et., , . . . , ap

les racines de (3). Celles de (3') seront:

cti + i'i, a, + //,,, . . . , c(^ + li^

et celles de (3") seront:

/3 + o<, + //, , fi + ce, + h,, ..., 13 + a„ + h„

/? étant quelconque et les /; étant des entiers positifs ou négatifs.

D'où les conséquences suivantes: Si le point x = a est un point singulier proprement dit pour l'équation (i), il en sera \\n aussi pour les équations (i') et (i"). Si ce point est un point non-singulier pour l'équation (1), il sera non singulier ou polaire pour (i') et il sera non singulier, polaire ou à apparence singulière pour (i").

Donc deux équations de la même famille ont les mêmes points singuliers proprement dits (logarithmiques ou non logarithmiques). Mais les points à apparence singulière (et en particulier les points polaires) peuvent être différents.

Supposons maintenant que les deux équations (i) et (1') soient dépourvues de second terme, c'est à dire que:

<fp-x = f'p-i = o- Dans ce cas la somme des racines de l'équation déterminante est égale à:

Supposons que ces racines soient toutes entières sans être précisément égales à

21G H. Poincaré.

c'est à dire que nous ayons affaire à un point singulier polaire. La somme des racines doit être égale à la somme des jj — i premiers nombres. D'ailleurs deux racines ne peuvent être égales, car il est aisé de constater que l'équation déterminante relative à un point singulier non logarithmique ne peut avoir deux racines égales. Donc une au moins des racines devra être négative; donc le point x = a est un pôle pour une des intégrales de l'équation (i), ce qui justifie le nom àe point 'polaire donné à cette sorte de point singulier.

Envisageons d'abord des équations du 2'' ordre. La somme des racines de l'équation déterminante est égale à i ; leur différence est égale à I pour les points non-singuliers, à un nombre entier plus grand que i pour les points à apparence singulière, à un nombre non entier pour les points singuliers non logarithmiques, à o, à i ou à un entier pour les points logarithmiques.

Nous ferons les conventions suivantes: Si pour un point à apparence singulière, cette même différence est égale a, n -\- \ , nous dirons que nous avons affaire à un point à apparence singulière du n" ordre, ou encore à n points à apparence singulière confondus. Si pour un point singulier logarithmique ou non cette même différence, dont nous pouvons toujours supposer la partie réelle positive, est égale à n -\- X, X étant un nombre dont la partie réelle X^ satisfait aux inégalités

nous dirons que nous avons affaire à un point singulier et à n points à apparence singulière confondus.

Grâce à ces conventions, l'énoncé du théorème qui va suivre est un peu simplifié. Je dis que si l'équation (i) a un nombre pair de points à apparence singulière, il en sera de même de l'équation (i') et inversement. En effet, soit:

(0 jz^ + P' = o

dx''

l'équation (i), posons:

Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes. 217

Soient .1^, J, et 31 di-s fonctions toiles que: d'où

Il résulte de là que le passage d'une équation du 2'' ordre à une autre de même famille peut toujours être obtenu par la série d'opérations suivantes:

1°. Multiplier la. fonction inconnue par un facteur convenable.

2°. La diffcrentier.

3°. La multiplier de nouveau par un facteur convenable.

La première et la dernière de ces trois opérations ne modifient pas la différence des racines de l'équation déterminante. La seconde opération seule peut altérer cette différence. Voici comment: je suppose d'abord que l'on ait pour la fonction inconnue v le développement suivant:

V = X{A + B.r 4- Ce' + Dx' + ...)+ /jl{B'x + C'x' + D'x' + . . .)

A et /JL étant des constantes d'intégration; .ce développement montre de plus que les racines de l'équation déterminante sont o et i. Si l'on a:

il viendra pour le développement de -j-/dv

dx

?.{3Dx' + ...) + (;, + Àh){B' + 2C'x + 2,Trx' +

ce qui montre que les racines de l'équation déterminante sont devenues o et 2. Ainsi la différentiation peut faire apparaître de nouveaux points à apparence singulière, mais elle en peut aussi faire disparaître. Soit en effet

V = ?.{A + Bx + Cx' + ...)+ fi{C'x' + D'x' + . . .)

