partie réelle de X
On voit de même que si on change B^ dans le polygone symétrique
par rapport à la diagonale cf, x, 1/ et ^ se changent en -, - et - et
Aela malhrmalSca. 4. Imprimé 1 Février 1884. " oo
ob
282 H. Poincaré.
X en ^. On en conclut que si R^ est symétrique par rapport à cf,
c'est à dire si le j)oint o décrit la «Iroite CE, le point /j. décrit le cercle:
mod X = I .
Le polygone R^ est équivalent à un polygone R'„ qu'on obtient en joignant hf, et en transformant le triangle baf par la sulistitution qui change ha en bc. On obtient ainsi un polygone bfedcf; f étant le transformé de f par la substitution en question. Prenons le symétrique de R'„ par rapport à la diagonale hd. Ce symétrique pourra être regardé comme dérive d'un certain polygone R'„' de la même façon que RI, de R„. On voit aisément qu'en changeant /?„ en 7?,',', on change ./■, if et z en
-, I -| — ^ — - — - et 2 et A en a„ .
Si donc le point n décrit la droite AC, le point /i décrii-a la droite
X= X^, partie imaginaire de A' ^ o.
Le problème suivant: Etant donné un type fuchsien, trouver le groupe fuchsien qui engendre une équation fuchsienne contenue dans ce type, est un problème très compliqué dont nous dirons quelques mots plus loin.
Mais, d'après ce qui précède, dans les cas particuliers suivants:
x = i, X=--i, x=.. x='-±l^-^,. x^li^^-J
il se résout par de simples considérations de symétrie, et on trouve respectivement pour les paramètres qui définissent le polygone générateur du groupe fuchsien correspondant:
Sur les groupes des équations linéaires. 283
J'appelle ■b'j , S.J et ,l).j les opérations dont 11 a été question plus haut et dont voici la (lcliiiitii)n dapivs les clinnLreiueiits (|u'elles font subir à .'■, //, ~ et X.
Euvisageons :
1°. Le groupe /\ dérivé de ces trois substitutions. Si on transforme
le triangle 11^ par toutes les substitutions de ce groupe, on obtiendra une
ijitinité de triangles analogues ([in rempliront toute la multiplicifé il/, .
2°. Le groupe /!, formé de toutes les combinaisons eit imnihie pdir
des substitutions S^, S,^ vt S,.. Ce que ce gr<)U[)e a de remiirijiudjle, c'est (ju'il est isomorplie au groupe
V' yz + .^'
où n, i3, y, o sont des entiers tels i(Ue an — /î;" -= i-
3". Le groupe /' formé di' toutes cilles des sul)stitutions du groupe /', (pii n'altèrent pus A'. Si l'on apjiliipie ;i />„ toutes li'S transturmations de r, on obtient uuf série de domaines />, , /^.^ , etc. (pii remplissent toute la multiplicité J/, . Le groupe /' est isomori)he au groupe des substitutions
où G(, y?, /-, (j .sont entiers et où
az + ii\
au — ;îr = ï' otEEEr/=i, /? = ;'=o (mod 2)
c'est à dire au groupe que l'on rencontre dans l'étude de la fonction modulaire.
Chacun des domaines D, , D^, etc. est divisé en 12 régions de la
H. Poincarc.
même façon que i>„ c'st divise en «, et u\. Mais D^ peut être regardé aussi comme divisé en 2 triangles:
et
De même eliacun des domaines Z», , i).^ , etc. seront regardés comme partagés en 2 triangles Ti et J; , Tj et T; etc. C'est ce mode de „. , subdivision que nous avons adoiité dans
les figures 3, 4 et 5 qui représentent en perspective des portions du paraboloïde (T). Dans la figure 3 la droite BKL représente la génératrice .r = o, y/ = i qui dans la figure 1 n'était représentée que par le point B. On remarquera aussi dans cette figure les cinq triangles T„, jT^î ^i» T[, T^ non hachés, et les portions 1\ à I\ du paraboloïde où la subdivision n'est pas représentée et qui sont couvertes de hachures. On verra aussi que chacun des deux triangles T[ et Ll a deux de ses sommets confondus en //.
La figure 4 représente à plus grande échelle la subdivision de la
région T[ + 1'.^ -\- l'« . La portion I'., a été divisée en un triangle T.^ et deux régions hachées 1'- et Pg . Les régions hachées sont dans les quatre figures 2, 3, 4 et 5 celles où la subdivision n'est pas représentée.
Enfin la figure 5 représente le détail
de la région I'.^ qui est divisée en un
-s P„ et P,„
Fig. 1.
triangle 2\ et deux région
lâchées P^ et I\^. On voit que le triangle T^ a ses trois sommets confondus en B.
