A PARIS

§ 1. Introduction.

Considérons une équation linéaire quelconque d'ordre p:

(i) fi; ^- S çr,(.r, ^y)^' = o. (2) ^^(.r, y) = o

où les çr sont des fonctions rationnelles et où la relation (s) est algébrique. Soit maintenant une équation auxiliaire:

où d{x, y) est une fonction rationnelle telle que tous les points singuliers de l'équation (i) appartiennent à l'équation (3). Soit a m\ point singulier appartenant à la fois aux deux équations; ce point singulier regardé comme appartenant à (i) nous conduira à une équation déterminante E de degré p\ regardé comme appartenant à (3), il nous conduira à une équation déterminante E' du second degré. Soit n la différence des deux racines de E'. Je suppose que d ait été choisi de telle sorte que rJ soit nul ou bien que d étant une partie aliquote de Vunité toutes les racines de l'équation E' soient des nmltiples de o. Dans le cas où dans le voisinaffe du point a les intégrales de l'équation (i) seraient irrégulières, d devrait être mipposé nul. Il faut enfin que même pour les points singuliers de (3)

Acia mathematka. 5. Iinprîiu^ 22 .Tuîllet 1884. 27

210 H. Poincaré.

qui n'appartiennent pas à l'équation (i), ô soit nul ou soit une partie aliquote de l'unité et que les intégrales de l'équation (i) soient partout régulières.

Ces conditions ne suffisent pas pour déterminer d. Supposons même que l'on choisisse arbitrairement les points singuliers de (3) qui n'appartiennent pas à (i) et les équations déterminantes relatives à tous les points singuliers de (3) en satisfaisant toutefois aux diverses conditions que nous venons d'énoncer. Quand ce choix sera fait, d ne sera pas encore entièrement déterminé, et il y restera un certain nombre de paramètres arbitraires. Dans divers mémoires, antérieurement insérés aux Acta mathematica, j'ai démontré qu'on pouvait disposer de ces paramètres:

1° d'une manière et d'une seule, de telle façon que x et y soient fonctions fuchsiennes de z n'existant qu'à l'intérieur d'un cercle;

2° d'une infinité de manières, de telle façon que x et y soient fonctions kleinéennes de z n'existant pas dans tout le plan. ^

3° d'une manière et d'une seule de telle façon que x et y soient fonctions fuchsiennes et kleinéennes de z existant dans tout le plan.

Dans tous ces cas les intégrales de l'équation (i) sont des fonctions uniformes de z.

Nous supposerons pour fixer les idées que l'équation (3) ait été choisie de .telle sorte que x et y soient fonctions fuchsiennes de z n'existant qu'à l'intérieur du cercle fondamental dont le centre est o et le rayon I (i'", 2"" et 6""" familles). Alors les intégrales de l'équation (i) pourront se mettre sous la forme du quotient de deux séries ordonnées suivant les puissances de z et convergentes tant que z reste intérieur au cercle fondamental; elle sont dont foîtjoîirs convergentes puisque la variable z ne peut jamais sortir de ce cercle.

Envisageons un cas particulier remarquable, celui où rJ est nul pour tous les points singuliers de l'équation (3) et où par conséquent x et y sont des fonctions fuchsiennes de la 2" famille. Dans ce cas, les intégrales de l'équation (i) de même que x et y, sont des fonctions holomorphes de z à l'intérieur du cercle fondamental. Toutes ces fonctions peuvent se développer en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de z et toujours convergentes puisque le cercle de convergence est le cercle fondamental et que la variable ne sort jamais de ce cercle. Quant aux coefficients de ces séries, ou les calcule aisément par récurrence et par

Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes. 211

la méthode des coefficients indcterniinés, dès que l'on connaît les coefficients des équations (i), (2) et (3).

Ainsi on peut trouver des développements des intégrales qui sont toujours viilubles et à ce point de vue, il est, dès à présent, permis de dire que nous savons intégrer toutes les équations linéaires à coefficients algébriques.

Mais les développements ainsi obtenus ne sont pas satisfaisants pour l'esprit, parce que les dift'crents termes ne se déduisent pas les uns des autres par une loi simple. Il faut donc chercher à exprimer les intégrales par des séries dont tous les termes soient doimés par une formule générale simple, comme l'étaient par exemple les termes des séries thétafuchsiennes. Tel est l'objet du présent mémoire. Les séries que je vais chercher à obtenir seront moins propres peut-être au calcul immérique que les développements suivant les puissances de z, mais elles seront plus instructives et nous permettront de pénétrer plus profondément dans l'étude intime des fonctions qu'elles représentent.

Toutefois dans ce qui va suivre, je serai obligé de supposer que l'équation (i) a toutes ses intégrales régidïères pour employer l'expression de MM. FucHS, Thomae et Fiîobenius. Dans le cas où il y aurait des intégrales irrégulières, rien de ce que je vais dire ne serait plus applicable et je ne sais, au sujet de ces équations irrégulières, rien de plus que ce que j'ai démontré dans les quatre mémoires antérieurs. J'avais, il est vrai, dans les Mathematische Annalen, énoncé un résultat particulier sur ces équations irrégulières, mais ce résultat est inexact; j'avais été trompé par une fausse interprétation d'un théorème de M. Kleix dont je ne connaissais pas la démonstration.

§ 2. Classification des équations linéaires.

