce cas la fonction pourra prendre deux valeurs différentes aux [)oints z^ et z^\ 2° elles reprendront la même valeur en deux points correspondants du périmètre de R; 3" elles n'auront d'autre singularité que des pôles (et des points singuliers logarithmiques dans le cas où quelques-uns des angles a ou ^? sont nuls).

11 est clair que toutes ces fonctions s'exprimeront rationnellement ii l'aide de l'iuie d'entre elles. (Cf. Schottkv, J. de CiiELLK, T. 83 et Méiiiuire sur les fonctions fnchsiennes, Aeta Mathematica, T. i, p. 228.)

Si l'on regarde maintenant x comme une fonction de z, ce sera précisément une des fonctions dont nous venons de parler, et il est clair ([ue toutes les autres seront rationnelles en x.

Supposons maintenant qu'il y ait deux équations (i) qui conduisent à un même système de valeurs des quantités (4) et par conséquent à une nuMuc région B. Soient x et x^ les variables correspondantes que nous regarderons connue des fonctions de z. D'après ce qui précède, x sera rationnel en ,/j et ./\ en x et par conséquent on aui'a entre ces variables ujc relation de la forme:

Axx^ + Bx + Cx^ + I> = o.

Soient maintenant a^ et a\ les valeurs de ./; et de .'•, qui corresiiondent à la valeur ï ^ 7, . Ce seront des points singuliers des deux équations (1) et par liv[)ntlièse on aura:

C'est à dire ([u'on aura:

pour * = aj, z = a.,, ^ = «„ + ,.

Il en résulte que x sera identiipienient égal à ,/j . Les deux équations (i) dont nous avions supposé l'existence seront donc identiques.

Il résulte de là que quand les quantités (4) sont entièrement déterminées il en est de même de l'équation (i) et que les coefficients de cette équation sont des fonctions uniformes des quantités (4).

222 H. Poincarû.

Ainsi nous sommes conduits h une nouvelle classe de fonctions uni- Ibi-mes de plusieurs variables. Ces fonctions demeurent invariables quand on fait subir aux quantités (4) certaines substitutions dont je vais dire quelques mots.

Reprenons pour cela le polygone R défini plus haut et appelons S,, la substitution linéaire qui change /î^/îi+i en o-^a^^^. Convenons en outre de poser pour plus de symétrie dans les notations:

^X — pli ^2 i^-i-: <^i + n + l — '^n /'i + nfl

La substitution suivante:

appliquée aux quantités (4) laissera inaltérée la fonction dont nous nous occupons. Nous^ avons, grâce au tableau (5) les nouvelles valeurs des quantités a, /9 et A en fonctions des ancieimes, car les coefficients de la substitution linéaire 6\. s'obtieiment aisément en fonctions des a, des /9 et des X.

^ 5. Tlnouci' lin deuxième prohlèïne.

Nous avons montré dans les quatre paragraphes précédents conniicnt on peut résoudre le problème suivant:

TroHver le groupe d'une équation donnée, soit au point de vue du calcul numérique, soit au point de vue de la théorie des fonctions.

Voici le second problème que j'ai à résoudre avant d'aller plus loin.

On donne une équation du second ordre:

ou <f est une fonction rationnelle de deux variables ./; et y liées par une l'elation algébrique

Sur les groupes Jos cfiuations linéaires. 223

(^11 suj)j)()se (juc hi fonction <f dépend d'un certiiin nombre de panimètres et on demande de disposer de ces paramètres de telle manière que x soit une fonction fuchsienne du rapport des intégrales. Nous dirons alors pour abréger que l'équation (i) est fuchsienne.

Nous ne nous occuperons dans ce qui va suivre que des fonctions fuchsienncs qui n'existent qu'à l'intérieiu' du cercle fondamental (i'"", 2" et 6'^ familles). Nous laissons donc systématicpiement de côté les fonctions fuchsienncs qui existent dans tout le plan.

Pour que l'équation (i) soit fuchsienne, il faut (pi'elle remplisse d'une part certaines conditions algébriques, d'autre part un certain nombre de conditions transcendantes.

Commençons par énoncer les conditions algcbricjues.

Les points singuliers de l'éqation (i) sont de deux sortes:

1°. Les points où y cesse d'être une fonction holomorphe de x et les points où x ou y cessent d'être finis.

2". Les points singuliers proprement dits.

Il n'y a pas à s'incjuiéter des premiers, car on peut poser:

0 et 6^ étant des fonctions rationnelles, et s'arranger de telle façon que dans le voisinage du point considéré, les nouvelles variables x' et y' restent finies et que //' soit holomorphe en x'.

Quant aux points singuliers proprement dits, à chacun d'eux correspond imc éc[uation déterminante et la différence des racines de cette équation doit être nidle on tcne partie aliquote de l'unité. Ce sont là les c(jnditions algébriques qu'il s'agissait d'énoncer et quand elles seront remplies, j(! dirai que l'équation (i) est normale.

Considérons d'abord deux équations normales:

d'v , s (Pv , .

où nous supposerons que çr et ^"^ sont des fonctions rationnelles de x et

de Ti . Si l'on peut passer de la première de ces équations à la seconde

en posant

aXj + h

nnus ne regarderons pas ces deux équations comme distinctes.

224 II. Poincar(5.

Considérons maintenant une équation nonijale plus générale:

et posons :

Si on laisse de côté certains cas exceptionnels, on pourra tirer des érpiations (2) et (3) oc et y en fonctions rationnelles de .*' et de //'. Je supposerai cpie ces cas exceptionnels ne se présentent pas.

On trouvera alors

-Te ne regarderai pas comme distinctes les équations (i) et (i'). Je dirai cjue deux équations

(0 ^ = f C^. y> (2) yK--^. y) = °

( I ') '0^ = <fy {x , y) '' (2 ') </\ {^r , y) = o

appartiennent au mém« fyjje si les deux relations (2) et (2') sont identiques et si les points singuliers des équations (i) et (i') sont les mêmes ainsi que les équations déterminantes relatives à chacun d'eux. Il va sans dii'e cpu- si une équation

ne doit pas être regardée comme distincte de (i') en vertu de la convention faite j'^us haut, je dirai encore que (i) et (i") appartiennent au même type.

Voici le problème qu'il s'agit de résoudre.

i". Reconnaître si parmi les ('quafinns d'iiu ijipe (Imniv. il // a nue rquation fiicJisienne.

2". Trouver celte {■iptaliou si elle existe.

Mais il faut d'abord faire une distinction et classer les types d'équations normales en types fuchsiens, elliptiques et rationnels.

Supposons que x soit une fonction fuchsienne du rapport des intégrales de l'équation (i); cette fonction admettra un polygone générateur B^ qui aura 2n côtés et 211 sommets de la première sorte. I^a somme des angles du polygone devra être plus petite que

Soit q le genre de la relation (2); p le nombre des points singuliers de l'équation (i); a^, a,,, ..., a^, ces points singuliers; 7, la différence des racines de l'équation déterminante relative au ])oint «, .

Si 2^ > o, les sommets de R^ se répartiront en cycles; on aura:

n = 2q -\- p — I et la somme des angles sera égale à

On doit donc avoir l'inégalité:

(4) Ta,<2q+p—2.

Si j; = o, les sommets de R^ formeront un seul cycle et la somme des angles sera 2-. On aura:

n = 2(7 d'oii l'inégalité

Si les inégalités (4) ou (4') sont satisfaites, le type considéré sera un type fiichsien.

Supposons maintenant que x soit fonction doublement périodique du rapport des intégrales de (i), on aura les égalités

(5) Ta,= 2q-}-p—2, ou bien

Arta iitafht-inatiia. i. Imprimé 3 Janvier 1884. 29

22(5 H. Poincaié.

Le type sera alors eUiptlque.

Voici d'ailleurs rénumération des types elliptiques: (^)

q = o p = A «1 = a, = a., = et.

Supposons enfin (|U(' x soit fonction rationnelle de z, on aura les inégalités

l'hypothèse p = q = o devant être rejetée.

Le type est alors rationnel. Voici l'énumération des types rationnels, d'ailleurs bien connus:

Cela posé, les équations d'un même type dépendent d'un certain nombre P de paramètres arbitraires, de telle sorte que ce type se compose de oo'' équations distinctes.

(') Si r^ = o, on ne peut supposer j< =; O ni p = I. Si on suppo.se 2' = 2, on est amené à l'équation

(Vv Av

dx' {x ■ — aY '

Sur les groupes des équations linéaires. 227

Ces r paraïuctres étant C(HiH)l('xes, corrospoiidciit à 2]' [)arain<''tres réels. Or le iioiiibre de ces paramètres réels est précisément celui des conditions transcendantes aux<[iiclles doit satisfaire l'équation (i) ((jui est supposée appartenir au type donné) pour que x soit fonction fuchsi'enne de ,- (ou bien fonction doublement périodicpie, ou rationnelle dans le cas d'un type elliptique ou rationnel).

(Cf. Mémoire sur les fonctions fuchsiennes, Acta Mathematica, T. i, P- 234, 257, 262 et 272.)

Si au lieu de conditions transcendantes, il s'agissait de conditions algébriques, on })ourrait conclure de là que parmi les équations d'un même type, il y en a toujours une qui est fucbsienne. Mais ici cette conclusion n'est pas légitime et une démonstration spéciale est nécessaire. C'est cette démonstration qui fart l'objet principal du problème qui nous occupe.

Il est aisé d'en comprendre l'importance.

Supposons en effet (jue l'équation

(0 -^ = ?(•'•' y> (2) 'pi.^, u) = o

soit fuchsienne. Soient

{x = ffj , y = Z/J, {.€■= «,, // = h^), ..., (x = Uj,, y = h^

les poiTits singuliers de l'équation (i) et j la différence des racines de

l'équation déterminante relative au point («,, Z»,). k^ sera un nombre entier positif ou bien infini.

Considérons une fonction de x et de // n'admettant d'autres points singuliers que les points

(«,, Z-,), («,, ft,), ..., {a„ h,)

et cela de telle façon qu'elle revienne à sa valeur primitive quand le point analytique (x, y) a décrit A-, tours autour du point singulier («,, h). Cette dernière condition doit être supprimée quand Av = <X).

