V .^ /(«,+, ) V / X-F(a,) / j>X«.>i)-fK
V Z — l'^(«„+,) V F{ai+,) — F(a„+,)
Cet exemple montre (quelle est la nature des relations qui existent entre les fonctions fuchsiennes dérivées d'un groupe fuchsien G et celles qui dérivent d'un sous-groupe de G.
Nous allons maintenant dire quelques mots des groupes distingués d'indice fini ou infini. Voici comment on peut être conduit à envisager de tels groupes. Soit
une équation linéaire où les coefficients ^ soient rationnels en x. Supposons que les points singuliers de cette équation soient :
et de telle fayon (|ue les racines de l'équation déterminante relative à (i^ soient toutes des multiples de -^r, A', étant un entier positif. Si on no peut trouver aucun nombre entier tel que ces racines soient multiples de ^f^, on fera K, = co.
Acta mathematica. 4. Imprlmt' l Février 1884. 37
290 H. Poincaré.
Nous pourrons en vertu des § 8 à 14, trouver une équation i'uchsienne:
(6) ^ = 4>{^)v admettant pour points singuliers
et de telle façon que la différence des racines de l'équation déterminante
relative à a, soit -^. Cette équation fuchsierjne appartiendra à un type
fuchsien que j'appelle T.
Soit z le rapport des intégrales; x sera une fonction fuchsienne de z et j'appelle G le groupe de cette fonction. Les intégrales
de l'équation (5) sont des fonctions uniformes de z. Soit S une substitution de G. Quand nous appliquerons k z cette substitution, les intégrales w deviendront:
w\ , tv] , wl , ..., w],
et il est clair que les -iv] sont des fonctions linéaires des ît', ; j'appellerai 2" la substitution linéaire qui fait passer dos n\ aux w\ et j'écrirai pour abréger :
(7) w{s . S) r= [iviz)]!.
Cette équation exprimera que quand z subit la substitution S, les w subissent la substitution E.
Les substitutions 2' formeront un groupe /' qui sera isomorphe à G; mais cet isomorphisme j^ourra être holoèdrique ou mériédrique. S'il est mériédrique, il y aura une infinité de substitutions:
(8) S^, S^, . . ., Sp, . . .
du groupe G auxquelles correspondra la substitution unité dans le groupe r. Ces substitutions (8) formeront un sous-groupe f/ du groupe G. Je dis que ce sous-groupe est distingué. En effet soit s une substitution de
Sur les groupes des cquatitns liQcaires. 291
G ne faisant pas partie de g, et a la substitution correspondante du groupe r. Soit 5, une substitution de g: je dis que s~^S^s fera aussi partie de g. En etÏL't nous aurons:
w{zS^) = IV (z)
IV (zs) = [iv{z)](T
'w{zs-'S^s) = [w{zs-'6\)]a = [w{zs-')]rT w{z) = iv{zs-h) = {w{zs-'')'\a ou enfin
iv{zs~^S^s) = w{z).
Nous sommes ainsi conduits à envisager des groupes g distingués et à indice tini ou infini et des fonctions w de z qui ne sont pas altérées l>ar les substitutions de ces sous-groupes. Supposons que l'éciuation (5) s"intègre algébriquement, alors le groupe des substitutions 2' est d'ordre lini; donc g est un sous-groupe d'indice fini. Ainsi la question de l'intégration algébrique des équations linéaires se ramène à celle des sousgroupes distingués d'indice fini et de la transformation des fonctions fuchsiennes. Nous nous occuperons de tout cela plus tard.
Lorsque, g est d'indice infini, on peut trouver néanmoins quelque chose d'analogue au polygone générateur d'un groupe fuchsien. Soient en eÔ'et
\9) 1 , 5j , s^, s.^, . . . , Sj,, ...
une infinité de substitutions de G, choisies de telle sorte que si
sont les substitutions correspondantes de /; le tableau (10) contienne chacune des substitutions de F et ne la contienne qu'une fois. Soient maintenant
7?„, /?,. 7?,, Il, ..., R„ ...
292 H. Poincaré.
les polyguiies analogues à B^ et correspondant aux. diverses substitutions du tableau (9). L'ensemble de ces polygones formera une région Qg qui sera une sorte de polygone générateur du groupe ff.
Si en particulier l'équation (5) est du 2'' ordre et que nous appelions t le rapport des intégrales, / sera une fonction uniforme de ^, inaltérée ])ar les substitutions de //. Supposons maintenant que (5) appartienne au type T et que x soit une fonction kleinéeime de t n'existant que dans un de ces domaines D dont la limite n'est pas une courbe analytique et dont il a été question dans le Mémoire sur les groupes kle'méens. Alors le groupe g se réduira à la substitution unité et t ne pourra prendre qu'une fois et une seule chacune des valeurs intérieures à D. La relation entre t et 2 nous doime alors la représentation conforme de 1) sur un cercle.