Soient

(0 3-^ + V <fk{x, »/)^ = o, (2) 4^{x, y) = o

dx^ ' •*--■ ' " ^ ' ^' cl

Vxi,

212 H. Poincaré.

deux équations linéaires d'ordre p à coefficients rationnels en x et 7. Je dirai que ces deux équations appartiennent à la même famille si l'intégrale générale de la seconde peut se mettre sous la forme:

V étant l'intégrale générale de l'équation (i), les F étant des fonctions rationnelles de x et de y, et .1 une fonction quelconque de x et de «/. Elles appartiendront à la même espèce si la fonction A est égale à i .

Si les deux équations (i) et (i') sont de la même espèce, elles auront même groupe, c'est à dire que lorsque le point [x, y) décrira un contour quelconque sur la surface de Riemann (2), les intégrales de l'équation (i') subiront précisément la même substitution linéaire que les intégrales de l'équation (i). Si les deux équations sont seulement de la même famille, elles n'ont plus même groupe, mais quand le point (r, y) décrit un contour quelconque, on obtient les valeurs finales des intégrales de (i') en appliquant aux valeurs initiales la substitution qu'ont subie les intégrales de (i) et en multipliant ensuite tous les résultats ainsi obtenus par un même facteur. Ainsi les rapports des intégrales de (i') ont subi précisément la même transformation que les rapports des intégrales de (i).

Soit:

u' = j = i,v + F,^ + . . . + i,-^j-i;=-,, u' satisfera à une équation à coefficients rationnels en x et y:

in S + S^i'ë

dx^ ■^-' dx"

On aura alors, en faisant u = Au' dans (i') et divisant par A:

Les deux équations (1") et (i'") étant irréductibles, doivent être identiques d'où:

Mémoire sur les fonctions zétafuchsicnncs. 213

Il suit de là que la dérivée logarithmique de .1 est rationnelle en X et y. Donc .1 est une de ces fonctions étudiées par M. Appell et analogues aux fonctions doublement périodiques de s""" espèce. De plus, quand sur la surface de Riemanx (2), le point analytique (.r, \j) décrit un cycle ou bien un contour fermé autour d'un point singulier, la fonction A est simplement multipliée par un factoiir (constant.

Etudions maintenant ce qui se passe dans le voisinage d'un point quelconque, et pour cela rappelons les différents cas qui peuvent se présenter, d'après les travaux de M. Fucus:

1°. Il peut arriver que le point singulier x = a que l'on étudie soit irrégiûler, c'est à dire que parmi les intégrales il y en ait au moins une qui soit irrégulière et par conséquent développable en série de la forme suivante:

où dans la série l'exposant n peut prendre toutes les valeurs entières positives et négatives.

Il est aisé de voir que si le point x == a est un point irrégulier pour l'équation (i), il sera aussi un point irrégulier pour toutes les équations de la même espèce. Quant aux équations de la même famille elles auront toutes aussi un point irrégulier au point a (sauf le cas particulier où on pourrait rendre les intégrales de l'équation (i) régulières en les multipliant par une même fonction jji).

. Nous supposerons d'ailleurs dans tout ce qui va suivre qu'aucune des équations que nous considérerons ne présente de point irrégulier. Ainsi tous les points singuliers de (i) et de (T) seront supposés réguliers.

2°. Il peut arriver ensuite que le point singulier x = a soit logarithmique, c'est à dire que parmi les intégrales de l'équation (i) il y en ait au moins une de la forme:

{x — aY[ç + ^<\og{x-a)]

ç et (^ étant lioloinorphes. Si le point x = a est un point logarithmique pour l'équation (i), il sera aussi un point logarithmique pour toutes les équations de la même famille.

214 H. Poincarë.

3°. Il peut arriver enfin que le point x = a soit un point singulier ordinaire ou un point tion singulier. Dans ce cas, il y a 2J intégrales de la forme suivante:

{x — af'^i, (x — ffi)V2, •••, (•*: — «)'^Ti>

les ç étant lioloniorplies. Les quantités P., , Aj , . . . , A^, sont les racines d'une équation facile à former et qu'on appelle équation déterminante. En général, lorsque cette équation a une racine double ou deux racines ne différant que d'un nombre entier, on a affaire à un point singulier logarithmique; il peut arriver cependant, s* certaines conditions sont remplies, cjue le point singulier soit ordinaire, quoique la différence de deux racines de l'équation déterminante soit un entier.

Il peut se faire alors:

1° ou bien que l'équation aux différences des racines de l'équation déterminante n'ait pas toutes ses racines entières, auquel cas le, point X = « est un point singulier proprement dit.

2° OU bien que les p racines de l'équation déterminante soient de la forme:

A- + /;,, k + li,, ..., l- + h,

k étant une quantité non entière et /^i, h.,, ..., h^, étant des entiers. Alors X = a (s'il n'est pas logarithmique, ce que je suppose) est un point à apparence singulière (cf.- Sur les groupes des équations linéaires, Acta mathematica, T. 4, page 217).

3° ou bien que les 2^ racines soient entières. Alors pour x = a toutes les intégrales sont holomorphes ou méromorphes; ce point est un point singulier polaire (s'il n'est pas logarithmique, ce que je suppose toujours).

4° enfin si les p racines en question sont précisément

on a affaire à un point non singidier.

Que se passera-t-il dans le voisinage d'un point non logarithmique si l'on passe de l'équation (i) à une équation de la même famille ou de la même espèce?

Mémoire sur lo3 fonctions zëtafachsiennes. 215

Soit X = a un point non logarithmique; considérons trois équations linéaires (i), (i') et (i"), la seconde de la même espèce que (i), la troisième de la même famille que (i). Soient (3), (3') et (3") les équations déterminantes relatives à ces trois équations diflférentiellcs et au point X = a. Soient