Cette fonction sera uniforme en z.

Il en sera ainsi des intégrales de l'équation :

228 H. Poincaré.

si lès foiu'tious jTt sont ratioiiiR'lles en ./■ et >j et s'il n'y a d'autres points singuliers que

(«,, i,), («.,, ij, ..., [a^,, h;)

de telle sorte que toutes les raeines de l'équation déterminante relative au point (a,, i,) soient des multiples de t- (cette dernière condition

Ai

étant supprimée quand Â-j = co).

Il en sera de même de toute fonction rationnelle de x et de y et d'un grand nombre de fonctions algébriques.

Par conséquent, si on démontre que dans tout type fuchsien il y a inie équation fuchsienne, on aura fait voir :

1°. Qu'étant donnée une équation linéaire quelconque à coefficients algébriques, la variable et les intégrales peuvent s'exprimer en fonctions uniformes d'une même variable auxiliaire z.

2°. Qu'étant donnée une courbe algébrique quelconque, les coordonnccs .(• et y d'un point de cette courbe s'expriment en fonctions uniformes d'une même variable auxiliaire z.

§ G. Snhordinat ion des types.

Considérons deux équations normales:

Les coefficients cf et çTj sont des fonctions rationnelles de deux variables X et y qui sont liées entre elles par une relation algébrique

(2) (lix, y) = o

que Je suppose être la même pour les deux équations (i) et (i'). Je suppose que l'équation (i) admette p points singuliers:

Sur les groupes des ('i|uatiiinM litK'aircs. 229

du tullf. iaroii 4UC la diltérciicL' de» racines du rùcjuatioii dcturmiiiaiite

relative à («, , i,) soit y .

Je suppose (jue l'équation (i') admette les moines points singuliers (rf j , 6,), (rt,j, 6.J, ..., (rt^,, i^,) que ré(juation (i) et en outre (j autres points singuliers:

K+i, i>,+x), {",,,-2, ^,,+-..), ••-, Kf,,, ^,+,)

et cela de telle sorte (jue la différence des racines de l'équation déterminante relative k (a, , h^ soit -rr .

Je suppose entin que N^ soit divisible par lx\ , ^^ ])ar /.-.j , . . . , N^, par Â'^, . Si lii est infini, A', devra être aussi infini. Si JV^ = cx), la condition de divisibilité sera regardée comme remplie, quel que soit k^.

Je dirai alors que le type dont fait partie Téquatioii (i') est subordonné au type dont fait partie l'équation (i).

Soit un type fuchsien T' subordonné à un autre type fuclisien T. Je suppose que chacun d'eux contienne une équation fuchsienne ; le premier l'équation E' et le second l'équation E. Soit z le rapport des intégrales de l'équation E' et t celui des intégrales de l'équation E. Il est aisé de voir que t est une fonction uniforme de z. Cette fonction n'existe évidemment que quand z est intérieur au cercle fondamental. De son côté t ne peut prendre aucune valeur extérieure à ce cercle; t prend au contraire une infinité de fois toute valeur intérieure au cercle fondamental.

Soient encore («^ , ij, («,, , ij, ..., [a^,, h^) les points singuliers

du type T et y- la différence des racines de l'équation déterminante rela-

tive au point («,, b). Soit F une fonction du point analytique (.', ^) qui ne présente d'autre point singulier que les points («, , ?>,), («^, 6J, ..., (a^,, h^ et de telle façon qu'après A-, tours autour du point («,, h) la fonction reprenne sa valeur pi'imitive. F sera par exemple une intégrale de l'équation linéaire (7) du paragraphe précédent. F sera une fonction vmiforme de t et par conséquent de z.

Mais supposons qu'on ne sache pas si le type T contient une équation fuchsienne, qu'on ne puisse pas, par conséquent, démontrer l'existence de t, mais qu'au contraire on sache que T' contient une équation fuchsienne

230 H. Poincaré.

et que la fonction z existe. Il est aisé de voir que ¥ est encore une fonction uniforme de z.

Ainsi pour démontrer le résultat suivant: Les intégrales d'une équation linéaire à coefficients rationnels en x et y peuvent s'exprimer ainsi que X et y en fonctions uniformes d'une même variable auxiliaire, il n'est pas nécessaire de faire voir que tout type fuchsien contient une équation fuchsicnne ; il suffit de montrer que parmi les types subordonnés ;i un type fuchsien donné, il en est toujours un qui contient une équation fuchsienne.

De là l'importance de cette notion de la subordination des types.

En particulier, considérons une équation E à coefficients rationnels et soient

«, , «,, ..., rt„

ses points singuliers. Soit /.j un nombre entier tel que toutes les racines de l'équation déterminaïite relative au point a^ soient des multiples de

7". S'il n'existe pas de pareil nombre entier, on fera k^ = co.

Au lieu d'envisager le type T qui admet les points singuliers rtj , «2 , . . . , rt„ , de telle façon que les différences des racines des équations déterminantes soient -j-, j- , . . . , jr ■> on pourra; envisager un type

T' subordonné à T. On supposera par exemple que T' admette outre les points singuliers «j , a., , . . ., a„, p autres points singuliers quelconques b^, b.^, . . ., bj,, et que chacune des p -\- 7i équations déterminantes correspondant à ces divers points singuliers ait une racine double.

Supjjosons que ce type T' contienne une équation fuchsienne E'; •dlots X sera une fonction fuchsienne du rapport z des intégrales de cette équation. La propriété caractéristique de cette fonction fuchsienne c'est de ne pouvoir prendre aucune des valeurs «^ , a.^, ..., «„, b^, b.^, ..., b^,, et, si elle existe, il est évident (|ue les intégrales de l'équation E seront des fonctions uniformes de z.

Ainsi il suffit de démontrer que l'on peut toujours trouver une fonction fuchsienne qui ne puisse pas prendre n valeurs données [a^, n,^, ..., a,) pour faire voir que toutes les équations linéaires à coefficients rationnels peuvent s'intégrer en n'employant que certaines fonctions uniformes que je me réserve d'ailleurs d'étudier dans un mémoire ultérieur.

Sur les groupes des équations linéaires. 231

Il l'ii C3st de même des équations a coefficients algcbricjues, car on sait que l'intégration d'une équation à coefficients algébriques se ramène à celle d'une é(juation d'ordre plus élevé à coefficients rationnels.

§ 7. Lenune fondamental.

Aucun tjipe fuchsien ne peut contenir plusieurs t'quations fuchsiennes distinctes.

Supposons en effet ([u'un type T contienne deux équations fuchsiennes E et E' ; soit 2 le rapport de deux intégrales », et «^ de l'équation E; soit t le rapport de deux intégrales ît[ et «â de l'équation E'.

On sait que z ne peut prendre d'autres valeurs que celles qui sont intérieures à un certain cercle fondamental. On peut toujours choisir les intégrales tt^, n.,, ?<| et Uo de telle façon: i" que le cercle fondamental relatif à z, de même que le cercle fondamental relatif à t, ait pour centre le point o et pour rayon l'unité ; 2° que les deux variables ^ et / s'annull%iit en même temps, pour r = « par exemple; 3° que pour une autre valeur de a; pour x = h, l'argument de z soit égal à celui de t.

Il est clair que z sera fonction uniforme de t, et réciproquement que t sera fonction uniforme de z. Il résulte alors des hypothèses faites plus

haut que - considéré, soit comme fonction de z, soit comme fonction de

t, n'existe pas à l'extérieur du cercle fondamental et qu'à l'intérieur de ce cercle, ce rapport reste holomorphe et ne peut s'annuller.

Considérons par exemple - comme fonction de z. Posons:

2 = ç + '35 w = log mod-;

u sera une fonction de ç et de jj, holomorphe à l'intérieur du cercle fondamental et satisfaisant à l'équation:

, , dSi , d'il.

Considérons clans le plan des z un cercle C concentrique au cercle fondamental et ayant pour rayon r < i.

Le long de ce cercle, t est constamment de module inférieur à l'unité, et par conséquent on a:

(2) u < log mod-.

Mais toute fonction holomorphe satisfaisant à l'équation (i) ne peut devenir, à l'intérieur d'un contour quelconque, supérieure à la plus grande des valeurs qu'elle prend le long de ce contour. L'inégalité (2) subsiste donc pour tous les points intérieurs au cercle C

Mais je puis prendre le rayon de ce cercle C aussi voisin que je veux de l'unité. Quand je fais tendre r vers l'unité, le second membre de l'inégalité (2) tend vers o. Il résulte de là qu'à l'intérieur du cercle fondamental, u ne peut prendre aucune valeur positive; d'où:

mod - <^ I .

Or rien ne distingue / de à; on peut donc écrire aussi:

mod 7^1

d'où

mod z = mod / d'où

t = zé" 0 étant une constante.

Mais, par hypothèse, t et z ont même argument pour z = h; on a donc

(9 =r o et ^ = 5'.

Ainsi les deux équations E et E' ne sont pas distinctes.

Ce lemme important a été énoncé d'abord par moi dans une communication faite à l'Académie des Sciences de Paris (17 Octobre 1881, Comptes Rendus, T. 93, page 582). 11 l'a été depuis ]);ir M. Ki.F.rx

Sur les groupes des équations linéaires. 2Hn

(Muthematische Annalen, Bd XXI, p. 209). M. Ki.kix l'ctoiulait d'ailleurs au cas des fonctions qui existent dans un domaine limité par une infinité de cercles. (Cf. Mémoire sur les groupes Jde'méens, § 9, Acta Mathematica, T. 3, p. 83). Mais je ne dirai rien ici de cette extension qui ne me serait pas utile pour mon objet.

§ 8. Pronfo- ajterrit tic fa mfthofle de conthiuitô.

M. Klein et moi, nous avons été conduits indépendamment l'un de l'autre à une méthode qui permet de démontrer que tout type fuchsien contient une équation fuchsienne et cjue Ion peut appeler méthode de continuité. Nous avons fait de cette méthode différentes applications. (Voir Comptes Rendus, T. 92, -[). 1200 et i486; Klein, Mathematische Annalen, Bd XIX p. 565, XX p. 49, et XXI p. 211; PoixcARÉ, Comptes Rendus, T. 94, p. 1038.) Voici quels sont les principes fondamentaux de cette méthode.