Acta 'maihet}iatica. 5. Imprimé 2*j Juillet 1884. 28

218 H. Poiocard;

le développement de v. On voit que l'équation déterminante a pour racines o et 2. Si l'on difféi'entie, il vient:

1^ - A(B + 2Gr + . . .) + ii{2C'x + iT)'x' + . . .)

où l'on voit que les racines sont devenues o et i . En général, toutes les fois que l'une des racines de l'équation déterminante sera nulle, sans que l'autre soit égale à i , la différentiation fera augmenter ou diminuer d'une unité la différence de ces racines, et elle ne pourra la faire varier si l'une des racines n'est pas nulle.

Soit:

l'équation à laquelle satisfait v; sa dérivée

dv

dx

satisfera à

Il s'est introduit par la différentiation de nouveaux points à apparence singulière, définis par l'équation :

Supposons, ce qui est toujours possible, que l'infini soit un point singulier ordinaire^ d'où il résulte que ^•g doit être une fonction rationnelle de degré — 2. La fonction ç^ aura 2(1 + s infinis, parmi lesquels d infinis doubles et s infinis simples. Elle aura A- zéros de sorte que:

k == 2d -\- s ^^^ 2 ou

k = s (mod 2 ) .

A chaque infini simple de ç^ correspond une équation déterminante dont une des racines est nulle; par conséquent, par la différentiation la différence

Mémoire sur les fonctions zétafuclisicnncs. 219

de CCS racines diminuera ou augmentera d'une unité. I)"a[)rès les conventions faites plus haut, il disparaîtra ou il s'introduira un point à apparence singulière. Ainsi par le fait des s infinis simples de f^, il s'introduira (T pareils points où:

(7 = s (mod2).

Par le fait des k zéros de jr„ , il s'introduira k points à apparence singulière, de sorte (ju'il s'en est introduit en tout:

/.; + (T = o (mod 2).

Donc la parité du nombre des points à apparence singulière n'a pas varié.

§ 3. Héductîoti des équations linéaires.

l'armi les équations d'une même famille, il en est une (jue l'un peut regarder comme plus simple que toutes les autres. On peut se proposer, étant donnée une équation linéaire, de trouver la transformation qui la réduira à l'équation la plus simple de sa famille.

Afin d'éviter des complications inutiles et qui ne touchent pas au fond des choses, je traiterai un cas particulier.

Je supposerai que l'équation à réduire est du 2'' ordre et que ses coefficients sont rationnels en x, et j'écrirai cette opération sous la forme:

Soient a,, «., , .... u^ les points singuliers, h^, h.,, ..., b^ les points à apparence singulière; je supposerai que les racines des équations dé-

terminantes relatives à ceux-ci soient et - . Réunissons dans une

même classe toutes les équations de la forme (i) où les points singuliers «1, a.,, . . . , ffj, Qo sont les mêmes avec les mêmes équations déterminantes, et où la parité du nombre /* de points apparents est la même. Chaque classe contiendra une infiinté de familles. Il y atira un certain nombre de fonctions des coefficients des équations d'une même classe qui auront

220 H. Poincarc.

la mêiiii; viileur pour celles de c*s équations qui a])partieuiicnt à une même famille. Ce sont des invariants qui définissent la famille et différents de ceux qui définissent la classe. Combien y a-t-il de pareils invariants? En d'autres termes, combien faut-il de conditions pour que deux équations, qui sont déjà supposées appartenir à une même classe, appartiennent aussi <à une même famille?

Soit 6 une fonction rationnelle quelconque de x. Posons:

dx '

La fonction

satisfera à l'équation

Le coefficient de u, que nous appellerons <[) pour abréger, admet comme infinis doubles:

1°. Les infinis de (f^ qui sont en général des infinis de <l>.

2°. Les zéros de ç('.

Le rapport des intégrales de (i) subit certaines substitutions linéaires formant un groupe G lorsque la variable x décrit certains contours dans son plan. Si les équations (i) et (2) appartiennent à la même famille, le rapport des intégrales de (2) subira les mêmes substitutions linéaires formant le même groupe G, et réciproquement, si ces deux rapports subissent les mêmes substitutions, les deux équations appartiennent à la même famille.

Il résulte de là que le nombre cherché des invariants est au plus égal au nombre des paramètres arbitraires du groupe G. Or ce groupe est dérivé de k substitutions, ce qui fait 3/1; paramétres, puisque chaque substitution dépend de 3 paramètres. Mais les équations (1) et (2) sont assujetties à appartenir à une classe déterminée; on connaît les multiplicateurs de ces k substitutions correspondant à des contours infiniment petits décrits autour de chaque ])oint singulier et celui de la substitution qui correspond à un contour infiniment grand. Il reste 2k — 1 paramètres.