J'arrive au point le plus important. Je suppose que (5) soit une équation fuchsienne appartenant à un type T' et (juc le type T soit subordonné à T'. Alors x est fonction fuchsienne de /. Il arrive alors que t est fonction uniforme de 2 inaltérée par g. Elle peut prendre toutes les valeurs intérieures au cercle fondamental et n'en peut prendre d'autres. Elle ne peut prendre d'ailleurs chacune d'elles qu'une seule fois à l'intérieur de Q^, mais elle peut prendre chacune d'elles une infinité de fois à l'intérieur du cercle fondamental.
11 reste à examiner ce c|ui se passe quand les coefficients ^ de l'équation (5) au lieu d'être rationnels en x, sont rationnels en x et //> ces deux variables étant liées par la relation:
Je vais considérer une équation (6)
(6) IJ = H^)v
où (l< est rationnel en x et qui admet pour points singuliei's non seulement ceux de l'équation (5) mais encore ceux de l'équation (11), c'est à
dire les valeurs de x pour lesquelles — = o. Si i est un point singulier
de cette espèce et si dans le voisinage de ce point singulier X valeurs de y se permutent entre elles de la manière bien coimue, la différence des
Sur les groupes des équatioDS linéaires. 293
racines de ro(juatioii clrteniiiiiaiite de (6) devra être -j-., K étant un
nuiltiple de /. lîeniarquoiis bien ee (jni suit pour éviter toute ecjiitufion; à chaque valeur de x correspondent j)lu>ieurs jjoints de lu surface de KiEMANN (il). Si l'un de ces points est un point singulier de (5), en général il n'en sera })as de même des autres, et cependant tous ces points analyticjues sont alors des points singuliers de (6); car (p{.r) est rationnel en X et indépendant de // et par conséquent, il n'y a pas lieu de s'inquiéter de savoir à quel feuillet de la surface de Rikmanx, appartient le point analytique correspondant.
Cela posé, soit G le groupe de l'équation (6), z le rapport des intégrales, .r sera une fonction fuclisienne de z; ij sera une fonction uniforme de z, mais elle ne restera pas inaltérée par toutes les substitutions de G. Si j'appelle //' le groupe formé par. toutes les substitutions de G ({ui n'altèrent pas ij, ce groupe sera un sous-groupe d'indice fini de G; mais il ne sera pas distingué en général. (A moins que le groupe de l'équation algébrique (11) ne soit une seule fois transitif.)
Si au contraire je considère à la fois les »i valeurs de // (|u'on peut tirer de l'équation (11) en la supposant de degré m eu y, et si j'appelle y" le groupe formé par les substitutions de G qui n'altèrent aucune de ces m valeurs, g" sera un sous-groupe distingué.
Appelons enfin (j le groupe formé par les substitutions de G (jui n'altèrent pas les intégrales de l'équation (5), ce sera un sous-groupe d'ordre fini de G et de //'. Considéré comme sous-groupe de G, il ne sera pas distingué; comme sous-groupe de y', il sera distingué.
Nous pourrons regarder le grospe y' comme engendré par lui polygone Pô formé par la réunion de m polygones transformés de B^; le groupe y sera engendré par une région Q^ formée par la réunion d'une infinité de polygones transformés de P'„ . Quant <à y", il sera engendré par un polygone P^ formé par la réunion de w polygones transformés de B^, w étant l'ordre du groupe de l'équation algébrique (11). Si ce dernier groupe est une seule fois transitif, w = nt et y' et y" ne diffèrent pas l'un de l'autre.
294 H. Poincaré'.
§ 17. Troisième in-oblèttie. Ti/pe.s .si/niétrifjKes,
Un a vu iiu § lo iivoc quelle facilité on démontre que tout type fuchsien symétrique contient une équation fuchsienne; nous allons faire voir maintenant comment on peut calculer, avec une approximation indéfinie, les coefficients de cette équation.
Considérons un type symétrique T:
(/'{.r) étant rationnel en x, tous les points singuliers de cette équation sont réels et toutes les équations déterminantes ont une racine double. Soient:
les points singuliers réels en question. Au lieu de supposer que ces points singuliers sont réels, nous supposerons qu'ils sont tous situés sur le cercle de centre o et de rayon i. Il est aisé en effet de passer d'un cas à l'autre par un changement linéaire de la variable x. Il s'agit de déterminer les coefficients restés arbitraires dans l'équation (i) de; telle façon que cette équation soit fuchsienne. Su]jposons le problème résolu. Soit £ le rapport des intégrales. La variable /; sera une fonction fuchsienne de z et le polygone générateur B^ de cette fonction sera symétrique et aura tous ses sommets sur le cercle fondamental. Il sera partagé par une de ses diagonales en deux polygones symétriques ;•„ et r'„. Je suppose (jue le centre du cercle fondamental* soit intérieur à /•„ et j'appelle b un certain point que je suppose réel et intérieur également à /•„ . La fonction:
sera une des fonctions fiichsicnnes à l'aide desquelles toutes les autres s'expriment rationnellement. J'achèverai de la définir par les conditions suivantes:
quand z est situé sur le périmèti-e de /„
pour ^ = o
pour 2 = 0.