Simposons d'abord une variable réelle ,r et une fonction réelle y de cette variable; je suppose que pour toutes les valeurs finies ou infinies de X, il y ait une valeur de y et une seule, et c|ue cette valeur soit une fonction analytic|ue de x, (holomorphe .ou niéromorphe) ; que y ne puisse pas reprendre deux fois la même valeur. On j'ourra évidemment en conclure que y prend une fois et une seule toutes les valeurs possibles depuis — ce jusqu'à + '^^•

Supposons au contraire que la variable x, par sa nature même, ne puisse varier qu'entre deux limites a et h; c|ue pour toutes les valeurs comprises entre a et h, on sache que y est une fonction analytique de ..r, mais que pour ces limites elles-mêmes, on ne sache rien ; que y ne puisse jamais reprendre deux fois la même valeur. Quand x tendra vers (i, y tendra vers une certaine limite A et quand x tendra vers h, y tendra vers B. On sait alors seulement que y est constamment croissant ou décroissant et peut prendre toutes les valeurs intermédiaires entre A et B.

Au lieu d'une seule variable indépendante, considérons-en n, x^, x^, ..., x„ et n fonctions réelles de ces 11 variables, y^, y.^, . . ., y„. Je suppose que pour toutes les valeurs des x, les y soient des fonctions analytiques et que ces fonctions ne puissent jamais reprendre deux fois le même système

Acia mnihemniira. 4. ImprimiS 4 .lanvier 1884. 30

234 H. Poincaré.

de valeurs. Cela suffit pour que l'on soit certain que les y peuvent prendre tous les systèmes de valeurs possibles. Soit en particulier n = 2. Regardons x^ et .r^ connue définissant la position d'un point sur une sphère 8; y^ et //^ comme définissant la position d'un point sur une sphère S'. À chaque point de la sphère S correspond un point et un seul de la sphère S' et à aucun point de S' ne peut correspondre plus d'un point de S. Cela suffit pour qu'à tout point de 5" corresponde un point de 8.

Il en est encore de même si 8 et S' au lieu d'être deux sphères sont deux surfaces fermées quelconques. Mais supposons maintenant que S n'est pas une surface fermée, mais une surface ouverte, présentant une sorte de bord, de frontière. Supposons que les coordonnées de chaque point m' de -S" soient des fonctions analytiques des coordonnées du point correspondant m de S, lorsque ce point m n'est pas sur le bord de cette surface, mais que nous ne sachions rien lorsque le point m vient sur le bord de 8. Il ne sera pas possible alors de conclure des hypothèses faites plus hauc qu'à tout point de S' correspond un point de S.

La même chose arrivera, lorsque S et 8' seront regardées comme des surfaces situées dans l'espace à plus de trois dimensions, seront des Man)il(jfalfi()heiteu (multiplicités) à plus de deux dimensions, comme disent les Allemands.

Sup])Osons toujours ([u'à tout ]ioint m de 8 corresponde un point m' et un seul de 5" de telle façon que les coordonnées de »«' soient des fonctions analytiques de celles de m, à moins que m ne vienne sur le bord de la multiplicité S, dans le cas où cette multiplicité en aurait un. Supposons qu'à aucun point de S' ne puisse correspondre plus d'un point de 8. Si <S' est une multiplicité fermée nous serons certains qu'à tout point dé 8' correspondra un point de 8. Si au contrair(> S est une multiplicité ouverte présentant un bord, une frontière, nous ne pouvons rien affirmer.

Appliquons inaintenant ce qui précède au proldème (|ui nous occupe.

Nous dirons (jue deux types:

(0 ^ = fC'-. .'/)'• (2) </•{■'■, II) - o

(!') :i} -= f'iO'-. .'/)'' (2') </',{■<■, !/)^ o

Sur les groupes des oquatioiis linéaires. 235

iiji[);irticiiii('iit ;i lu iiu'iiic cliisso loi-squo U's deux relations (2) et (2') scrniit (le iiièinc genre, et lorsque les deux équations (i) et (i') auront le inèiiie nombre de points singuliers, de telle laeoii que ces points singuliers se correspondent chacun :i chacun et que les équations di-terniinantes relatives à deux points singuliers correspondants soient les mêmes.

Cela posé, à chaque type d'une même classe C", nous ferons correspondre un [)oiiit d'une certaine nuiltiplicité S'.

De même nous dirons que deux groupes fuchsiens (des i'"^" et 2' ou 6" familles) appartiennent à une même classe lorsque le polygone générateur aura le même nombre de côtés, et lorsque les soininets se répartiront en un même nombre de cycles, de telle façon que ces cycles se correspondent chacun ii chacun et que la sonune des angles de deux cycles correspondants soit la même.

A chaque classe C de types correspond une classe C de grou2)es, de telle façon que si une équation fuchsiennc appartient à la classe C", son groupe appartienne à la classe C.

A cluujue groupe de la classe C, faisons correspondre un point d'une multiplicité S.

A chaque point de S correspondra un point et un seul de S'; il suffit pour le voir de se reporter à la théorie des fonctions fuchsiennes ([ui montre qu'à chaque groupe fuchsien correspond une équation fuchsienne.

De plus, en vertu du lemme fondamental, li aucun point de *S" ne peut correspondre plus d'un point de S.

11 resterait à faire voir qu'à tout point de S' correspond un point de S.

Pour cola, d'après ce qui précède, il suffit que S soit une multiplicité fermée, (ju'elle n'ait pas de bord. Cela n'est nuUement évident a j)riori.

En effet, parmi les groupes dune classe, il y en a une infinité qui pourraient être des t/roiipes limites, correspondant à des points du bord de la multiplicité iS'. Ce sont les groupes dont le polygone générateur présente un ou plusieurs côtés infinitésimaux. On voit en effet (ju'on peut toujours construire un polygone générateur dont un des côtés soit au.ssi petit que l'on veut. Cela ne suffit pas d'ailleurs pour que S soit une multiplicité ouverte; car, en vertu du § g du Mémoire sur les groupes fuchsiens, un même groupe peut être engendré par ime infinité de polygones équivalents et il est possible que parmi ces [)olygones, ou

236 H. IVinoaré.

'])iiissc toujours eu choisir uu dout tous lus cotés soient supériciu's ;i une liiuite donnée.

Ainsi, il n'est pas évident que S est une uuiltiplicité l'erniée et il est nécessaire de le démontrer, par une discussion spéciale à chaque cas particulier, avant d'affirmer qu'à tout point de 6" correspond un point de S. C'est ce que M. Klein a né<iligé de faire. // // a là une difficulté dont on ne peut triompher en quelques lignes.

§ y. Ueiixième lenime.

Supposons que nous fassions varier notre polygone i?^ d'une façon continue et de telle manière que les éléments de ce polygone soient des fonctions continues d'un certain paramètre t. Envisageons maintenant l'équation fuchsienne que l'on peut former à l'aide de B^ et le type T auquel appartient cette équation. Soit:

(i) -^ = çj(,x, y)v (2) ipi^n, ij) = o (de genre p)

cette équation fuchsieime. Le type T sera défini (piand on connaitra les 3^; — 3 modules de la relation (2) et les points singuliers de l'équation (i); ces quantités s'appelleront les paramètres du type.

J'ai fait voir au § i du Mémoire sur les fonctions fuchsiennes que les fonctions 6 que l'on peut former à l'aide de 7?„ sont des fonctions continues de t et l'on peut en conclure que les paramètres du type T sont aussi des fonctions continues de /, ce qui est fort important au point de vue de l'application de la méthode de continuité.

Je vais pousser la chose plus loin. Je suppose que lorsque t tend vers o, deux ou plusieurs côtés décroissent indéfiniment. (Il • s'agit ici de leur longueur géométrique et non de leur L) Je supposerai par exemple (jue deux côtés conjugués, ou que 2q côtés, conjugués deux à deux, deviennent infiniment petits, de telle façon que ceux des côtés de /?„ qui restent finis soient encore conjugués deux à deux. B^ est alors un de ces polygones limites que nous étudierons en détail un peu plus loin.

Passons à la limite, et faisons ^ = o, de telle façon que les 2q côtés infinitésimaux de /»'„ s'annuUent absolument et que B^ se réduise par

Sur les groupes fies équations linéaires. 237

coiisfMUR'iit ;i 1111 iiutri' j)<)l\ n'iiiic Jt'o n ii};iiit ijur 211 — 2'j cotes conjugués doux ;i deux. Considérons le groupe G engendré par li^. A chaque paire de côtés conjugués de 7^^ correspond une substitution de G, c'est celle qui change l'un de ces deux côtés en son conjugué, et le groupe G est précisément dérivé des n substitutions (jui correspondent ainsi aux divers côtés de 7?„ . Parmi ces substitutions nous en distinguerons n — q qui correspondront aux n — rj paires de côtés de lî^ qui restent iinis. Le groupe dérive de ces n — q substitutions s'appellera G" et sera contenu dans G. Soit G' le groupe engendré par B[,; il sera isomorphe à G" puisqu'à chacun des côtés finis de 7?„ correspond un côté de B'o. Lorsque t tend vers o, le transformé de li^ par une substitution quelconque de G", tend vers le transformé de R'^ par la substitution corres])ondante de G'.

Nous appellerons A la portion du cercle fondamental qui est occupée par les transformés de B^ par les substitutions de G" et B celle qui est occupée par les transformés de B^ par les substitutions de G (jui n'app^frtiennent pas à G".

Le polygone B^ est par hypothèse de la i'" famille, ou du i" ordre de la 2° *ou de la 6" familles; à la limite, le polygone 7?ô appartiendra à la 2" ou à la 6" familles, mais il pourra appartenir au i" ou au 2'' ordre de ces familles, c'est à dire qu'il pourra ne pas admettre ou admettre des c}cles hyperboliques.

Dans le premier cas, B^ sera de la i"^^"'" catégorie, dans le second de la 2° catégorie.

Dans le pi-einier cas, les transformés de i?â par les substitutions de G' remplissent tout le cercle fondamental (i^f. Mémoire sur les (/roupes fuchsiens § 6). Par conséquent, lorsc^ue t tendra vers o, la superficie totale de B tendra vers o, et en même temps la plus petite distance de B à l'origine tendra vers i, c'est à dire vers le rayon du cercle fondamental.