Mémoire sur les fonctions zétafuchsicnncs. '2'2 1

Mais si l'on remarque que deux groupes G et a^Go, où a est une substitution linéaire quelconque, ne doivent pas être regardés comnio distincts, on verra qu'il n'y a en réalité que 2k — 4 paramètres arbitraires.

Ainsi le nombre des invariants ne peut dépasser 2k — 4. Il sera précisément égal à ce nombre, si l'on peut trouver dans chacjue classe une équation admettant un groupe donné, sans que les coefficients de ce groupe soient assujettis ii aucune relation d'égalité. Comme nous démontrerons plus loin ce théorème, nous admettrons que le nombre des invariants est 2k — 4 en nous dispensant de faire le calcul direct qui ne présente d'ailleurs pas de difficulté.

L'équation réduite, c'est à dire la plus simple des équations d'une famille donnée, dépendra donc encore de 2k — 4 paramètres. Quel est donc le minimum des points à apparence singulière que l'on peut lui attribuer? Supposons que l'équation (2) soit réduite. Elle admettra k points singuliers et /*' points apparents; la fonction 0 qui est de degré — 2 a donc k + h' infinis doubles et dépend par conséquent de 3/1 + 3/;' — I coefficients. Mais il y a entre eux 2k + 2/<' + i relations qui expriment que l'équation appartient à la classe considérée et que les /(' points en question sont bien des points à apparence singulière. Il reste donc A- -\- h' — 2 ])aramètres. Or ce nombre doit être au moins égal à 2k — 4. On doit donc avoir:

Mais on a de plus li^h' (mod2); le nombi'e minimum dc.< point?; apparents est donc k — 2 si k et /; sont de même [)arité et k — i si k et // sont de parité différente. Dans le premier cas, il n'y a dans la famille qu'un nombre fini d'équations n'ayant que /: — 2 points apparents et on peut prendre l'une d'elles comme équation réduite. Dans le second au contraii-e il y a une infinité d'équations de la même famille n'ayant que k — I points apparents.

On peut encore prendre l'une d'elles pour équation réduite, mais cela ne suffit pas pour la déterminer. Nous achèverons de la définir en lui imposant cette condition que l'un des points apparents devra avoir une valeur déterminée par exemple o.

Voici maintenant comment on peut arriver à réduire l'équation

222 II. Poincard.

linéaire (i). Nous supposerons d'abord (jue k et li sont de mcnie parité. Soient alors

«1 , a.,, ..., a, les points singuliers,

il , b,, . .., h,

les points à apparence singulière.

La fonction ^"^ pourra s'écrire:

Z (,.f — «,)- ' Z^ ,<; — 0,; ' Z- (,« — /-;)- ^ Z* .« — hi

On aura d'ailleurs:

(3) c\=+\, iy- + E, = o

en supposant pour lixer les idées que tous les points apparents soient distincts entre eux et distincts des points singuliers. Dans ces équations Ej représente le résultat de la substitution de hi à la ])lace de x dans la fonction

Ci A

Posons maintenant:

^ (.« — aJXx — aj'^ ... (,« — ak)Xx — cj^s — c,)' ... (« — c,,J'

oii ot, les (l et les r sont jusqu'à nouvel ordre indéterminés et oii 2)11 = /( — /,■; il L'st clair que m ne peut être négatif, car si h était plus petit que k la réduction serait terminée.

Nous allons disposer des indéterminées de telle façon (|ue la fonction

(jui est rationnelle de degré — 2 puisse se mettre sous la forme:

as I) étant ratioiniel et d<! de^ré — i .

Mémoire sur los fonctions zétafuclisiennes. 22^?

Soient en général P>, , L, ..., X,, les infinis de 0, //, , /i.., , ..., //^ les résidus:

Z-, X — /.j Soit «9- et d[ le résultat de la substitution de X, dans les fonctions

^ et ^ + ^^^

X — ^.j dx {x — /,)''

il viendra:

dx Z— (,« — /,) - Z^ '■ — /,

Si l'on a

Mi , ^ N,

on devra donc avoir

ce qui détermine les /i^ et par conséquent la fonction â. On peut donc choisir arbitrairement les M^ et les A, mais non les N^, d'où il résulte que pour qu'une fonction rationnelle de degré — 2 ayant j) infinis douilles

puisse se mettre sous la forme â' j- , il faut j) — i conditions; la p"

condition qui achèverait de définir les p quantités iV^, c'est que leur somme doit être nulle.