inod X
arg.c
Sur les groupes des équations linéaires. 20')
La fonction .r = f{z) nous donne alors la représentation conforme du polvfïone »■„ sur le cercle de centre o et de rayon i. Cela pose, soient iî, , B^, ... les divers transforinés de B^ par le groupe engendré par ce polygone. Ces polygones riMiipliront tout le cercle fondamental et chacun d'eux sera subdivisé en deux parties symétriques r, et r[, r., et r'.,, etc. Considérons un certain nombre de polygones /•, et r[ dont l'ensemble forme un seul tout simplement connexe. Soit T\ le polygone formé pas cet ensemble. Considérons la fonction
Il = d{z)
qui donne la représentation conforme de P^ sur le cercle de centre o et rayon i. Pour achever de définir >i, je suppose:
^(o) ^ o. arg(?(A) = o.
Cette fonction 6{z) sera une fonction fuchsienne dont le groupe çi sera un sous-groupe du groupe G de la fonction f[z). Il résulte de là que x est une fonction f(//) rationnelle en //. Il est d'ailleurs facile (et nous reviendrons sur ce point un peu plus loin) de trouver les coefficients de la fonction (f{ii), quand on connaît les points singuliers a et la situation relative des différents polygones )\ et r[ dont l'ensemble constitue P^. Or les quantités a nous sont données et nous pouvons disposer arbitrairement de la situation relative des polygones i\ et r^. Les coefficients de la fonction rationnelle <f[y) peuvent donc être regardés comme connus.
Nous pourrons toujours, à la condition de prendre un assez grand nombre de polygones /•, et r[ , choisir ces polygones de telle sorte que le cercle de centre o et de rayon p soit tout entier intérieur à P„ , et cela quelque grand que soit /> pourvu, bien entendu, que ce ravon reste inférieur à i. On aura alors l'inégalité suivante:
1 T mod z mod 2 < mod y < .
On pourra donc choisir un rayon p suffisamment voisin de i et par conséquent un polygone P^ suffisamment grand pour que la différence entre mod^ et mod?/ soit aussi petite que l'on veut. En d'autres termes quand p tend vers l'unité on a
limjnod// ^= mod^.
V = arcr —
29(3 H. Poincari?.
Mais ce n'est pas tout. Soit:
s -= ^ -\- ir^ , u = log mod | ,
Supposons! (\no z soit un rortnin point tel que:
mod ^ < />i < p < I
/>j étant une quantité positive convenablement choisie. Nous aurons à l'intérieur du cercle de rayon p
o < » < log - .
On en conclut qu'à l'intérieur du cercle de rayon p^ , on a
tiv.
4 log
(lu.
ais:
du dv
du dv
7hj ^ T^
On en conclut que ^ et V- tendent umforménioit vers o (luand p tend vers i. Or pour z -^ h, on a r = o; on peut donc écrire:
d'où l'on conclut:
et
limv = o, pour Wmp ^ i
lim (^H + "') = o .
lim- = I, limw = is.
Sur les groupes des équations linéaires. 297
■II- vni.-; iii;iinten:uit démontrer que pour une valeur quelconque de z, la limite de . lu toiictidii rationnelle <^'{z) ((jui n'est autre que ^'(y/) où y est rcniiilacé par -) e^t préeisemeiit la fonction fudisienne f{z). Nous avons
Posons de même
z^oiz;).
Je dis que
lini -, = z.
I-2n eliet lorsque z est à l'intérieur du eercle de centre o et de rayon fJ^ , nous avons:
mod -r > I ^- =- •
J'appelle pour abréger 7t le second membre de cette inégalité. Or nous avons:
mod™' < mod//
et par conséquent
mod z^ < mod z < p^.
Il vient donc
Or
lim I // — -^ I = o donc lim | .- — z^\^ o. Nous avons d'ailleurs:
Mais f{z) est une fonction continue et comme la différence z — z tend vers o, nous aurons:
lhnf{z^) = f{z) ou
limjr(.-) = f{z).'
Arlii malhfmalicii, i. Imprima S Fiirrisr 18S4. oo
298 H. Poiricaré.
On démontrerait de inènie que la limite de la dérivée h*" de ç'(^) est la dérivée n" de f{z).