Dans le second cas, ce sera l'inverse et la superticie de B ne tendra pas vers o.

Supposons donc que B^ soit de la i'" catégorie. Dans ce cas B'^ engendrera une équation fuchsienne

qui appartiendra ;i un type T' moins compliqué que T. Supposons pour

238 H. Poincai-c.

iTxLT les idées 7=1. Dans ce cas B'„ aura deux cotés de nio'uis <juc li^. Il arrivera alors, ou bien que l'équation (i') aura un point sin<:julier (1« moins que l'équation (i), ou bien que la relation (2') sera de genre p — I au lieu d'être de genre p ^t que l'équation (i') admettra deux points singuliers de plus que l'équation (i). (Vide infra page 262.)

Supposons par exemple, pour fixer les idées que ce soit le premier cas qui se présente. Je dis que les modules de la relation (2) vont tendre vers ceux de la relation (2') et que les points singuliers de l'équation (i) vont tendre vers ceux de l'équation (i') de telle façon que parmi les points singuliers de l'équation (i) il y en ait deux qui tendent vers un seul et même point singulier de l'équation (i').

Je vais montrer d'abord que les fonctions thétafuchsiennes engendrées par B^ tendent vers celles qui sont engendrées \)i\r i?ô.

Considérons les séries:

où H est l'algorithme d'une fonction rationnelle quelconque et où

(^, — '-^ I et I ~", ~ '-^ I désignent respectivement une substitution

quelconque du groupe G et du groupe G'. Je dis que

\im6{2) = d'{z).

On peut trouver un contour C entourant le point ^ et assez petit pour ((u'il soit intérieur ;i Il„ et à iîô et ((u'il reste intérieur à i)*„ pour toutes les valeurs suffisamment petites de f. On appellera rr la S de ce contour, X la L du plus grand arc de cercle orthogonal au cercle fondamental qui puisse être trace h l'intérieur de C; on appellera r ime quantité quelconque, A la L de la droite o^ et on 2>0''^Pi'ii comme dans le § I du Mémoire sur les fonctions fuchsiennes (Acta Mathematica, T. I, p. 206)

m ^2A ■\-''2mr

Sur les groupes des équations linéaires. 239

Appelons S„ et S'„ la somme des termes des séries ft et ft' qui corres-

pondent ;i des points hr et — ^r situes a 1 intérieur du cercle Jl

dont le rentre est l'origine et dont le 7? est (» • — i)r. Soit:

Soit h la plus grande valeur ([uc puisse; prendre le module de // pour des transformés du point z; nous aurons:

mod i?„ < — .,.„,.. , mod R' <

Nous pourrons donr prendre » assez grand pour que: mod i?„ < - , mod R'„ < -

s étant une quantité donnée.

Le nombre n est désormais fixe et par conséquent le cercle M.

Nous pourrons maintenant prendre r assez petit pour que f variant de r à o, aucun des transformés de ^ ne sorte du cercle 31 ou n'entre dans ce cercle et pour que les divers transformés de z par les substitutions de G qui n'appartiennent pas à G" soient tous extérieurs à ce cercle.

Alors f variant de r à o, S„ sera une fonction continue de f puisque c'est une somme d'un nombre fini de fonctions continues de /; pour t = o, S„ se réduira à <S,', ; on pourra donc prendre t assez petit pour que:

mod(5;-5„)<f

On aura alors:

mod {e — 6') <s

quelque petit (pie soit s.

Les fonctions fuchsiennes x et y qui entrent dans l'équation (i) peuvent être choisies arbitrairement ; nous poserons

240 H. Poincar(5.

H, H^ et H^ étant trois fonctions rationnelles arbitrairement choisies. Faisons de même:

O'jz, H) 6>'(z, HJ

il viendra

a^j ^-^ lini.T, //j = linivy.

On voit donc qu'à la limite, la relation qui lie ;;• et // se réduira à celle qui lie .Tj et y^ et que par eonséf|uent les modules de la relation (2) se réduisent à ceux de la relation (2').

De même nous aurons:

li,n fi— — l^n ^iS — i^

X,', x", . . . désignant les dérivées première, seconde, ... de x par rapport à z.

Il résulte de là:

lim^'(.r, //) = ç'(.r,, ?/J

et par consc(iu('iit les points singuliers de l'équation (i) tendront vers ceux de (i').

Rien de tout cela ne reste vrai si le polj'gone lî^ est de la 2" catégorie.

Dans le cas où le polygone 2?„ est symétrique, la chose peut se démontrer d'une manière toute différente.

Supposons par exemple un quadrilatère curviligne a/ipy, dont les côtés soient des arcs de cercle orthogonaux au cercle fondamental, et dont les angles soient des parties aliquotes de -; je les appelle a, ^9, ;-, o. Si nous prenons le symétrique de ce quadrilatère par rapport au côté j^y, nous obtiendrons, en adjoignant ces deux quadrilatères l'un à l'autre, un hexagone qui engendrera un système de fonctions fuchsiennes. Mais on peut aussi engendrer ces mêmes fonctions en cherchant à faire la représentation conforme du f|uadrilatère a/^p/ sur un cercle de centre o et de

Sur les jrroupes des équations linéaires. 241

rayon i. Si ^ est un point intérieur au ([uailrilatorc ft ./■ le point correspondant (lu cercle, x est une fonction fuclisienne de z.

Supposons maintenant que le côté j-â devienne infiniment petit, puis s'annulle, le (juadrilatère se réduira à lui triangle oijSy, dont le sommet y sera sur le cercle fondamental et de telle façon que l'angle o(;-y5 soit nul. Considérons donc le quadrilatère cil3]fâ; je suppose que le côté yà soit déjà très petit, mais ne soit pas encore nul. On peut mener une infinité de cercles ^,7-, tangents en ;-, au cercle j3y et coupant en y5; le cercle a^? sous un angle égal à y9. Menons un de ces cercles /îj;-, , de telle façon que le triangle ct/9,;', soit tout entier intérieur au quadrilatère, mais soit d'ailleurs aussi gi-and que possible. Menons encore un autre de ces cercles yî.^^-.j, de telle façon que le quadrilatère soit tout entier intérieur au triangle ^l^tTit "i^is que ce triangle soit d'ailleurs aussi petit que possible.

Soit rf"(, un point intérieur à ot^î,;-]. Supposons qu'on fasse sur le cercle de rayon i et de centre o, la l'eprésentation conforme de c!;9,/', , puis de oc/^yà, puis de a^î,,^.,, de telle façon qu'au point z^ corresponde le centre o. Soient respectivement :ï\, r et x^ les points du cercle qui correspondelit à un point z de 'x^^y^, ou de aBffj, ou de ay9.,^., . On aura:

mod .Tj > inod x > mod x^ .

Lorsque le côté yo s'annullera tout à fait les deux triangles d/S^y^ et o(/?.,/-5 se confondront et il est aisé de montrer qu'on aura:

d'où

limmodXj =^ limmod.r,^

rnnmod.Tj = lim mod

limCj = lim ;/'.

Cette démonstration dont je n'ai d'ailleurs donné qu'un aperçu ne s'appliquerait pas au cas où R^ ne serait pas symétrique.

Acta mathemaiUa. 4. Imprimi^ 7 Janvier 1884. oj

242 H. Poincaré.

§ 10. Types symétriques.

Je vais appliquer d'abord à un cas simple la méthode de continuité. Soit :

une éc^uation telle que (p soit rationnel en x, que les points singuliers soient tous réels et que l'équation déterminante relative à chacun d'eux ait une racine double. Le type T dont fait partie cette équation sera dit symétrique, pai'ce cjue si ce type contient une équation fuchsienne, le polygone générateur correspondant est symétrique.

Je dis que tout type symétrique contient une équation fuchsienne.

Si le nombre des points singuliers est égal à 3, on peut toujours, par un changement linéaire de variable, supposer que ces points sont précisément o, i et 00 ; alors on sait qu'il existe une équation fuchsienne dans le type T, car cette équation est précisément celle qui définit le carré du module d'une transcendante elliptique en fonction du rapport des périodes.

Supposons maintenant que le type T admette 4 points singuliers; on peut toujours par un changement linéaire de variable supposer cpie ces quatre points sont

o, I, a et co

a étant une quantité réelle positive plus grande que i.

Soient maintenant et, p, y, d quatre points situés sur le cercle fondamental, et je suppose qu'en parcourant ce cercle, on les rencontre précisément dans l'ordre a, /9, y, d. Décrivons quatre cercles, orthogonaux au cercle fondamental, et passant respectivement par les points a et y9, /9 et y, y et à, d et a. Nous aurons ainsi un certain quadrilatère. Construisons le quadrilatère symétrique du premier par rapport au cercle (h par exemple; l'ensemble de ces deux quadrilatères formera un polygone i?„ qui «ngendrera un groupe fuchsien symétrique de genre o et de la 2" famille que j'appelle G.

Sur les groupes des équations linéaires. 243

Formons les fonctions fuchsiennes correspondantes et en particulier la fonction :

k l'aide de la(jLulle toutes les autres s'expriment rationnellement. Pour uche\er de définir cette dernière fonction nous écrirons:

et nous poserons:

c sera rvv\ positif et plus grand (pie i. Alors z sera défini en fonction de .'• comme le nqiport de deux intégrales de l'équation fuchsiennc:

où ç est ratiormel en ./", où les points singuliers seront o, i, c et cnj et de telle sorte»que chaque équation déterminante ait une racine double. Pour faire voir que T contient une équation fuchsienne, il suffit donc de montrer qu'on peut choisir a, ,?, ;-, à de telle sorte que

Supposons donc que les points <x, j?, o restent fixes et qu'on fasse décrire au point y, l'arc jiù du cercle fondamental, dejjuis le point j3 jusqu'au point â.

Voici ce qui se passera:

1°. Les séries thétafuchsiennes définies au § i du Mémoire sur les fouet ion s fuchsiennes seront des fonctions continues de ;-, car elles sont uniformément convergentes, comme je l'ai fait voir dans ce paragraphe.

2°. Il en sera donc de même des fonctions fuchsiennes elles-mêmes et par conséquent de c.