Dans le cas particulier qui nous occupe, il y a m -\- h -{- h infinis doubles; il nous faut donc satisfaire à

tii -\- h -{- k — I ^ 3m + il- — i

conditions et pour cela nous ne disposons que de )>} + A- ^- i arbitraires. Il faut donc voir si h de nos conditions sont remplies d'elles-mêmes. Pour cela supposons qu'on retranche de II les deux termes qui deviennent infinis pour X == /, et que l'on appelle M^ le résultat de la substitution de Xi dans les termes restants, il est aisé de vérifier que l'on a:

(4)- R, = âi + {2;jL,-^^)â:.

224 H. Poincaré.

Parmi les infinis de M, considérons les points />, , h^, ..., h,, par exemple le point hi- Soit donc i^ = A,; il viendra:

Parmi les valeurs qui satisfont à cette condition nous choisirons

de sorte que l'équation (4) devient

On a d'autre part:

j\r. = 2/i,(?, = ^,, iv, = — />,

de sorte que la condition (4') se réduit à

Mais pour x = h, = X^, la fonction <l' s'annule de sorte qu'il reste simplement

et

de sorte que la condition (4") se réduit à l'une des équations (3) et est satisfaite d'elle-même.

On pourra donc disposer des 7)i -\- k — i paramètres arbitraires pour satisfaire aux m -{-Je — i conditions restantes. On envisagera ensuite la fonction:

« = if(''" + s

qui satisfera à l'équation (2). Cette équation n'admettra plus les points à apparence singulière h^, b^, . ., b,,; car pour le point />,, par exemple, supposons que l'on envisage le développement de u suivant les puissances croissantes de x — h^. Le développement de v commencera (pour l'intégrale

Môiiioirc sur les fiinctinns xétafuclisiennes. 225

générale) par un tenue de degré — -; celui de -j- par un tenue de

degré ; celui de 6 par un terme de degré — i et de coefficient

fii = —. Le développement de Or + -j-, devrait donc commencer par un terme de degré — -; mais les deux premiers termes se détruisent et il reste un terme de degré -| . Dim autre côté le développement de

—= commence par un terme de degré et par conséquent celui de u

par un terme de degré o. Le point apparent /y, a donc disparu. En revaTiche les points di, r/., , ..., rJ,.., sont devenus des points à a])parence singulière. L'équation (2) n"a donc que /: — 2 points ;i apparence singulière; elle est donc réduite.

Voici maintenant une méthode plus simple pour déterminer la fonction 0. On pose:

Z^ ,--• ^- rt, ^ 1^2 (.ï — /<,) ^ Z^x — Ci

Dans cette expression entrent 2;» + ^'" ^ ^' indéterminées, à savoir: les A- résidus P,, les m résidus Ç, et les m infinis r,. On les déterminera par les /( conditions:

On peut ramener ces équation? à être linéaires de la façon suivante: Soit n le produit des k + '' facteurs cr — a, et x — h, . Posons

Soient ff, et r,' ce que deviennent /7, et //■ quand on y fait .r = i, . Posons:

H et K étant clés polynômes de degré m ~\- h -^ ]< — i et m en x.

Acin mathematira. 5. IiuiiriiiR- 14 Août I8^U. 29

22G H. Poincaré.

Soient Hi, À',, H\ et K[ ce que deviennent ces deux polynômes et leurs dérivées quand on y fait x = h^. Nous aurons les relations:

exprimant que le résidu relatif à l'infini .r = i^, est égal à -. D'autre part les relations (5) deviennent:

Toutes ces relations sont linéaires par rapport aux coefficients des polynômes // et K et suffisent pour les déterminer. D'où cette conclusion importante qu'il n'y a en général qu'une seule équation réduite dans une famille.

Supposons maintenant que /; et A' ne soient pas de même parité.