Il s'ao;it de profiter de ce qui précède pour calculer les coefficients restés arbitraires dans l'équation (i). Soit ^j le nombre de ces coefficients que nous appellerons pour abréger les coefficients r. Soient r^ et v.^ deux intégrales de l'équation (i) définie comme il suit:
pour X = o,
di\
pour X ^= o,
dx
Le rapport -' est alors une fonction de r parfaitement définie. C; '■'2 culons dans le développement de cette fonction les coi-fticients de
Ces p + 2 coefficients s'exprimeront rationnellement en fonctions des coefficients c et des points singuliers a. Mais nous aurons
a et y étant deux constantes que nous ne connaissons pas encore. Nous avons dans l'identité (2) une relation entre x = f{z) et s. On peut en tirer les ^ + 2 premiers coefficients du développement de f{z) suivant les puissances de z en fonctions rationnelles de a, de ;-, des c et dos a. Ou peut donc avoir réciproquement les c, a et y en fonctions rationnelles des a et des p + 2 premiers coefficients du développement de f{z). Or les a nous sont donnés, les coefficients du développement de f{z) peuvent aussi être regardés comme connus puisque ce sont les limites des coefficients (lu développement de (f{z); les coefficients c peuvent donc aussi être calculés avec une approximation indéfinie.
On peut se proposer, au lieu de calculer les coefficients de l'équation (i), de trouver directement le groupe de cette équation. Voici comment on peut opérer.
Sur les groiiiie.s des é(iuation.s linéaires. 209
Siipiio-nii> ,jiu' .r (k'crivc dans le sens positif un coiitiMir ferme autour lu' point singulier a,: z se ehangeru en ^^^i+4, la substitution
étant paral)oli(|uc; en niènie temps y se changera en y,. Si la valeur
initiale de z est o, sa valeur finale sera: '4 = X,--, si la valeur initiale de
Il est o, sa valeur finale s'appellera //, . La coiniaissanee de /, suffit pour déterminer la substitution 5,; mais (|uaiid on connait la fonction rationnelle (s{ii) la détermination de /i. n'est qu'une question d'algèbre. On a d'ailleurs:
lim
On déterminera ainsi toutes les sul>>titations S^ et par conséquent le groupe G. 11 y a d'autre part entre les /, une relation algébrique qui facilitera le calcul.
Il reste maintenant à entnr plus profondément dans la question et à voir comment on peut elïecti veinent calculer les coefficients de la fonction rationnelle çhj). Le calcul dépend naturellement du choix des polygones ;•,. et r', dont l'ensemble constitue P„ . Mais ce choix est luimême à peu près arbitraire et nous sommes forcés pour fixer les idées, de choisir certains exemples particuliers. Il est bien entendu que ce ne sont là que des exemples, et nous ne voulons pas dire que le choix que nous allons faire soit le meilleur et le plus simple. Il est même proljabl que l'expérience et la pratique conduiront à faire un choix différent.
Soient o(j, c(, , ..., a„ les sommets de r„ correspondant respectivement aux points singuliers a^, a,^, ..., a„. Considérons le porygone i'^ formé de /■„ et tlu polygone symétrique de /•,, par rapport à l'un de ses côtés, a c(iC(„ par exemple. Appelons i/^ la fonction ij (|ui est engendrée par ce polygone F], et ^''i une fonction liée à i/^ par une relation linéaire convenablement choisie et dont nous déterminerons plus tard les coefficients. Nous aurons alors:
300 H. Poincaré.
Considérons maintenant un' polygone PI formé de PJ et du polygone symétrique de Pi par rapport à un de ses côtés que j'appelle C. J'appelle y^ et 2^ des fonctions qui sont à PI ce que y^ et ^j sont à PI et j'appelle h et c les valeurs de ^j aux extrémités du côté C. Nous aurons alors:
On opérera sur PI comme on a opéré sur PJ et ainsi de suite ad inf. On calculera ainsi successivement les valeurs de
Pour passer de z^ à //;, il faut connaître les coefficients de la relation linéaire :
On déterminera ces coefficients de telle façon que y^ s'anuulle avec x, ait son module égal à i en même temps que .r, et soit réel pour une certaine valeur réelle de x.
Il reste encore quelque chose d'arbitraire dans le mode de génération des polygones PJ , P\, ... Pour former P'„ à l'aide de Pi~', on annexe à ce polygone son symétrique par rapport à un de ses côtés C; comment choisir ce côté C? Il conviendra de choisir celui des côtés de Pô~^ dont on suppose que la longueur géométrique doit être la plus grande.
Je rejwte que je n'ai voulu donner ici qu'un exemple et que mon intention n'est pas de recommander ce mode de génération des polygones Pg de préférence à tout autre. Je crois au contraire qu'il serait plus avantageux de s'arranger de façon que le groupe de la fonction fuchsienne (^{z) soit toujours un sous-groupe distingué de (j.
Dirigé de la sorte, le calcul des coefficients c de l'équation (i) ne laisserarit pas d'être assez long si l'on voulait pousser l'approximation trèsloin. Mais on peut pour la plupart des applications se contenter d'une approximation grossière. En effet si les coefficients c, au lieu d'avoir exactement les valeurs qui conviendraient à l'équation fuchsienne, sont seulement suffisamment voisins de ces valeurs, la variable x n'est ]dus
Sur los groupes des équations liiu'aires. 301
fonction fuchsieiinc du nippurt .~ des intégrale^;, mais elle eu est encore fonction kleinéenne, ce qui suffit dans presque tous les cas.
Voici comment ce que l'on vient de voir peut s'applicpier au cas des types noti symétriques. Soit:
(3) ^^ = ii.,;y)c (4) <Kx,„) = o
une équation appartenant à un type T. Ce type contient une écpiation fuchsiemie et, si j'appelle t le rapport des intégrales de cette équation fuchsienne, les variables ,r et // seront des fonctions fuchsiennes de /. Mais nous ne nous proposons pas pour le moment de trouver les coefficients de cette équation' fuchsienne elle-même; nous voulons seulement trouver une équation fuchsienne dans un type T' subordonné à T. Pour cela soit:
le tableau des points singuliers de l'étiuation (3) et de ceux de la relation (4). Nous avons vu au § i i qu'il existe toujours une équation fuchsienne
où F{i^ est ratiomiel et qui admet pour points singuliers non seulement les n quantités données (5), mais encore k autres quantités non données i, , h.,, . . . , bi, . De plus toutes les équations déterminantes ont une racine double.
Or, si l'on se reporte à ce (jui a été dit dans ce § 11, on verra que nous avons formé cette équation (6) à l'aide d'une autre é(piation fuchsienne dont tous les points singuliers étaient réels et qui, par conséquent, appartenait à un type symétrique. D'ailleurs nous venons de voir que les coefficients d'une équation fuchsienne contenue dans un type symétrique donné peuvent être regardés comme connus. Il en sera donc de même de ceux de l'équation (6).
Gela posé, soit 3 le rapport des intégrales de (6) ; x sera une fonction fuchsieime de z, ayant pour groupe G. D'ailleurs y sera une fonction uniforme de s. Si g' est le groupe des substitutions de G qui n'altèrent
302 H. Poinearc.
pas II (cf. § préctHlent), ij sera une fonction fuclisiennc de z ayunt pour groupe g'; le groupe (j' engendrera alors une équation fuchsienne qui ne sera autre que :
(6) -^ = F{x)v avec la relation (4) d{x, //) = o.
Cette nouvelle équation fuchsienne (que je regarde comme différente de l'équation (6) non accompagnée de la relation (4)) fera partie d'un type T' subordonné à T et nous avons vu que ses coefficients sont connus. Le problème que nous nous proposions est donc résolu.
§ 18. Troisième problème ; cds géèiéral.
Reprenons les équations (3), (4) et (6) du § iirécédent. Appelons M^ le polygone générateur de G, P^ celui de (/'. Le groupe /y formé des substitutions de fj' qui n'altèrent pas les intégrales de l'équation (3) est un sous-groupe distingué de y'. Il est parfaitement déterminé et il est engendré par une région ^,>j, qui joue le ri')Ie de polygone générateur, mais qui a mie infinité de c(')tés. Ces côtés sont conjugués deux à deux de telle façon qu'un côté soit le transformé de son conjugué par une des substitutions du groupe f/. Deux points appartenant à ces deux côtés conjugués seront dits correspondaiifa lorsque l'un d'eux sera le transformé de l'autre par cette substitution.
Maintenant il s'agit de déterminer les coefficients restés arbitraires dans l'équation (3) de tellv façon (jue cette équation soit fuchsienne. Soit t le rapport des intégrales de l'équation (3) supposée fuchsienne et s le rapport des intégrales de l'équation (6) ; /'/ ■■iagit de déterminer t en fonction de z.
Je suppose pour déterminer complètement t, qu'il s'annulle en même temps que z. Alors t sera une fonction luiiforme de z, inaltérée par les substitutions de (j et de telle sorte (jue
mod^ < I.
En outre t pourra prendre toutes les valeurs dont le module est intérieur a i.
Sur lus £rroupcs dos ûfiuatin.is linéaires. 303
Ceci étiint posr, je (li> (jiu' l'on ;i l'identité suivante
Dans cette identité, les suljstitiitions (z, — -^) sont les substitutions de
ff et le signe Z se rapporte à. toutes les substitutions' de ce groupe. Cela posé, considérons une infinité de cercles
Cj , Cj , . . . , C„ , ...
ayant tous pour centre le point o et dont les rayons Ii^, 7?.,, ..., B„, ... vont en croissant avec » et tendent A'ers i ([uand n croit iiidéfiniinent. Parmi les termes de la série (7), il y en aura un certain nombre p qui deviendront infinis à l'intérieur du cercle 6',. J'appelle leur somme t>„. Il s'agit de démontrer cjue
lim^„ = logmod- pour » = (X).
Je remarque de plus que logmod-, le terme général de la série
{7) logmod'-^ — TTfl^' ^^ P'^^' conséquent â„ sont essentiellement réels et
positifs.
Soit
^ = I + /jy ;
soit II,, une fonction réelle de ç et de jy qui à l'intérieur de C„ satisfasse à l'équation :
,c,\ d^ii' , d'^ii-
qui soit nulle le long de la circonférence de ce cercle, et qui enfin soit telle que la différence
log mod - — ii„
304 H. Poincaré.
soit holomDi'phe à rintérieur de ce inéine cercle. Nous aurons les inégalités :
o < u„ < log mod et de plus
et on en conclut que »„ est constamment croissant avec n et constamment
inférieur à log mod-, ce qui veut dire que pour n = oo, »„ tend vers
une limite finie que j'appelle ii.
J'ai inséré dans un des derniers Bulletins de la Société Mathématique de France (Paris, Gauthier-Villars 1883) un petit travail intitulé »S'ur un théorème de la théorie générale des fonctions^ dans lequel je démontre que si // est ime fonction quelconque non uniforme de x, on peut toujours trouver ime variable z telle que x et 1/ soient des fonctions uniformes de s. On n'a qu'à répéter ici la suite des raisonnements que j'ai faits dans ce travail pour voir que u est une fonction analytique de ^ et de r] et qu'on peut trouver une seconde fonction v de $ et de tj telle que u + iv soit une fonction analytique monogène de z. On aura d'ailleurs l'inéo-alité:
log mod Jailli s'agit de faire voir que (;'est le signe = qu'il faut prendre et non le sio-ne de l'inégalité >. Pour cela, étudions de plus prés la fonction u. Je dis que cette fonction n'est pas altérée par les substitutions de (/. En effet soit:
l'une de ces substitutions et posons:
Il y a une autre manière de définir la fonction u[. En effet soit C'„ le cercle tnmsformé de C„ par la sul)stitution inverse de S. La fonction
Sur les groupes des équations linéaires. 305
«/, satisfera comme »„ à l'équation (8); elle sera nulle le long de C'„ et la différence:
log mod - — n'„
sera holoniorphe à l'intérieur de ce cercle.
Nous aurons donc une infinité de cercles:
et une infinité de fonctions
?<] , Un, • • • , ?<„ ) ■ • •
engendrées à l'aide de ces cercles comme les u^ le sont à l'aide des cercles 6',-. Nous aurons d'ailleurs
hm u„{z) = ?f [z^^-j] PO"i" « = Oû-
Cela posé quelque grand que soit n, on pourra trouver un cercle C'p tout entier extérieur à C'„ et un cercle C'^ tout entier extérieur à C^. On aura alors:
Mais pour n ^ co, on a jj = </ = co. Donc:
lim H„ =^ lim u„ = ti
donc :
et enfin
\\mu\,{z) = u{z) . . (az + /9\
'-\ = v{z) + consf.
On en conclut
\yz + o Considérons maintenant la fonction :
V = log mod u
Acla matfiematica. 4. Imprimé f Fi-vrier 1884. 39
306 H. Poincaré.
dans le plan des / et posons:
La fonction V sera une fonction uniforme de t. En effet quand t, après avoir décrit un contour quelconque, revient à sa valeur initiale, z est revenu à sa valeur initiale ou bien a subi une des substitutions du groupe g. Dans l'un et l'autre cas la fonction u et par conséquent F n'ont pas été altérées.
D'ailleurs V satisfait à l'équation
Considérons dans le plan des t le cercle:
Cl + 3^1 = />
p étant une constante plus petite c[ue i.
La fonction F sera holomorphe("") à l'intérieur de ce cercle; d'ailleurs elle sera le long de Ja circonférence de ce cercle toujours comprise entre o
et log — . Donc en vertu d'une propriété bien comme de l'équation (8'),
on aura à V intérieur de ce même cercle:
o < V <\os-. .
Mais p peut être choisi aussi voisin que l'on veut de l'unité; il faut donc que l'on ait:
ou
log mod -
( ) En eifet il ne pourrait y avoir doute à ee sujet que pour certains points isolés qui correspondent à des sommets de iî„ situés sur le cercle fondamental. Mais on sait que si une fonction V est liolomorphe à lintérieur d'un cercle, sauf en certains points isolés pour lesquels on ne sait rien, si elle satisfait à réquation (8'), si enfin elle est uniforme et qu'elle reste comprise entre deux limites données, cette fonction reste holomorphe même pour les points isolés en question.
Sur les groupes des ('([nations lin(5aircs. 307
Mais d'autre part nous avons les inégalités suivantes faciles à démontrer
log mod -> 0„> i(„ .