3°. En vertu du leinme fondamental, c ne pourra prendre deux fois la même valeur.

4°. Lorsque le point y se rapprochera indéfiniment du point ^9, le quadrilatère oLjSyd se réduira au ti'iangle ai3â, et le polygone Eg se réduira au quadrilatère B'^ formé de ce triangle et du triangle symétrique par

244 H. Poincaré.

rapport au cercle a.ù. Le second leimiie nous a{)preii(l dojic (|uc c tendra vers riuiité.

5°. Pour la nièuie raison i^uand y tendra vers û, c tendra vers l'infini.

En réfeàimé, (]uand y variera en suivant le cercle fondamental depuis P jusqu'à o, c croîtra d'une façon continue depuis i jusqu'à l'infini, c prendra donc la valeur a qui est comprise entre i et l'infini.

Sup})OSons maintenant un type T admettant non plus 4, mais 5 points singuliers. On pourra toujours supposer par un changement linéaire de variables que ces 5 points singuliers sont:

o, I, a, h, 00 avec les inégalités (i) i < a<h

a et h étant des quantités réelles.

Si nous regardons a et h comme les coordonnées d'un point dans le plan, nous verrons qu'à chaque type T correspond un point d'une région plane limitée par les deux droites r« = i, a ^ h ni par la droite i = co. Cette région n'est autre chose (|ue la multiplicité S' définie dans le paragraphe 8. On voit qu'avec notre manière de considérer les choses, cette multiplicité est ouverte.

Prenons maintenant sur le cercle fondamental cin(| points a, fi, y, o, s se succédant sur ce cercle précisément dans cet ordre. 11 en résulte que l'on a.:

arg a >• argy5 > arg y > arg o > arg s .

Construisons le pentagone a^yds, puis le pentagone symétri(]ue par rapport au côté OLZ et. nous aurons un polygone li^ qui engendrera un groupe fuchsien G. Parmi les fonctions fuclisienncs correspondant à ce groupe, appelons ,t = f[z) celle à l'aide de laquelle les autres s'expriment rationnellement et qui de plus est telle que

f{oL) = o, /(/î)-!, m = 00.

Sur les grouiies des i^quations linéaires. 245

Ia's (juaiitilc'S

tir) = «. m = b

sont réelles positives et telles (juc

Lors(jue y — y? teiidni vers o, (i teiidrii vers i ; lorsque;- — r? tendra vers o, a — h tendra vers o; enfin lorsque d — s tendra vers o, h eroitra indéfiniment. De plus lorsque a, ^9 et s restant fixes, on fera varier y et ij, a et h seront des fonetions continues de y et de ô.

Si l'on considère les arguments de ;- et de o cduime les coordonnées d'un point dans un plan, ces arguments étant soumis aux inégalités:

argy? < arg ;- < arg 0 < arg a

le point correspondant sera situé à l'intérieur d'un triangle limité par les trois droites

argyî = arg;-, arg;- = argo\ argo" = args.

Ce triangle ne sera autre chose que la multiplicité S qui sera ouverte comme la multiplicité S'.

Cela posé, à chaque point de .S correspond ini j)oiiit et un seul de .S'; à cluujue poiïit de S' ne peut correspondre plus d'un point de «S". A chaque point de la périphérie de 8 correspond un point de la périphérie de .S". Il résulte de là nécessairement qu'à tout point de <S' cori'espond un point de S.

En d'autres termes, on peut toujours choisir le j^entagone a/^yos, de telle façon que a et h aient des valeurs données, c'est à dire que tout type fuchsien symétrique n'admettant que 5 points singuliers contient une équation fuchsienne.

La démonstration est absolument la même pour un plus grand nombre de points singuliers; d"où cette conclusion:

Tout type fucltsien symétrique contient une équation fuchsienne.

On voit que dans le cas particulier des types symétriques l'application de la méthode de continuité ne présente aucune difficulté.

On peut tirer de ce qui précède une conclusion importante.

246 H. Poincaré.

Considérons une fonction y de x, qui ne peut cesser d'être holoniorphe en x que si x prend une des n valeiu's a^, a.^, . . ., a„ ; supposons de plus que ces n valeurs sont réelles.

Considérons le type fuchsien symétrique (pii admet les n points singuliers a^ , a., , . . . , a,, . Il contient ime équation fuchsienne et dans cette équation la variable est une fonction fuchsienne du rapport z des intégrales :

Cette fonction n'existe pas à l'extérieur du cercle fondamental; si nous supposons a„ = co elle est holomorplic à l'intérieur de ce cercle et elle ne peut prendre aucune des valeurs a^ , a., , ■ ■ -, «„ .

11 résulte de là qu'à l'intérieur du cercle fondamental // est liolomorphe en z.

Donc si 1/ est une fonction de x admettant seulement un nombre fini de points singuliers qui soient tous réels, on peut trouver une variable z telle que y et x exprimées en fonctions de s n'existent pas à l'extérieur du cercle fondamentcd et soient Iwlomorphes à l'intérieur de ce cercle.

On peut supposer en particulier que y est une fonction algébrique, ou l'intégrale d'une équation linéaire à coefficients algébriques, telle que tous les points singuliers soient réels.

§ 11. Généralisution du théorème précédent.

Nous n'avons encore appliqué la méthode de continuité qu'aux types symétriques, mais avant d'aborder l'étude de types ])lus compliqués, nous allons tirer du résultat obtenu tout le parti possible. Soit :

une équation telle (pie (f[x) soit rationnel en .r, que les points singuliers soient Oj , «^ , . . . , a„ , mais ne soient pas tous réels et que chaque équation déterminante ait une racine double.

Appelons T le type dont fait partie cette équation.

Sur les groupes des équations linéaires. 247

Je démontrerai plus loin que ce type contient une équation fuclisienne, mais ce n'est pas cela que j'ai en vue pour le moment; je veux faire voir qu'il y a un type subordonné à T qui contient une équation fuchsienne; en d'autres termes, (ju'il existe une fonction fuchsienne, qui ne peut prendre à l'intérieur du cercle fondamental aucune des valeurs rt, , «, , . . . , «„ et qui de plus ne peut prendre non plus certaines autres valeurs l>^ , h.,, . . ., h,,.

Nous nous regardons donc comme libre'» d'adjoindre au taljleau des quantités a, telles quantités qu'il nous conviendra d"y ajouter. Nous ])()uvons toujours supposer que si le tableau des nombres a contient une quantité imaginaire, il contient aussi sa conjuguée; car si cette conjuguée n'y était pas contenue, on l'y adjoindrait.

Je suppose que le théorème soit vrai quand le tal)leau des quantités a ne contient que q — i couples de valeurs imaginaires et je vais faire voir qu'il est vrai quand ce tableau contient q semblables couples. Cela suffira, car dans le paragraphe précédent, j'ai démontré le théorème pour le cas où toutes Jes quantités a sont réelles.

Supposons donc que le tableau des quantités «, , a.,, . . ., a„ contient n — 2q quantités réelles

et 2q quantités imaginaires conjuguées deux à deux (2) a[, «2, ..., aô,.

Posons :

(pi^cc) = (r — «;)(:r — rt.;) . . . (.r — w^;

(f{x) sera un polynôme entier à coefficients réels. L'équation:

f'ix) = o

aura au moins une racine réelle, et par conséquent au plus q — i couples de racines imaginaires. Soient

Cj , c^ , . . . , f.i^—i

les racines de cette équation. Posons:

248 H. Poincaré.

Parmi les quantités suivantes

(4) O, ^'(aj, (r{a;), ..., ^' («,,); ^-(cj, çr(fj, ..., ç{r„)

il y aura au plus q — i couples de valeurs imaginaires.

On peut donc construire une fonction fuchsienne F{s) qui ne peut prendre aucune de ces valeurs puisque le théorème est supposé vrai pour un système de valeurs ne contenant que q — i couples de quantités imaginaires conjuguées.

Posons

On voit d'abord que .r est fonction uniforme de s; en effet cela ne poiu'rait cesser d'avoir lieu que si l'on avait:

jr'Or) = o d'où

ce qui est impossible.

De plus X ne peut prendre aucune des valcm-s

sans quoi l'on aurait:

ce qui est impossible, ni aucune des valeurs:

«;, «:, .. ., a'„^ sans quoi l'on aurait

ce qui est impossible.

La dérivée de x par rapport à s ne peut jamais s'annuller, sans quoi celle de F par rapport à s s'annullerait également, ce qui n'a jamais lieu.

D'ailleurs x est une fonction fuchsienne de s. En effet soit:

iF

Sur les groupes des équations linéaires. 249

on aiini, yiiis<[iio F est une fonction fuchsienne

(pdf) «'tant une fonction rationnelle en if. Si nous posons ensuite

4 /fi-'

d'où

V = «ffv^x»-)

il viendra:

d'w dx'-

[r'W]^HrOr)] + J[^

où le coefficient de w est une fonction rationnelle en r.

Ainsi r est une fonction uniforme de s, c'est à dire du rapport des deux intégrales deil'équatiou (5). C'est donc une fonction fuchsienne.

Ainsi X est une fonction fuchsienne qui ne peut prendre aucune des valeurs (i) et (2), mais qui de plus ne peut prendre non plus aucune des valeurs telles que ç'(.r) = ç'(fl,) ou ç:(;:r) ■= e-(c,-).

Appelons

h, i, , . . . , h, ces valeurs.

L'équation (5) qui c>t uno équation fuchsienne admet comme points singuliers

ff,, «2, . . ., a^,, a\, a[, . . ., a^^, h„ h, . . . , b^.

et de telle sorte que toutes les équations déterminantes aient une racine double. Elle appartient donc à im type subordonné à T.

Ainsi il est toujours possible de trouver une fonction fuchsienne r = f{z) qui ne peut prendre n valeurs données

et qui ne peut prendre non plus /.• autres valeurs non dormées

Aeta mathemaiica, 4. Imprimé S Janvier 188(. 32

250 H. roincaré.

A cette fonction fuchsienne correspond une équation fuchsienne dont les points singuliers sont les a et les h et dont toutes les équations déterminantes ont une racine double. Cette équation fait partie d'un type subordonné à T.