Nous poserons:

où 2m ^^ h — k. Nous disposerons des ')» -\- k — i indéterminées a, d et c de façon que la fonction

puisse se mettre sous la forme:

. dx

On verrait, comme dans le cas précédent, que cela est toujours possible et, en faisant à l'aide des fonctions (/> et 0 la même transformation que plus haut, on arriverait à une équation (2) qui n'aurait plus d'autres points à apparence singulière que

et qui serait par conséquent réduite.

On peut employer la même analyse pour arriver à la réduction d'mie éipiation linéaire:

i". Lorsque celle-ci est d'ordre supérieur au second.

Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennos. 227

2°. Lorsque sus coefficients sont algébriques au lieu d'être rationnels.

Puiscju'il n'y a clans une mènic fumilld qu'un nombre fini de réduites, les coefficients nuinéri(jucs de l'ocjuation réduite définissent la famille. Ce sont là les invariants dont il a été question plus lia ut.

§ 4. Fonctions sétuj'uclisiennes.

Soit // un groupe fuchsien quelconque (jue nous supposerons de la i''", de la 2' ou de la 6" familles. Soient:

Zj , z.,, . . . , Z^,

^j fonctions de z, n'existant qu'à l'intérieur du cercle fondamental. Supposons que lorsque la variable z subit une substitution du groupe rj, la fonction Z^ se change en

c'est à dire en une combinaison linéaire des p fonctions Z. Les substitutions

{Z^, Tci„Z,)

formeront évidemment un groupe G isomorphe à ff et que nous appellerons zétafuchsien. Supposons maintenant que ces fonctions Z soient uniformes et n'aient à l'intérieur du cercle fondamental d'autre singularité que des pôles.

Lorsque le groupe fj est de la 2V ou de la 6" familles son polygone générateur 7?„ aura un ou plusieurs sommets sur la circonférence du cercle fondamental. Soit a. l'un de ces sommets. Je supposerai que les fonctions Z n'ont dans le voisinage du point z = a. que des sinfularités logarithmiques analogues à celles que présentent dans le voisinage de ce même point les fonctions fuchsiennes engendrées par le groupe ff. Entrons dans quelques détails à ce sujet: les fonctions fuchsieimes engendrées par

le groupe </ sont holomorphes en e' oîi t = — ^ — et oii ,5 est un coefficient

228 H. Poiucaré.

convciiablciueiit choisi. (Cf. Mémoire sur les fondions ftichsiennes, Acta mathcmaticii, T. i. p. 21'^.) Dans le voisinage de ce même point singulier, les fonctions Z seront de la forme:

on (p^ , <P.., . . . , <P,^ sont holomorplies en e', on les ?, sont des constantes et où Pi, Pj, . ... , I',j sont des polynômes entiers en t de degrés «1, n^, ..., n^. On a d'ailleurs

y/, + ii„ + . . . + n,^ = p — q.

Lorsque toutes ces conditions sont remplies, on dit que les fonctions Z sont zétafuchsiennes.

Reprenons les équations (i) et (2) du paragraphe i et l'équation auxiliaire (3) de ce même paragraphe. Supposons que l'on ait choisi cette dernière équation de façon que x et 1/ soient des fonctions fuchsiennes f{z) et /'i(-ï) du rapport s des intégrales. Supposons de plus que les intégrales de l'équation (i) soient partout régulières. Si nous substituons à la place de x et de !/, f[z) et f^{2), les intégrales de cette équation deviendront des fonctions zétafuchsiennes de 2.

Cela justifie la 'dénomination que j'ai adoptée. ()n sait en effet qu'on ne peut pas obtenir toutes les intégrales elliptiques par le procédé de l*inversion, qui ne donne que les intégrales de i*^^" espèce. Pour calculer les intégrales de 2''' espèce, on y substitue à la place de x une fonction elliptique de x et l'intégrale cherchée devient une fonction zêta de z c^ui augmente d'une constante lorsque, la variable s'accroît d'une période. De même ici le procédé de Finversion ne permet d'intégrer que les équations fuchsiennes. Pour les autres équations linéaires, il faut, comme nous venons de le voir, substituer à la place de x une fonction fuchsienne de s. Les intégrales deviennent alors des fonctions zétafuchsiennes de z (jui subissent une substitution linéaire lorsque la variable subit une transformation du groiqîe g: Les fonctions zétafuchsiennes jouent donc ici le même rôle que les fonctions zêta dans la tliéorie des transcendantes elliptiques.

