t5Gt

ce qui est contraire au premier principe.

276 H. l'oiucard.

De même si on avait:

lim a, < liia a^ , liin a, < liin «^ ou liiii a^ ^ Uni 7.j

on aurait

ce qui serait contraire au premier principe.

Donc les cinq sommets a^, a^ , . . , ot^ tendent vers un seul et même point A du cercle fondamental.

Joignons les deux points M et N définis plus liant. Si A' était à gauche de AIN (c'est à dire du même côté que L") on aurait:

et s'il était à droite

ce qui serait contraire au premier principe.

Ainsi A' est en M ou en N, c'est à dire (jue le cercle A'B'C est tangent au cercle fondamental, c'est à dire que B^ est de la i''" catégorie.

§ 14. Jléthode de coiitinuitr.

Tous les lemmes c[ue nous avons établis vont nous permettre d'appliquer avec toute rigueur la méthode de continuité.

Considérons une infinité de types T appartenant à une même classe et définis par un certain nombre de paramètres qui seront, si l'équation générale du type s'écrit

les modules de la relation (2) et les points singuliers de l'équation (i). Soit q le nombre de ces paramètres. Ces paramètres vont définir un point d'une certaine multiplicité 31 h q dimensions. Je dis (pie cette

Sur les groupes des équations liacaircs. . 277

jiiultiplicité est fermée et ne présente pas de frontière. En effet Riemaxx a démontré que si une multiplicité à q dimensions était limitée par une autre multiplicité, cette autre multiplicité devrait être k q — i dimensions. C'est ainsi Cju'une surface, par exemple, ne peut être découpée (zerschnitten) que par une ligne et non par un point.

Or en faisant varier les paramètres du type, on ne pourrait arriver à la frontière de 3/ ([u'en atteignant certains points singuliers de cette multiplicité, correspondant au cas où le type T se réduit à un tvpe T plus simple (cf. § 9, page 238). Ov cela ne peut arriver que de deux manières:

1° ou bien, si deux points singuliers de (i) venaient à se confondre; mais il faut pour cela une condition complexe, c'est à dire deux conditiims réelles.

2° ou bien, si le genre de la relation (2) s'abaisse d'une unité, c'est à dire si la courl)e représentée par cette relation acquiert un nouveau point double. Mais ici encore il faut pour cela deux conditions réelles.

Ainsi dans l'un comme dans l'autre cas, il faut s'imposer deux conditions, et les points singuliers qui satisfont à ces conditions forment une nuiltiplicité -à q — 2 dimensions (|ui ne peut servir de frontière à M qui en a q. J'appellerai o-j , a.,. ... ces multiplicités h. q — i dimensions que je viens de définir.

Considérons maintenant le domaine D^ défini au § 13. A chacun des points de ce domaine correspond un polygone R^ et par conséquent une ét|uation fuchsienne. Considérons les paramètres du type auquel elle ap})artient: ils détiniront un certain point de la multiplicité M. Ainsi à tout point de B^ correspondra un point de JSL et un seul. D'autre part, à tout point /i de M correspondant à un type fuchsien qui contient une équation fuclisienne, correspondra un point o de D^ et un seul. Il y a exception toutefois si le point o se trouve sur l'une des multiplicités w?j , m^, ... qui séparent D^ du reste de la multiplicité M^ . Dans ce cas en effet, il y a deux ou plusieurs polygones équivalents réduits, de sorte qu'au point // cori'espondent deux ou plusieurs points o. Au domaine Dg tout entier correspondra ou bien luic portion de Jl/. ou bien cette multiplicité tout entière.

Je dis que le premier cas ne se présentera pas. En effet, s'il se présentait, la multiplicité M serait partagée en deux parties, celle qui

278 H. roincarc.

correspond à Z>„ et celle qui ne correspond pas à 7>„ , et ces deux parties devraient être séparées l'une de l'autre par une multiplicité frontière, qui devrait avoir, d'après le théorème de Riemann, q — i dimensions.