Soit maintenant y une fonction de x qui n'admet d'autre point singulier que les a. Si on pose x = f{z), ij sera fonction uniforme de z.

C'est ce qui arrivera en particulier lorsque y sera l'intégrale d'une équation linéaire à coefficients algébriques.

Ainsi on peut toujours trouver une variable ,ï, dont la variable x et les intégrales cVune pareille équation sont des fonctions uniformes.

§ 12. î'oli/f/ones limites. •

Je dirai que deux polygones générateurs 2?^ et B'^ de deux groupes fuchsiens G et G' appartiennent à une même classe lorsqu'ils satisferont aux conditions suivantes:

1°. Le nombre des côtés des deux polygones est le même.

2°. Si deux côtés de B^ sont conjugués, les deux côtés de même rang de B'„ sont également conjugués. Il en résulte que les sommets des deux polygones se répartissent en un même nombre de cycles de telle façon qu'à chaque cycle de B^ corresponde un cycle de i?ô et réciproquement.

3°. La somme des angles de deux cycles correspondants est la même.

Les polygones d'une même classe dépendent d'un certain nombre de paramètres. Supposons par exemple pour fixer les idées qu'ils soient complètement définis (^) lorsqu'on se donne tn/is paramètres x, y, z, mais que ces trois paramètres ne soient pas indépendants et soient liés entre eux par une i-elation ,

(') Il reste bien cntemlii que deux polygones ne sont pas distincts lorsipi ou peut passer de 1 un ù 1 autre par une substitution linéaire (pii n altrre pas le cerfle fiiinlaniciitai.

Sur les groupes des équations linéaires. 251

Si nous l'fgardons .r, // et z coiiinie les coordonnées d'un point dans l'espace, à chaque polygone de la classe correspond un point d"unc surface N, d/'tinic par l'égalité (i) de sorte qu'à la classe tout entière correspond cette surface ou une portion do cette surface.

Mais en général, pour que le polygone R^ puisse être le polygone générateur d'un groupe fuchsien, x, y Qt z doivent satisfaire non seulement à l'égalité (i), mais encoi'e à certaines inégalités (2). Aussi à la classe considérée correspond seulement une partie de la surface .S', et cette partiiest limitée par certaines courbes frontières dont on obtient l'équation en rempla(,ant dans une des inégalités (2) le signe de l'inégalité par celui de l'égalité.

Prenons un exemple. Soit un polygone li^ de la seconde famille et du genre o; ce sera par exemple un hexagone abcdef. Les côtés ah et hc, al et (le, ef et fa *o'it conjugués de telle sorte qu'il y a cjuatre cycles I), d, f et ace. Les six sommets devront satisfaire à la relation suivante :

- (« -k){c- cl){e - f) = (6 - c){d - e){f- a).

Soit ^{/jl) le rapport anharmonique de /i par rapport aux trois points b, d et f de telle sorte que :

Posons

Le polygone B^ sera entièrement défini quand on connaîtra x, ij et z; mais entre ces trois paramètres nous avons la relation suivante :

C'est l'équation d'un paraboloïde.

Mais .'■, // et z doivent satisfaire en outre aux inégalités

de sorte qu'on ne doit conserver qu'une portion du paraboloïde (i'). Cette portion doit être regardée comme limitée par les six droites suivantes

252 H. Poincaré.

(6) 2—1 .c = co

(7) .c = // = OÛ

(8) ■ ^y = CO 2 = 0.

Ce seront les courbes frontières de la portion utile du paniboloïde; à chaque ])oint de cette portion utile correspondra un polygone de la classe envisagée et réciproquement.

Supposons maintenant que, dans la classe considérée, il faille j). paramètres j\ , .r^ , ■ ■ ■ , J), pour définir complètement le polygone R^ et que ces j) paramètres satisfassent d'une part à une égalité (i), d'autre part à certaines inégalités (2). Si l'on regarde :i\, x.-,,..., x^ comme les coordonnées d'un point dans l'espace à jf dimensions, cette égalité et ces inégalités définiront une portion de surface, une multiplicité {MannigfaUi(jkeit), comme disent les Allemands. J'appellerai M^ cette multiplicité qui aura p — I dimensions. Elle sera en général ouverte et sera limitée par des multiplicités frontières de p — 2 dimensions, jiuisque les .i- satisfont non seulement a une égalité, mais encore à des inégalités. Ces multiplicitéi; frontières sont analogues aux courbes frontières dont il a été parlé plus haut et on obtient leurs équations, en remplaçant dans l'une des inégalités (2) le signe de l'inégalité par celui de l'égalité.

Considérons un point de la multiplicité M^ qui soit infiniment voisin de l'une des multiplicités frontières. A ce point correspondra un polygone dont certains éléments seront infinitésimaux et que j'appellerai pour cette raison polygone limite.

Nous allons envisager d'abord une classe de polygones B^ , du genre o, de la 2" famille; le nombi'e des côtés sera 2n; chaque côté de rang impair sera le conjugué du côté dont le rang est plus élevé d'une unité (le côté de rang 2p — i sera le conjugué du côté de rang 2p). De cette façon, si je désigne par la notation a^, le sommet qui sépare les côtés de rang p et de rang p — i, chaque sommet d'indice impair formera un cycle à lui tout seul, pendant que tous les sommets d'indice pair formeront

Sur les groupos dos (■i|u;itiiiii> linôaircs. 253

un siMil cNclc. 11 y aura donc vi\ tout ii + i cycles et tous les sonnncts seront d'ailleurs sur le cercle fondamental. Pour détinir un pai-eil polygone il suffit de se doiuier 211 — 3 de ces sommets, les trois autres étant supposés fixes. D'ailleurs entre ces 2« — 3 })araniètres nous avons la relation :

outre les inégalités:

(2") "l'g^i < :ii-gc(., < arga, < . . . < arga,,, < argît, 4" -~-

Je considère d'autre part les foncti(jns fuclisieiuies engendrées par li^ et parmi elles, une de celles à l'aide destjuelles toutes les autres s'exprinieiit ratioimellement. Je l'ap^JcUe f(^). Les points singuliers de ré(|uation fuclisienne correspondante sont alors au nombre de n -{- i; ce sont:

Je vais chercher quels sont les polygones limites de la classe en question. Pour les trouver il faut dans l'une des inégalités (2") remplacer le signe de l'inégalité par celui de l'égalité; d'où:

argot, = '^i'ga,+i ; «, = a,+i

c'est à dire (pi'un des cotés du polygone L\ doit devenir infiniment petit. Mais en vertu de l'équation (i") si un côté de rang pair devient infiniment petit, il faut qu'un côté de rang impair le devienne également, et réciproquement. Il y aura donc toujours au moins deux côtés qui s'annulleront. De là trois espèces de polygones limites.

1°. Ceux dont deux côtés conjugués s'annuUent.

2°. Ceux dont deux côtés non conjugués s'annullent.

3°. Ceux dont plus de deux côtés s'annullent à la fois.

Ainsi dans le cas du paraboloïde (i'), les droites frontières (3), (5) et (7) correspondent à des polygones limites de la 1"" espèce; les droites (4), (6) et (8) h des polygones de la 2" espèce et les points:

X = z = o, // = I ; X- = o, jj = 3 = \ ; etc.,

254 H. l'oiucaic.

qui appartiennent à la fois à, deux de ces droites frontières correspondent à des polygones de la 3'' espèce.

Les polygones limites de la 3" espèce sont évidemment des cas particuliers de ceux des deux premières. Laissons les pour un instant de côté et cherchons à montrer que ceux de la 2" espèce se ramènent à ceux de la I"^

En effet si nous envisageons un polygone de la 2" espèce, l'un de ses côtés infinitésimaux sera de rang pair. Je puis supposer que Ton ait numéroté les côtés de telle façon que ce soit précisément le côté de rang 2, «[«2. L'autre côté infinitésimal sera par exemple ci^j,ot..,j,^i . Ces deux côtés seront séparés par p — i paires de côtés conjugués C3t,a^ et o(.ja^ ; cfjGtj et a^otc; etc.; ao^,.,a.,^,i et a2^,ia..,;, . Joignons, par un arc de cercle orthogonal au cercle fondamental, a.,^,, :i. 7, : nous partagerons ainsi le. polygone iio en deux autres r„ et r[,; r„ contiendra par exemple le sommet a.,^, et ri le sommet a.. Soit r'g' le transformé de r^ par la substitution (jui change o..i^,,,n.n^,x en a2j,a2;,i , et posons

Eô = r„ + '"ô'-

Le polygone i?ô sera écjuivalent à Ji'o , il admettra deux côtés infinitésimaux, à savoir otoj,aj^,+i et le transformé de «!«,,. Ces deux côtés ne seront plus séparés que par p — 2 paires de côtés conjugués. En opérant sur jBÔ comme on a opéré sur li^ , on obtiendra un polygone R'^' où les deux côtés infinitésimaux ne seront plus séparés que par }) — 3 paires de côtés conjugués, et en continuant de la sorte, on finira par arriver à un polygone .S' équivalent à 7?„ et dont les deux côtés infinitésimaux seront consécutifs. Tous les polygones B„, itô > I^o\ ■••> 'S» auront une partie commune qui sera r„. Le côté infinitésimal o(.,^,a.,;,+i et son conjugué '^•2j,+i'^y,+-i appartiendront donc à .S'„. Le second côté infinitésimal sera })ar exemple jSoi..,^,. Joignons maintenant /Îa2;.+i P'^i" "» '^l'c de cercle orthogonal au cercle fondamental. Le polygone S^ se trouvera divisé en deu.x parties; le triangle as^j/îaj^j+i = Sg et s„ = -S'o — s'„. Soit ;- le transformé de ;î par la substitution qui change o-^^rt-i,,^! en «2;)+2a2j)+i et soit aj^j^.s^'asiP+i = *ô' le triangle transformé de .s„ par cette substitution. Le polygone S>'g = «o + ^''ô' sera équivalent à »S'„ et il est aisé de voir qu'il n'a que deux côtés infinitésimaux, à savoir /îajj.+i et ^«2^,4.1 qui sont conjugués.