Cela posé soient:

X = f{z), jj = f{z) et z^, z,^, ..., Zj,

Mémoire sur les fonctions zétafuclisieuncs. 229

deux fonctions fuchsiennes et un système de fonctions zétafuchsieunes adniettiint le groui)e fuchsien (f et le groupe zétafuchsicn G (les fonctions X ai y sont liées par une relation algébrique). Il est aisé d'en déduire une infinité de systèmes de fonctions zétafuchsienncs admettant les mêmes groupes. Soient en effet F^ , t\, F.^, . . . , F,^, q -\- i fonctions fuchsiennes admettant le groupe y. Les fonctions:

^o^P + ^1 ,,., + J- -i ,ix' + • • • + ^ï ,ix^ '

formeront un système zétafuchsicn.

Cherchons maintenant quelle est l'expression la plus générale d'un système zétafuchsien admettant les groupes y et G. Soit:

un pareil système. Posons pour abréger:

^^ - dx^ • Considérons la matrice:

Pour abréger nous n'avons écrit qu'une ligne de cette matrice; mais il faut supposer qu'elle a p lignes et que dans la i" ligne, chacune des lettres que j'ai écrites sans indice est affectée de l'indice i. Soit maintenant ( — i)*Jt i le déterminant que l'on obtient en supprimant dans cette matrice la k^ colonne; on aura les relations:

230 H. Poinoarc.

Lorsque la variable z subit utie substitution du groupe i/, les fonctions Zf, Z[, ..., Tf subissent une nièuic substitution S appartenant au groujje G, à savoir:

(Z,, Ta^Z,), {Zl, Ta„Z,), . . . , {2\, TaJ\).

Tous les déterminants J„, Jj , J, , ..., J^, sont alors multipliés par nn même facteur, c'est à dire par le déterminant:

Les rapports — ne sont donc pas altérés; ce sont donc des fonctions

fuehsiennes de z, c'est à dire des fonctions rationnelles de x et de //. Voici donc l'expression générale cherchée:

(4) T, - FoZ, + l\Z[ + KZ," + . . . + F,, :/j: '

les V étant rationnels en ,t et y.

Les fonctions Zf formant un système zétafuchsien, on aura:

(5) ^r + v^^^r + • . . + yyA + y^^. = o

les F étant rationnels en £ et ij. Ainsi envisageons des fonctions zétafuchsiennes quelconques :

Zl , z, , . . . , Z^,

ayant pour groupes G et (j. Considérons-les comme fonctions de .c = /(~~), où /'(i) est une fonction fuchsiemie admettant le groupe (j .

Elles satisferont toujours à une équation linéaire à coefficients algébriques.

Il résulte de là que les fonctions T^ satisferont connue les fonctions Z; elles-mêmes à une pareille équation. Mais en vertu de la relation (4), l'équation à laquelle satisfait T^ et celle à laquelle satisfait Z, appartiennent à la même espé'ce.

Ainsi toutes les fonctions zétafuchsiennes qui ont même groupe satisfont à des équations linéaires à coëfticients rationnels en x et en y et qui sont toutes de la même espèce.

Nous supposerons dans ce qui va suivre que le déterminant

Mémoire sur les fonctions zélafuchsiennes.

de foutes les substitutions du groupe G est éiïjil à i . Cette livpotlièse est permise. En effet on peut toujours dans iine ('(luatioii liiicairc d'ordre ;), faire disparaître le corfficient du ternie en

et si ce terme est ind, toutes les substitutions du groupe de l'équation ont leur déterminant éojal à i .

§ 5. Développements en séries.

Supposons d'abord que le groupe fiichsien r/ soit de la i*" famille. Soit ,«, une sultstitutinn de ce groupe

Soit iS, la substitution correspondante du groupe G. Ce sera une substitution linéaire de déterminant i (pic l'on pourra représenter par le tableau de ses coefficients:

"il fi\2 ■ ■ ■ r'\,,

La substitution 5, ' sera alors représentée par le tableau:

Al,, A',

AU A],, ... a;^,

où les A sont les mineurs du déterminant des a.