Or comment pourrait-il arriver que, le point d de B^ se mouvant dans ce domaine, le point correspondant /i de M atteignit cette multiplicité frontière hypothétique?

Est-ce parce que le déterminant fonctionnel des coordonnées de n par rapport à celles de d s'annullerait? Mais cela n'arrivera jamais puisque le lemme du § 7 montre qu'à tout point /i ne peut correspondre qu'un seul point d.

Est-ce parce que le point d atteindrait l'une de ces multiplicités m^, m^, ... qui séparent le domaine D^ des autres parties de la multiplicité iJfj ? Mais supposons, par exemple, que le point d franchisse une multijîlicité m^ qui sépare le domaine D^ d'un autre domaine D^ . Le point /j. franchira alors une certaine multiplicité /i, qui correspondra à )ii^ ; mais le point à étant entré dans le domaine I)^ qui fait encore partie de la multiplicité M^ , à ce point â correspondra encore un polygone B^ et par conséquent une équation fuchsienne et im point de la multiplicité M. La multiplicité /i^ ne sépare donc pas les types fuchsiens qui contiennent des équations fuchsiennes, de ceux qui n'en contiennent pas.

Est-ce entin parce que le point a atteindrait la limite même de la multiplicité Ifj ? Il arriverait alors que le polygone B,^ correspondant deviendrait un polyc)one Imite. Mais comme o est intérieur à D^ , le polygone B^ est réduit et par conséquent de la 1"'' caté.(jorie ou équivalent à un polygone de la 1"'' catégorie. Mais le 2"^ lemme nous a fait voir que lorsque iî^' tendait à se réduire à un polygone limite de la i''" catégorie, le type correspondant T tendait à se réduire à un type plus simple T', c'est à dire que deux des points singuliers de (i) tendaient à se confondre, ou bien que le genre de (2) tendait à s'abaisser d'une unité. Donc lorsque le point ô en restant intérieur à D^ , tend vers une des frontières de M^ , le point correspondant ji tend vers l'une des multiplicités o-j , a.^, ... Mais ces multiplicités n'ont que q — 2 dimensions. Elles ne peuvent donc partager M en deux parties.

Donc M ne se partage pas en deux parties, l'une correspondant à 7)„ , l'autre ne correspondant pas à B^ .

Donc tout type fuclisien contient une équation fuchsienne.

Sur les groupes des équations linéaires. 270

§ 15. Application particulière.

Nous allons donner dfs principes qui précodent une application particulière. Nous choisirons pour cela le cas le plus simple qui puisse se présenter, c'est à dire le i" exemple du § 12, en supposant que B^ n'a que 6 côtés. C'est le cas du paraboloïde (1') du § 12. Cet exemple facilitera linteUigence de ce qui précède.

Dans le cas ((ui nous occupe, la multiplicité M^ est représentée comme on Ta vu par le paraboloïde (i'). Voyons ce que devient la multiplicité M.

L'équation fuchsienne engendrée par B^ admet 4 points singuliers et de telle façon que les 4 équations déterminantes aient chacimo une racine double.

Soient a, j3, y, à ces quatre points singuliers. Soit ^'(/i) le rapport anharmonique de ii \yàv rapport aux trois points ^5, y, d de telle sorte que

Posons :

Le type auquel appartient l'éciuation fuchsienne considérée est entièrement défini quand on connaît X. La multiplicité M se réduit donc à la sphère ou au plan représentatif de la quantité complexe X.

Quand on permute de toutes les manièi-es possibles les quatre points singuliers, on obtient pour X les 6 valeurs suivantes:

On peut partager le plan des X en 6 régions

Po + P'o, pi + P'i , P-2 + P'i ) Ps + P'i, Pi + P'i , Pô + p'ô

H. Poincaré.

La figure i indique cette subdivision; les deux cercles et les droites qui y sont représentées ont pour équations:

niodX-= I, inod(i — X) = i» partie réelle de X= -