Sur les groupes des éi)uati(uis linéaires. 255

Il est vrai (jiic le polygone .s; quoique étjuivalent a E^ n'appartient pas à la même classe, parce que les paires de côtés conjugués sont distribuées d'une autre manière; mais il est aisé, par des transformations convenables, de ramener le polygrme S'^ à im polygone équivalent S'^' admettant comme .S',', les côtés infinitésimaux conjugués /î'ao^.+j et Ya^i.^i et dont chaque côté de rang impair est conjugué du côté pair qui le suit.

Nous sommes ainsi amenés à nous occuper principalement des polygones limites de la i'" espèce.

Ctmsidérons un pareil polygone dont les deux côtés conjugués soient «i«2 et «■.,,«1 • Nous distinguerons deux catégories de polyo-ones de la I espèce.

1°. Ceux de la i"' catég(jrie seront tels (jue

2° et ceux de la *• catégorie seront tels que

Dans le premier cas, on a entre les sommets du polygone les relations suivantes

(9) et, = a, = a.,„

(i") — («, — 'X,)... («,„__, — oc,) = (ot, — «3) . . . («,„, — a,„,)-

Le polygone B^ se réduit donc (lorsque passant à la limite on annulle ses côtés iTifinitésimaux) k un polygone R^ tout à fait analogue, mais dont le nombre des côtés n'est plus que 2W — 2 au lieu de 2n.

Disons quelques mots des groupes G et G' engendrés par ces deux polygones i?„ et B'^. Appelons .S', la substitution parabolique qui change a,iO!, en c(,^|0(, {i étant essentiellement impair). Le groupe G sera dérivé des 11 substitutions

La résultante

sera p:iral)()li([n(' et admettra le point double <x..„.

256 H. Poincaré.

Lorsque R^ se réduit à i?ô, les substitutions .S';,,..., &„, deviennent S3, ..., <S2„-i et restent paraboliques, mais la substitution S^ devient illusoire et n'a plus aucun sens. Le groupe G' est donc dérivé des 'ii — i substitutions

C' or/

En vertu de la relation (r') la résultante

est parabolique.

Donc les sommets d'ordre pair de JR'n forment un cycle parabolique (3'' sous-catégorie) et par conséquent R'g et ses transformés par les diverses substitutions de G' rempliront tout le cercle fondamental (cf. Théorie des groupes fuchsiens § 6).

Alors en appliquant le 2'^ lemine, on verrait que la différence

fM - fM

tend vers o et que le type T, dont fait partie l'équation fuclisienne engendrée par B^^, se réduit à un type T' plus simple n'admettant plus que n points singuliers.

Supposons maintenant que deux côtés c(,a^ et o(.„,ot, tendent vers o de telle façon que

hm — $ I .

La relation (i") cessera d'avoir lieu. La résultante

sera byperbolique et non parabolique; les sommets d'ordre pair de i?,', formeront un cycle hyperbolique (4* sous-catégorie) et par conséquent les transformés de Il'„ par les substitutions de G' ne rempliront pas tout le cercle fondamental, mais seulement une portion de cercle limitée par une infinité de circonférences. (Cf. Théorie des (iroupes fuchsiens § 6.)

Le 2^ lemme n'est donc pas applicable, ce qui montre quelle différence profonde sépare les polygones limites de la i"''' et de la 2' catégories.

Sur les groupes dos d^uations linéaires. 257

On jjourrait faire une théorie tout à fait analogue des polygones limites de la 3" espèce qui ne sont que des cas particuliers de ceux de la I"" et de la 2^

Comme deuxième exemple, nous considérerons un polygone R^ du genre o, dont les côtés seront disposés comme dans l'exemple précédent, mais qui appartiendra à la i""' famille et dont par conséquent tous les sommets seront à . l'intérieur du cercle fondamental et tous les cycles seront elliptiques (i^"^* catégorie).

Nous appellerons

les angles de ce polygone qui ont leurs sommets en

et h la somme des autres' angles du polygone. Ces divers angles doivent être des parties aliquotes de 2rr; je les regarderai comme donnés; la classe à laquelle appartient B^ est alors parfaitement définie. Dans ce C[ui va suivre, nous envisagerons la L des côtés de ce polygone et non leur longueur géométrique. Dans l'exemple précédent, quand nous disions qu'un côté était infiniment petit, cela s'entendait de sa longueur; ici au contraire cela s'entendra de sa L (qui n'est autre chose que la longueur au point de vue de la géométrie non-euclidienne ; cf. Groupes fuclisiens ^ i; Fonctions fuchsiennes § i).

Cela posé, comment peut-on concevoir que le polygone R^ devienne un polygone limite? Cela pourrait se concevoir de trois manières.

1°. Si un côté devenait infiniment petit.

2°. Si un angle s'annullait.

3°. Si un côté devenait infiniment grand.

Il est aisé de voir que les deux premiers cas ne se présenteront jamais, sans que le troisième se présente également; examinons donc le troisième.

Supposons qu'un côté de i?o> a..>„cti par exemple, devienne infini; il en sera de même du conjugué «lOtj. Mais l'angle de ces deux côtés qui est flj est donné et fini. Donc la diagonale «j,,»., est infinie. Mais cette diagonale est plus petite que la somme des 2n — 2 autres côtés. Donc l'un de ces côtés est infini. Ce sera par exemple a>^20(2;,i et il en sera

Acta mathtmatica. 4. Imprimé 12 Janvier 18S4. 58

2S8 H. Poincaré.

de même par conséquent de son conjugué a^p^ia-^p. Joignons par un arc de cercle orthogonal au cercle fondamental, les deux sommets et,, (x<,j,2- Nous aurons ainsi divisé B,^ en deux polygones partiels: r^ qui comprendra le sommet et.,, et )„ qui comprendra le sommet a.,,,. Soit maintenant r'g' le transformé de r^ par la substitution (|ui cliange «la., en (Zia,,,. Le polygone i?ô ^= '"ô + >'o 411'' •-'** équivalent à B^ a comme lui quatre côtés infinis, mais ces quatre côtés sont consécutifs. Il résulte de là que nous pouvons toujours supposer que les 4 côtés infinis de i?,, sont Gto,,^! , ctjGt., , oi^OL.j, OL.^rt.^. C'est ce que nous ferons.

On peut supposer aussi que B^ a plus de quatre côtés infinis; mais ce n'est qu'un cas particulier que nous laisserons de côté pour le moment; nous supposerons donc que les 211 — 4 autres côtés sont finis. Dans ce cas, on peut démontrer sans trop de difficultés que la diagonale cn^a.^ est finie. Appelons r„ le triangle oCiCt,»., et rô le reste de B^. Appelons rô' le triangle a^yîcc^ transformé de r^ par la substitution qui change a.^oL^ en ot^a^. Le polygone i?ô = r'^ -\- >ô' sera équivalent à B^ et il n'aura plus que deux côtés infinis o(,a.,„ et yîa^ qui seront conjugués, pendant que les deux côtés conjugués a, 0(3 et a.,[i seront finis. Ces deux derniers côtés ont leur L finie, mais leur longueur géométrique est infiniment petite. Supposons que nous passions à la limite et que ces deux côtés s'annullent. Le polygone B^ se réduira alors à un polygone B^' qui n'aura plus que 2)1 — 2 côtés par suite de la confusion des trois sommets o.^, o.^ et p. Parmi ces côtés, il y en a 2», — 4 qui ne diffèrent pas de ceux de B^\ les deux autres sont les côtés aj^a, et a^o-^ qui sont conjugués; le sommet ttj qui est situé sur le cercle fondamental, forme à lui tout seul un cycle qui peut être parabolique ou hyperbolique.

S'il est parabolique, ce qui arrive lorsque le cercle qui passe par «i^.,,, et «4 est tangent au cercle fondamental, le polygone limite est de la I'" catégorie.

S'il est au contraire hyperbolique, le polygone limite est de la 2^ catégorie.

Les propriétés des deux catégories sont' les mêmes que dans l'exemple précédent. Ainsi si G est le groupe engendré par B^ , ce groupe sera dérivé de 11 substitutions elliptiques:

Sur les groupes des équations linéaires. 259

de telle façon que .S^ ait pour point double a, . Le groupe dérivé de

S„ S,, ..., X.„, et de S^S,

s'appellera G". Lorsque 7?^ se réduira à IÎ'q, les substitutions S^, S-,, ...,.S.,„i tendront vers des substitutions elliptiques Si, 5,, ..., iSâ„i et S^S.^ tendra vers une certaine substitution 2'. S^ et S.^ deviendront illusoires. Le groupe G' engendré par i?ô' sera dérivé de

et sera isomorphe à G".

Si le polygone est de la i"° catégorie, I sera parabolique; les transformés de E'a par le groupe G' rempliront tout le cercle fondamental. Lorsque i?ô tendra vers Su', le transformé de iî^ P'^i' i^ne substitution de G" tendra vers le transformé de i?ô' P'^i" 1^ substitution correspondante de G', et la surface recouverte par les transformés de R^ par les substitutions de G qui n'appartiennent pas à G", tendra vers o. En appliquant le deuxième lemme et en conservant les mêmes notations que plus haut, on verrait que la différence /"(otj) — fioi-.j) tend en même temps vers o.

Si au contraire le polygone est de la 2" catégorie, 2' est hyperbolique et les transformés de J?ô' "^ remplissent pas tout le cercle fondamental. Les déductions précédentes ne sont donc plus possibles et l'on ne peut affirmer que /"(aj — f{fx^) tende vers o.

On traiterait de même le cas oii il y a plus de quatre côtés infinis.

Comme troisième exemple, nous choisirons un polygone B^ de genre }), de la i"" famille, de 4^; côtés, dont les côtés opposés sont conjugués et dont tous les sommets forment un seul cycle, pendant que la somme des angles est égale à 2;r.

Ici encore on pourrait concevoir trois cas où le polygone deviendrait pplygone limite.

1°. Si l'un des côtés s'annullait (cela s'entend toujours de la L de ce côté).

2°. Si un angle s'annullait.

3°. Si un côté devenait infini.

Comme dans l'exemple précédent, les deux premiers cas ne se présenteront jamais sans que le troisième se présente en même temps et c'est ce troisième cas qu'il nous reste à examiner.

260 H. Poincaré.

J'appelle comme plus haut a, le sommet de rang i et je suppose que le côté «4^31 et son conjugué cx;^ot,,^^.i deviennent infinis. Soit j3^ le milieu de a^pCii . (J'entends par là que la L de ctj^,/?! est égale à celle de yîicti) et ^2 le milieu de ciopO^^^+i . Joignons ^jyS., par un arc de cercle orthogonal au cercle fondamental. Ce sera une sécante de notre polygone B^ et cette sécante sera finie. Cette sécante partagera le polygone B^ en deux autres: r^ qui contiendra le sommet «j , et >„ qui contiendra le . sommet 0(4^. Soit maintenant Sp la substitution qui change otpOt^+i en son conjugué agpOisp^i . Cette substitution changera

en

ou:

• • '^ip-l^'ipl^'i

'^j) = otj^ï+i)

Le polygone B'„ ^ r'^ -\- r'o sera équivalent à B^, il aura /^p -\- 2 sommets qui se succéderont dans l'ordre suivant:

Pl*1^2 • • • '^p^Zp + l.'^Zp + Z • ■ • '^4pPlP2^ip+ï^-2p + i • • • ^3p^i)+2^i)+3 • • • ^-IpPi '

Ces 4jj + 2 sommets forment deux cycles qui sont d'ailleurs tels que la somme des angles de chacun d'eux est égale à 2-. Quatre côtés sont infinis à savoir j3[(x[, ot^^,/?! , /SaCCo^j+i ,' aâ^^^J. La L des côtés ySj/î^ ^^ yîjyîô est finie et leur longueur géométrique est infiniment petite.

Si nous passons à la limite cette longueur s'annullera absolument et les sommets y5i et yî, , ySJ et yîô se confondront. Le polygone B'^ se réduira alors à un autre polygone jR,',' qui n'aura plus que 4^; sommets, deux sur le cercle fondamental ySj et /?J et 4^; — 2 en dehors de ce cercle. Chacun des sommets y?i et ^; forme à lui tout seul un cycle qui peut être parabolique ou hyperbolique.

Etudions maintenant le groupe G engendré par le jiolygone B,g ou ce qui revient au même par B'o . Si nous appelons S, la substitution qui change le côté ot,a,+i de B^ en son conjugué a^p+iCi^p+i+i , le groupe G sera dérivé des 22) substitutions

bj , O2 , • ■ ■ } "s

■ip

Sur les groupes des équatioDS linéaires. 261

entre lesquelles nous avons la relation

Quelles sont les substitutions de G qui changent chaque côté de R'^ en son conjugué? Ce seront:

qui

change

/?,/?. en /?;^^

Sip

(x^p+j/i. en a.p^i

S^ S^pSp

(i^^p en ;9;a;

«;«;+! en a,^^.'

et

Lorsque le polygone i?ô se réduit à JRô', ^^ substitution S^ devient illusoire et les substitutions S.^p, S~^S^pSp et Sp^S^ se réduisent à certaines substitutions 1', 1" et S[. De ces substitutions dérive un groupe G' qui est précisément engendré par R'^' et de telle façon que I et 2" sont les deux substitutions qui changent la première «s^+^^'i en ot^^,/?, , la seconde a'ipl^'i en a;^?;.

Si les multiplicateurs de I et de 2" sont égaux à i, ces deux substitutions sont paraboliques; le polygone Rq sera dit alors de la i'" catégorie et ses transformés recouvriront- tout le cercle fondamental. On en conclut, comme dans les deux exemples qui précèdent, que le deuxième lemme est applicable et que par conséquent les fonctions fuchsiennes engendrées par R'(, tendent vers les fonctions fuchsiennes engendrées par R'o', quand R'^ tend vers Rg.

Entrons dans plus de détails. Soient x et y deux fonctions fuchsiennes engendrées par i?ô ; il }' aura entre ces deux fonctions une relation algébrique

qui sera de geiu'e jj, puisque i?ô est de genre j)- Si cette relation est regardée comme l'équation d'une courbe de degré m, cette courbe aura

262 H. Poinoaré.

points doubles. Lorsque i?ô se réduira à B'ç,', le genre de cette courbe devra diminuer d'une unité, puisque le polygone i?ô' ^st de genre p — i ; c'est à dire que la courbe devra acquérir un nouveau point double. A ce point double correspondront en réalité deux points analytiques difierents (selon que le point double sera regardé comme appartenant à l'une ou à l'autre des branches de courbe qui y passent) et par conséquent deux 2)oints réeUement distincts du polygone i?é'- Ces deux points seront y9i et. /3J qui sont comme on le sait sur la circonférence du cercle fondamental. Il résulte de là que les deux fonctions fuchsiennes lim;r et lim // ne peuvent prendre à l'intérieur du cercle fondamental les deux valeurs qui correspondent au nouveau point double.

Il ne peut pas arriver que l'un des multiplicateurs de 2" et de 2" soit égal à i et l'autre différent de i, de telle façon que l'une de ces substitutions soit parabolique et l'autre hyperbolique. En effet l'on a:

d'où :

et

multSa^ = nmli S^"^ S^pSp

lim mult S.,p = iim mult S^, ^S.2j,S^, mult 2 = mult 2".

Il peut arriver au contraire que les deux multiplicateurs soient différents de i et les deux substitutions hyperboliques. Dans ce cas i?,',' est dit de la 2'' catégorie. Le deuxième lemme n'est plus applicable et les fonctions fuchsiennes engendrées par i?ô ne tendent pas vers celles qui sont engendrées par B,'„'.

On traiterait de même le cas où plus de deux côtés de IR^ deviendraient infinis.

Les exemples qui précèdent suffiront, je pense, pour montrer comment doit être traitée dans chaque cas, la question des polygones limites.

Dans le cas du second exemple, nous dirons que le polygone limite i?(, est :

1° de la 1 '■'''' espèce s'il n"a que 4 côtés infinis et (ju'ils soient consécutifs.

Sur les groupes des équations linéaires. 263

2° de la 2° espèce s'il n":i (|iie 4 entés infinis et qu'ils ne soient pas consécutifs. (Nous avons vu quun polygone de la 2^ espèce peut toujours être ramené à un polygone de la i"'").

3" de la 3^ espèce s'il a ])lus de 4 côtés infinis; on démontrerait aisément qu'on peut toujom's ramener au cas où tous les cotés infinis sont consécutifs.

Dans le cas du troisième exemple, nous dirons que le polygone limite i?^ est-:

1° de la i''"'* espèce s'il n'a que 2 côtés infinis.

2° de la 3" espèce, s'il a plus de deux côtés infinis.

§ 13. Polygones réduits.

Nous avons vu qu'aux différents polygones d'une même classe correspondaient un i)ar un les diflérents points d'une multiplicité M^. Mais à un méine groupe fuchsien correspondent une infinité de polygones générateurs et par conséquent une infinité de points de jl/j . En ettet le procédé du § 9 du Mémoire sur les groupes fuchsiens permet de transformer le polygone JR^ en un autre B'^ équivalent a B^ et engendrant le même groupe fuchsien. De là une infinité de transformations qui changent un polygone en un autre équivalent, et par conséquent un point de ilij en un autre point de cette multiplicité. Ces substitutions forment un groupe que j'appelle F et qui est évidemment discontinu. La multiplicité M^ va se trouver partagée en vme infinité de domaines D^, D^, ..., D,, ..., de telle façon qu'à chaque substitution de F corresponde un de ces Homaines et que ce domaine soit précisément le transformé de D^ par cette substitution. Cette subdivision de 21^ à l'aide du groupe /' est tout à fait analogue à la subdivision du cercle fondamental en une infinité de polygones i?„ , R^, ... à l'aide d'un groupe fuchsien quelconque. Nous allons d'ailleurs éclaircir ce qui précède par une comparaison simple.

Supposons que dans le plan des r//, le point .r, // représente la quantité imaginaire ^ = x -\- iy et considérons un parallélogramme rectiligne B^ , ayant pour sommets o, s^ , 2^ et z^ + ^j • On pourra subdiviser le plan en une infinité de parallélogrammes égaux à B^ et on engendrera

264 H. Poincaré.

ainsi le groupe (s, ^ + ct^j + l^-^) o^^ a et y? sont des entiers quelconques; de ce groupe dériveront les fonctions doublement périodiques C{ui ont pour période ^j et z^ . Mais ce parallélogramme peut être remplacé par un autre dont les sommets soient:

o, a^j + I3z^, p^ + oX, (et + r)^i + (/5 + ô)z^

où a, /9, ;-, o sont des entiers tels que aâ — [^Y = i • Ce second parallélogramme est équivalent au premier; je l'appellerai R'^. Pour définir B^,

z nous nous donnerons le rapport — ^ co. Aux différents parallélogrammes

possibles correspondront différents points du plan des co ou plutôt de la partie de ce plan qui est au dessus de l'axe des quantités réelles, partie que j'appellerai partie positive du plan. A R'^ correspondra le point

-; -, de sorte que la partie positive du plan des w va se trouver

partagée en une infinité de domaines qui se transformeront les uns dans

les autres quand on appliquera à w la substitution [w, -: ^j. A toute

fonction doublement périodique correspondra un point de chacun de ces domaines et un seul. Mais parmi tous les parallélogrammes équivalents à R^, il y en a un qui est plus simple que tous les autres; c'est celui qui est tel que la forme cjuadratique positive :

mod=(ç.-^ + rjz^)

où ^ et :y sont des indéterminées entières, soit une forme réduite. On peut dire alors que ce parallélogramme est lui même réduit. On pourra définir ce parallélogramme réduit de la façon suivante:

1°. Il devra être tel que la jJartie imaginaire de m soit aussi grande que possible.

i°. Et parmi ceux qui correspondent à ce maximum de la partie imaginaire de w et qui sont en nombre infini, il devra être tel que la valeur absolue de la partie réelle de (o soit aussi petite que possible. .

On voit aisément alors que o) doit satisfaire aux inégalités

< partie réelle de û> < - , mod w > i .

Sur les groupes des équations linéaires. 265

Les points lo qui correspondent à des parallélogrammes réduits sont alors compris dans un domaine I)^ défini par ces inégalités et limite par deux droites et un cercle. Ce domaine D^ et ses transformes par les

diverses substitutions du groupe {eu, "''" 'A remplissent alors toute la