232 H. Poincaré.

Nous allons considérer p fonctions rationnelles

Hj, Ho, . . . , H y

et'jj séries:

' Cl ) ?2 > • • • > Cjo

et nous adopterons les notations suivantes:

Les séries ç s'écriront alors

Supposons que l'on ait démontré que ces séries sont absolument convergentes; voyons quelles seront leurs propriétés. On aura:

et de plus:

cl ou :

et enfin:

Ecrivons la série (i) et la relation (2) avec les notations ordinaires, il vient:

Méiiiriiro sur les fonctioim zi'tafiic-Iisicnnes. 233

et

e.(Êf^)=S„<^(^)(;7^ + 'î,.r

Il reste à rechercher si les séries (i) sont n])S()lniiiciit c()nverfr''ntes. Pour cela cnvisno-eons la série

et cherchons pour quelles valeurs de )ii cette série est convergente.

Nous allons donc chercher avec quelle rapidité croissent les coefficients Al^. A cet effet envisageons les substitutions fondamentales du groupe G et leurs inverses. Si k est le nombre des substitutions fondamentales, nous aurons en tout 2/1-p' coefficients. Soit M le plus grand module de ces 2k2)' coefficients.

Soit maintenant iS, une substitution quelconque du groupe G dont tous les coefficients aient leurs modules plus petits que À"; soit d'ailleurs 2^ une des substitutions fondamentales on une de leurs inverses. Les modules de tous les coefficients de 6', 2' seront plus petits que pMN; car chacun de ces coefficients est une somme de ]) monômes et chacun de ces monômes est le produit d'un coefficient de <S', par un coefficient de I.

Cela posé, une substitution iS", quelconque poin-ra toujours se mettre sous la forme suivante:

(3) ^, = i'rjrr.. ^'"''

Chacune des lettres 2'i , 2", . . . . , 2], désigne une des substitutions fondamentales ou une de leurs inverses, la môme substitution pouvant d';iillcurs se retrouver plusieurs fois dans la suite. Les exposants et, , a.,, . . . , ol^, sont entiers positifs. La somme <t = et; + a., + . . . + «7- s'appelle l'exposant de la substitution. Dans le cas où la substitution «S, peut se mettre d'ime infinité de manières sous la forme (3), son exposant est la plus petite valeur que puisse prendre la somme a, + ^2 + • • • + «y, •

Il résulte de cette définition que les modules des coefficients d'une substitution dont l'exposant est (t sont plus petits que

{Mpy.

Le groupe G est isomorphe au groupe r/. Il en résulte que l'exposant de Sf est le même que celui de la substitution correspondante s,-

Acta niathematù'a. 5. Imprimé 3 Septembre 1884. gO

234 H. Poincaré.

du groupe g si risomorphisme est holoèdrique. Il est plus petit, en général, si risomorphisme est mériédrique. Dans tous les cas il ne peut pas être plus grand.

Soit d'un autre côté U la distance à l'origine d'un transformé zs^ du point s, distance évaluée au point de vue de la géométrie non-euclidienne; je veux dire que H est la L de la droite o-zs^. On peut trouver une relation entre U et l'exposant a de la substitution s^ que nous appellerons aussi pour abréger l'exposant du point zSi. En effet supposons pour fixer les idées que les points ^ et o soient tous deux intérieurs au polygone H^. La droite 2s,-o dont la h est égale à U traversera un certain nombre de polygones U^, 7?, , . . . , i?, et a sera au plus égal au nombre n de ces polygones. Quelle relation y aura-t-il maintenant entre i? et n.

Considérons d'abord le polygone U^ ; la L de tout arc de courbe joignant deux points du périmètre de ce polygone appartenant à deux côtés non adjacents sera plus grande qu'une certaine limite inférieure que j'appellerai X. Considérons maintenant un polygone jRj adjacent à i?„ le long d'un côte Cj et envisageons un arc de courbe joignant un point d'un côté Cj de H^ à un point du côté C^ de H^ et traversant le côté C, . Je supposerai de plus que ces trois côtés C'^, (7j , G^ n'ont aucun point commun. (Cf. Théorie des groupes fiichsiens, Acta mathematica, T. I, page 31.) La L d'un pareil arc restera toujours plus grande qu'une certaine limite inférieure que j'appellerai jl.

Considérons enfin un arc de courbe qui vient couper successivement divers côtés de divers polygones M, et de façon que tous ces côtés viennent converger en un même point. Ce point sera un sommet de l'un des polygones et comme le groupe // est supposé de la 1*'° famille, ce sera un sommet de la i''" catégorie auquel ne viendra aboutir qu'un nombre fini de côtés. J'appellerai // la limite supérieure que ce nombre fini ne pourra dépasser. On aura alors:

inégalité que nous pourrons écrire: ■

n < aR ou (7 < (xR

a. étant une constante.