Ces figures suffisent pour (pi'on se rende compte de toutes les particularités de la suixiivision. En effet la région I\ ou CKL se traite comme la région AKli; les régions F^ et B^ se traitent comme la région ABLC, sauf qu'une partie de la figure est rejetée à l'infini
Les régions
■Sur les gruuiies des ciiualimis linéaires.
1'. et 1'. se traitent (•uniine 1'.,; ciiiiu J',, P , i'., et i'ji, se traitent e<inniio ]'..
Les points des droites BE et JX correspondent à des polygones de la i"^"' espèce, et sur - / ces droites, les points A et C sont les seuls (pu / correspondent à des polygones de la i'"'" catégorie; l ce sont les seuls aussi qui fassent partie de J)^. \^ Sur la droite 1>L cpii correspond à des polygones de la 2" espèce, le point A' est le seul <pii l'as>c partie ettet la substitution S., le clianîïe dans le point
Vie- 5
(le
Va en
1/ -= oo,
qui correspond ii un [lohgcjne de la T" catégorie.
§16. Théoi'ie (les sous-groiipes.
Nous venons de démontrer (pic tout type t'uclisien contient une équation fuchsienne; il faut maintenant trouver Tequation fuclisicnne contenue dans un type fuchsien donné, ou ijimi encore trouver le groupe fuclisien corresj)ondant.
Mais avant d'ahorder ce problème, il faut dire ((uelipies mots des sous-groupes contenus dans un groupe fuclisien donné.
Ces sous-groupes sont de deux sortes :
i". Les sous-groupes d'indice iini, c'est à dire ceux qui sont tels quoii peut obtenir toutes les substitutions du groupe principal en multipliant toutes les substitutions du sous-groupe par' un nombre tini de substitutions.
2°. Les sous-groupes d'indice infini.
A un autre point de vue, les sous-groupes sont encore de deux sortes:
i". Les sous-groupes distingués {aus</ezeichnef) comme disent les Allemands, c'est à dire ceux cjui sont permutables à toutes les substitutions du groupe principal.
286 H. Poincaré.
2°. Les sous-fjrroupes non distingruos.
(Cf. Klein, Matlieniatische Annalen, Bd XVII; Waltheu Dyck, Ueher ret/ulcïre Riemannsche Fldche, Gruppentheoretische Studien. Matlieniatische Annalen.) .
Les sous-groupes d'indice fini ne sont autre chose que des (groupes fuchsiens: Soit G le groupe principal et r/ le sous-grou[)e ([ni y est contenu. Soit B.^ le i)()lygonc générateur de (/; /i'^ , 7?,,, ... ses divers transforinés par les diverses substitutions de ce groupe. Soit 1'^ le polygone générateur de g. Il est aisé de voir que P^ est formé par la réunion d'un certain nombre de polygones i?„ , B^, B.,, ..., B„.
Choisissons d'une manière (juelcon(|UC // + i polygones parmi les polygones :
Soient par exemple i?„ , i?, , B.,, . . ., B„ ces ;/ + i polygones et supposons que leur ensemble forme un seul tout simplement connexe. Soit I\ cet enscinl)le. Un certain nombre de côtés des polygones B resteront libres; ce seront les côtés de F^ . Il reste à voir comment ces côtés doivent être distribués en paires de côtés conjugués. Soit ajj^ un côté de B^, «,',//,', son conjugué; soient (ij'i, (i\l>\ les côtés homologues , de i?, ; a.Jj.,, lûb'., ceux de B.,, etc. Parmi les ;/ + i côtés aj)^, il y en aura un certain nombre p qui resteront libres; de même parmi les n + i côtés a]b', il y en aura p, c'est à dire un nombre précisément égal, (|ui resteront libres. Nous pourrons alors conjuguer chacun des côtés «.i*, restes libres à l'un des côtés «,'/>,' restés libres et cela d'une manière arbitraire. Tous les côtés de Pp se trouveront ainsi répartis en paires de côtés conjugués.
11 y a encore une condition pour que 1\ puisse engendrer un groupe discontinu; c'est que si l'on répartit ses sommets en (cycles, la somme des angles de chaque cycle soit une partie aliquotc de 2-. Si cette condition est remplie, F^ engendrera un groupe fuchsien (jui sera un sous-groupe de G. On obtiendra d'ailleurs de la sorte tous les sous-groupes d'indice fini de G.
Soient maintenant:
(0 ^=1\{^, Y=F,{z), FM, ■■■
Sur les groupes clos équations linéaires. 287
les fonctions fuclisionnes engendrées par G et
les fonctions fuchsiennes engendrées pnr q. Lu clas^^o des fonction,^ fnchsienncs (2) coiitimdrrt la cIîk^sc des fonctions (i) tout ciitirrc conniio cas particulier.
Supposons (rahor<l que G et // soient tous deux do genre o. Alors toutes les fonctions (i) s'expriment rationnellement en X, toutes les fonctions (2) rationnellement en .r. On en conclut que X est une fonction rationnelle de ./■. Il est d'ailleurs facile de trouver les coefficients de cette fonction rationnelle, quand on connaît hs valeurs de .Y pour les différents sommets de i?„ .
Si maintenant G est de genre o et // de genre j), toutes les fonctions (i) sont rationnfdles en X et X est rationnel en r et en if.
11 jieut arriver enfin (pie ni G, ni // ne soient de geinn- o. Dans ce cas X et y sont rationnels en ./■ et // et la rc'cijirixpie n'est pas vraie.
Il est à remarquer que cette théorie est tout à fait analogue à celle de la transformation des fonctions elliptiques. Qu'est-ce en effet que cette transformation? Elle consiste à étudier la ndation qui a lieu entre les fonctions elliptiques engendrées par le groupe
(3) [z, liico^ -\- rioj.,) {o)^i (O., périodes données; m, 11 entiers quelconques) et les fonctions elliptiques engendrées par le groupe
en choisissant ces nouvelles périodes i2^ , Q„ de telle sorte que ce second groupe soit un sous-groupe du premier. Remarquons également -que si Fou applique ces principes aux fonctions fuchsiennes engendrées par l'équation de la série hypergéométrique, on retrouvera sans peine les résultats obtenus par M. Goutîsat dans sa remarquable thèse.
Dans le cas particulier où r/ est un sous-groupe distingué, la subdivision de P^ en n -{- i polygones E est régulière, même après qu'on n plié et déformé P^ de façon à recoller ensemble les côtés conjugués et à faire de ce polygone une surface fermée. De plus les relations entre X, Y, X et p sont d'une nature particulière. Ainsi, si par exemple G et
288 H. Poinoaré.
(j sont tous doux de genre o, le groupe de l'cquation algébrique qui lie X et X est une seule fois transitif.
Considérons on particulier un exemple qui nous sera utile dans la suite. Supposons que 7?„ soit un polygone
a.x.ct:, . . . o(„c(„^,;î„yî„, . . . /9.,y5.,
symétrique par raji[)ort à sa diagonale c<|0(„j i de telle sorte que y9, soit syniéti-iqui' de o , Je suppose de plus que les cotés S3'niétri([ues sont conjugués et que tous les sommets sont sur le cercle fondamental et tous les ano;les nuls. Soit X —- F(.r) une des fonctions fuchsiennes engendrées l)ar Bg et à l'aide de laquelle toutes les autres s'expriment" rationnellement. On aura» pu choisir FÇï) de telle façon (|ue cette fonction reste réelle sur tout le périmètre de L\ et sur la diagonale oc,C(„ + , . (Cf. Mémoire sur les fonrfions. fuchsiennes, Acta Ma tliematica, T. i, j). 232 et 272.) Cette fonction donnera alors la i'e|)r(''senfation eonfoniic du polygone
r„ = oe,7.c(;, . . . c(„c(„ |iC(|
sur un demi-[)lan. Soit maintenant B^ le transformé de L\ par la substitution qui change /?,/?, <, en C(,cti4,,. Ce polygone sera symétrique de /?„ par rapport à oi,a,^^. Considérons maintenant le polygone P^ ^-= B^ -\- 7t', et regardons comme conjugués deux c(it(''S de ce polygone s'ils sont symétriques par rappoi't à g(,0(,, ,. Tous les cycles de ce polygone étant ])araboli((ucs, il engendrera un système de fonctions fuchsiennes. de choisirai parmi elles une de celles à l'aide» desquelles toutes les autres s'expriment rationnellement et qui de plus restent réelles sur tout le périmètre de 7»',^ et de /?, .
Je l'appellerai x = f(z). Cette fonction donnera l;i représentation conforme sur un demirplan, non plus de r„ coiume dans le cas précédent, mais (\n polygone 7i^,, tout entier.
Pour achevf^r <le dètinir ./• je supposei'ai:
/(«,) = o, /Kn) = ^
et l'aurai:
Sur les groupes des équations linéaires. 289
Nous pourrons prendre indifféremment le signe + ou le signe — .
Poussons la chose plus loin. Soit P^ le polygone symétrique de P„ par rapport à un de ses côtés que j'appelle C. Soit Q^ ^= P^ -{- P^ et regardons comme conjugués deux côtés de Ç„ symétriques par rapport à C Soit y une fonction fuchsiemie engendrée par Q,^ et à l'aide de laquelle toutes les autres s'expriment rationnellement. Je suppose que y soit réel le long du périmètre de Q^ et par conséquent le long de C.
Je pose d'ailleurs:
y = (f{z), (p[a) = o, ^(a.^,) == oj
d'où :