Or pour « = co, lini «„ = log mod-, on a donc aussi
liiii ()„ = Ing inod -- .
Ce qui démontre l'identité
(7) log mod- = / log mod ^-! ^^'
qui donne t en fonction de 2.
Ainsi en supposant rexistence de l'équation fuchsienne (3) et par conséquent de la fonction /, nous avons démontré que la série (7) est
convergente et (jue la sonnne de cette série est précisément log mod— .
Réciproquement, en supposant la convergence de la série (7), on pourrait démontrer que la somme de cette série définit le logarithme du module du rapport des intégrales d'une équation fuchsienne appartenant au type T. On démontrerait par conséquent que ce type contient une équation fuchsienne. Mais cette démonstration serait fort longue et serait d'ailleurs inutile.
On pourrait toutefois en faire un usage sur lequel je voudrais dire quelques mots. Soit T" un type tel que T soit subordonné à T"; T' qui est subordonné à T, sera subordonné à T". Supposons que l'on sache que T" contient une équation fuchsienne; soit (3') cette équation et f^ le rapport de ses intégrales. Soit r/^ le groupe des substitutions de G qui n'altèrent pas f^ ; r/ sera un sous-groupe de ^, . Nous aurons d'après ce qui précède:
(7') log mod- = / log mod -^ r^
(z, — y) étant la substitution générale du groupe r/j . Mais la série
(7) peut s'obtenir en supprimant certains termes de la série (7'). Elle est donc convergente et par conséquent le type T contient une équation fuchsienne.
308 H. Poincarc.
Ainsi tout type subordonné à un autre type qui contient une équation fuchsienne contient lui-même une équation fuchsienne. Ce principe dispenserait dans un très grand nombre de cas de l'application de la méthode de continuité.
§ lî). li/'/fexion.s siii' la convergence de la série précédoite.
Voici comment on pourrait chercher à démontrer directement la convergence de la série (7) du § précédent.
Au § I du Mémoire sur les fonctions fuchsicnnes nous avons démontré la convergence de la série suivante :
"''' -^) est la substitution générale d'un groupe fuchsicn G. En
ou 1^,
revanche, toujours dans le cas d'un groupe fuchsien, la série (9) ^ mod {yi2 + â,)--
n'est pas convergente. Mais elle peut l'être quand il s'agit non plus d'un groupe fuchsien, mais d'un sous-groupe d'indice infini contenu dans un «rroupe fuchsien, par exemple du groupe (/ dont nous nous occupons ici. Je dis que si la série (9) est convergente, il en est de même de la série (7). En effet soit:
nous aurons:
et:
Pi
ïi'^
+ Si
mod {-j-.z
or =
-pt
inod^'ê
mod(;-,» + 0
' Pi ~
log
pi I
— mod-
Quand i croit indéfiniment />, tend vers l'unité et on a:
- I I — mod" 3
log-
Pi
Sur les groupes des éi|uatiiiiis liiu'aires. 309
Ainsi le i-;rpi„,rt (l"nn h-nuf de (9) au terme r(JiTe>i)<iiid:iiit de [j) tend vers une limite iiuie, quand Tordre du terme eonsidéré croit indéfiniment.
Doue les deux séries sont eonvergentes ou diverj^entes en même temps.
Cela posé, soit ^ un point quelconque intérieur à Q^. Considérons un cercle C dont la S soit:
(10) ii(e^« + e-^« 2)
et qui contienne à son intérieiu- le point z; soit F{It) la 6' de la partie de ce cercle qui est intérieure à Ç^. Soit maintenant f{R) la plus petite valeur que puisse prendre F{B) quand on fait varier le cercle 0, sa S restant toujours constante, et le point z restant toujours à l'intérieur de C. Alors f{E) sera une fonction continue de i?, croissant constamment et indéfiniment avec B.
Soit .Y le nombre des points '^^^ qui sont intérieurs au cercle
qui a pour centre le point o et dont la S est ])récisénient égale à l'expression (10). Nous aurons:
^ Soient niaintenant B^, B.^, ..., B„, ... une série de valeurs de B,
positives et d'ailleurs croissant constamment et indéfiniment avec ti. Soit
A'„ le cercle qui a pour centre le point o et dont le B est B„. Soit
U„ la somme de tous les ternies de la série (9) (|ui correspondent à des
P"'"** !'g ^ 'l extérieurs à K„, et intérieurs à K,^. La série (9) pourra ('tre remplacée par l;i série
où nous aurons
AR.Xe"'"- + e— - + 2) ^ "^ lîÏÏy K et K' étant deux constantes convenablement choisies.
Les séries (7), (9) et (11) seront donc convergentes si l'on peut choisir les E„ de telle façon (|ue la série:
^ /{Un)
310 H. Poincarë.
soit coiiveriïcntc. Or c'est ce (lui a lieu si riutéorale:
a une valeur finie.
Telle est donc la condition suffisante de la convergence de la série (7). Il faudrait donc chercher à démontrer que l'intégrale (13) est finie, ce (|ui pourra se faire en étudiant la forme de la région Q^ .
Lorsqu'on l'aura fait, cette démonstration dispensera dans tous les cas de l'application de la méthode de continuité.
§ 20. B/'sitmé.
Dans ce mémoire, après avoir montre à calculer les paramètres du groupe d'une équation linéaire donnée, j'ai exposé (pielques propriétés de ces paramètres considérés comme fonctions des coefficients de cette équation, ou inversement de ces coefficients regardés comme fonctions des paramètres du groupe.
J'ai abordé ensuite im autre problème. Considérons une équation de la forme suivante :
où f et 0 sont rationnels en .r et //. Je suppose que la relation (2) est donnée ainsi que les points singuliers de l'équation (i) et l'équation déterminante relative à chacun d'eux, mais que tous les autres coefficients de l'équation (i) restent arbitraires. Je suppose de plus que la différence des racines de chaque équation déterminante est imlle ou est une partie aliquote de l'unité. J'appelle z le rapport des intégrales et je considère x comme fonction de z.
J'ai montré qu'on peut disposer d'une manière et (rime seule de ces coefficients restés arbitraires de telle façon que x soit fonction fuchsienne de 2, n'existant qu'à l'intérieur d'un cercle et j'ai fait voir comment il fallait diriger le calcul des coefficients.
On peut disposer de ces mêmes coefficients d'ioie htfiulté de manières de telle façon que x soit fonction kleinéenne de s n existant pas dans tout le plan. Enfin on peut encore disposer de ces coefficients d'une manière
Sur les groupes des équations linéaires. 31]
et d'une seule, de telle sorte que x soit fonction fuchsienne on kleinéenne de z, existant dans toute l'étendue du plan. Ce dernier point n'a i^as été démontré; il faudrait pour le faire appliquer la méthode de continuité. Considérons maintenant une équation linéaire quelconque:
fl"'v \^ d''v „, ,
les ç et â étant rationnels en x et >,. Soient r^,v.^, ..., r„, les intégrales de cette équation. On peut trouver une variable 2 de telle façon que z soit le rapport des intégrales d'une équation du second ordre à coefficients rationnels en x et y, et que r, , r.,, . . ., v,„ ainsi que x et ;/ soient des fonctions uniformes de .-. Il peut arriver d'ailleurs que x, considéré comme fonction de z, soit ou une fonction rationnelle, ou ime fonction doublement périodique, ou une fonction fuchsienne n'existant (pi'a l'intérieur d'un cercle, ou une fonction kleinéenne n'existant pas dans tout le ])lan, ou enfin une fonction fuchsienne ou kleinéenne existant dans tout le plan. Nous laisserons de côté ce dernier cas.
Alors, ce dernier cas étant laissé de côté, on pourra choisir cette variable .- d'une infinité de manières en satisfaisant à toutes les conditions énoncées plus haut. J'appelle .-, , z„ ...,.-„,... les difiFérentes variables z obtenues de la sorte. Mais parmi toutes ces variables, on peut en choisir une et une seule que j'appelle z^ et qui est plus simple que toutes les autres. En général x sera fonction fuchsienne de .~, (n'existant qu'à l'intérieur d'un cercle) mais dans certains cas particuliers, elle pourra en être fonction rationnelle ou doublement périodique. Dans tous les cas z sera fonction uniforme des autres variables *-,,..., ^„ , ... ce qui explique pourquoi x, ,/ et les v qui sont uniformes en z^ sont aussi uniformes en
Ainsi nous pouvons exprimer les intégrales d'une équation linéaire à coefficients algébriques par des fonctions uniformes d'une variable .-.
Il reste à' étudier les propriétés de. ces fonctions uniformes et à les développer en séries. C'est ce que je ferai dans le prochain mémoire qui sera le dernier de cette série.
Paris, 20 Octolire i8S^.
y 12 H. Poincarû.
Gorrc'ftions et additions aux trois inéinoires antérieurs. (')
P. 54 1. 14 et 15, au lieu de: les substitutions S,, S^, S^ , S^ s'écriront, lire: les
substitutions /S',, 'S'r\ 'S'rS '5r,' s écriront. P. 54 1. 18, au lieu de: la combinaison des quatre substitutions S.^, S^ , (S'^ , (S'j , lire:
la combinaison des quatre substitutions ô'a', S^, /S4, Si. P. 56 1. 15, de même au lieu de S3 , «S^, S^ , S,, lire: S^', jS^, S4, Si. P. 56 1. 17, mettre le signe — devant le second membre de l'égalité (4).