Mémoire sur les fonctious zdtafuclisicnncs. 235

Mais si l'un su reporte au paragraphe i du Mémoire sur lea fondions fmhsiennes (Acta iiiatheiuatica, T. i), on verra (|ue l'on a i^K étant une constante)

et de plus que la série 2 niod (^-^^ + d)~^ t'st convergente. . On a d'ailleurs, d'après ce que nous venons de voir:

niud J;,, < {MpY < e""""-'*-''''^.

On peut donc prendre m assez grand pour que:

2m — 4 > alog(Jfjj) d'où :

niod JL(;'.„^ + <?,)-•-•'" < niodOv' + ê)''

et par conséquent pour que la série l.^, définie plus haut soit convergente. La -limite que l'on est ainsi conduit à attribuer au nombre m n'est pas précise. Reprenons maintenant les séries (i); on peut trouver une limite supérieure du module des p fonctions:

pourvu (|u'aucune d'elles ne devienne infinie sur le cercle fondamental. (Cf. Mémoire sur les fonctions fuchsiennes § i, Acta mathematica T. i.) Les séries (i) sont donc absolument convergentes..

La relation (2) montre ensuite que si l'on divise les ^; fonctions Çi , Ç.J, ..., c^, par une même fonction thétafuchsienne 6, les quotients

■ forment un système zétafuchsien.

D'où la conclusion suivante: Avec un groupe fuchsien (/ de la i"^ famille et un groupe zétafuchsien G isomorphe au premier, on peut toujours construire une infinité de systèmes zétafuclisiens.

236 H. Poiucaré.

Donc ou peut toujours construire une iulhiité d'équations linéaires admettant un groupe doiuic, pourvu que ce groupe soit isomorphe à un groupe fuclisien de la i"" famille.

Cette reniarcpie est importante au point de vue de l'intégration algébrique de ces équations. Les savants qui ont abordé jusqu'ici la question de cette intégration algébrique ont cherché à former les groupes d'ordi'e fini contenus dans le groupe linéaire. Il restait à savoir s'il existait des équations admettant ces groupes. Cette question est maintenant résolue, puisque tout groupe d'ordre hni peut toujours être regardé comme isomorphe à un groupe fuclisien de la i""' famille.

Qu'arrive-t-il lorsque le groupe G est d'ordre fini? Il est mériédriquement isomorphe au groupe ff; si dans ce groupe (j on distingue les substitutions auxquelles correspond dans le groupe G la substitution identique, ces substitutions formeront un sous-groupe (/'> contenu dans (/. Les fonctions x = f{z) et y = f-^{s) et, en général, les fonctions fuchsiennes de groupe (j, pourront être regardées comme des cas particuliers des fonctions fuchsiennes de groupe //'. D'un auti'e côté, les séries ^, , f,» •••> Cy, se réduisent à des séries thctafuchsiennes de groupe ()', et les fonctions Zj , Z^, , . . . , Z^, à des fonctions fuchsiennes de groupe (j'. Il y a donc une relation algébrique entre Z^ et x. L'intégrabilité algébrique des équations linéaires auxquelles satisfont les fonctions Z, est donc mise en évidence.

Nous pouvons dès à présent indiquer l'expression analytique générale des fonctions zétafuchsiennes. Nous avons vu en eft'et que si

zî, z;, ... , z;: c/.=.,2 d

sont p systèmes zétafuchsiens et si

représentent lui système zétafuehsien (juelcoutjue, on a

Fi , F.,, . . . , Fp étant des fonctions fuchsiennes que l'on peut toujours considérer comme le quotient de deux séries thétafuchsienncs. Voici par conséquent quelle est la forme générale de la fonction T^, .

Mémoire .sur les fonctions zctafuclisiennes. 23/

Soit'lit

p séries de la foniiL' (i) et ^y + ' ijérics thétafuchsieiines, on aura

^/if' + n,^:. + ... + ^,7?:

Parmi les séries ç on peut en envisager qui sont plu» simples ([iie les autres. En ett'et clans les jj séries:

entrent j^ fonctions rationnelles arbitraires: