SS

ap|)artienne à g et, par consérpient. à G. Prenons, par exemple,

h"=i, >. S\ S», ..., (pii toutes font partie du groupe G'; soient alors

Al.ns

iera partie de G. c. n. v. i>.

\ous allons étudier maintenant quelques-uns des sous-gronprs di groupe arithmétique. Ce groupe est formé, d'après sa définition, di toutes les substitutions

fl, a-, «.,

dont les coefficients sont entii'is, et le détciiuiuant l'^al à i .

'122 H. noiNCMti-:.

l'oiir (I(''rniir un soiis-iijroupc du groupe ;irilhni(''ll(|U(', il t'aul dnur assujettir les eocfficicnts entiers «, h, c à de nouvelles eonditious.

Je distinguerai les sous-groupes à congruences où les neuf roel'lieieuts a, b, c sont assujettis à satisfaire à certaines congruences suivant un certain module rj premier ou composé.

T^EMME V. — Un sous-groupr à congruences est toujours un sousi:?nupr ff indice fini du groupe arithmétique.

Soil, IM1 elTi't, g un sous-groupe défini par l(^s A' congruences

(I) P,--P,l==... = 1\ee^(> ('niod^),

on les P sont di's polynômes entiers j)ar rapport aux «, b, c. Les congruences ( i) devront être satisfaites si Ton fait

Ea,E-H^,EE=^è,:ESSC,SS,

( niod Y ),

>l, en effet, la substitution identique

devra faire partie de :,>■.

Le sous-groupe g' défini par les congruences (2) sera donc un sousgrou]ie du groupe g qui est lui-mèm(^ un sous-groupe du groupe arilhniétique.

Il est évident cjue g' sera un sous-groupe d'indice fini dn gronjx' arilhmélique; car cet indice sera certainement plus petit ipie y' ( il se réduira k q^ si q est premier), puisque chacun des neuf coefficienis c/, b, c peut jtrendre q valeurs incongrues par rapport au module q.

Donc a fortiori g sera un sous-groupe d'indice fini dn group<' aritlnuéticpie. c. q. f. h.

('considérons maintenant une transformation T'a coefficienis (entiers. mais dont le dc'terniinanl soil <'"gal à un entier A plus grand (pie 1 .

T.KS FONCTIONS riCIISIKNNKS KT I.Ml I 111 M KTly 1 K . .'|2'3

Soicill (i le ^M'<)ll|ic ;ilillilin'li(|lic. (i' son liaiistntiiK- |);i|- T. :,- Ir LifDiiiii' (oimiiuii i'i (i l'i à (i : ji- (lis (jnc g sera un sous-gronpo à con-

^l'UlMlCi'S.

Soil. IMI cllcl.

Cl, /l, (l ,

une suhslilulion à coeflieienls .'uliers faisant partie de (i. Soil

la subsliluliou délinic [)ius iiaul.

La transformée de S par T' s"(''eriia

r-'ST =

h ^1± ^ll

les P étant des polynômes entiers homogènes et du premier degr.' par

rai)port aux a, b et c, et dont les coefficients dépendent d^^ a. 3 d -■.

l'onr que cette suhslilulion fasse partie de i'-, il fanl n il <iit'|ii ,|ii',.

ses eoeflicieiUssoieiU entiers, ce qui s'expiime par 1rs nruf c.ni;! iicnces

P,-s;o (modA).

Cela montre que ^ est un sous-o-roupe à cono-ruences; ddù lOn déduit aisément le lemme suivant :

Lemme m. — Le groupe arillinu'liqu,' est rommensurabli' (arc sou transformé par une suhslilulion à coefjicienis entiers de dclernunanl plus grand que i.

'lai'l n. POINCAHK.

Ou, ce qui revient au même,

Le i^roiipe arithmétique est commcnsitrablc avec son transformé par une substitution à coefficients fractionnai res .

Soil mainlenant T' une subsliluLion à cocfficienls fractionnaires; je il irai que la forme F est commensurable avec sa transformée FT' par la substitution T'.

Lemmi: VII. — Considérons deux formes commensurables F et ¥T ., Je groupe fuchsien pi-incipal de F = ^t sera commensurable avec le g;roupe fuchsien principal de FT' = ^tT'.

En effet, le groupe arithméti(iue est commensurable avec le groupe G (]ui est son transformé ])ar T'~' .

Soit g le sous-groupe iuallérani de G par rapport à F; il sera commensurable avec le groupe principal de F.

D'autre part, le groupe principal de FT' sera le transformé de g par T'.

Le groupe transformé principal de F = $t sera le transformé ])ar T^' du groupe principal de F; le groupe transformé principal de FT' = <I»tT' sera le transformé par (tT')"' = T'~'t"' du groupe principal de FT', et, par conséquent, le transformé par T"' du groupe g.

Or g et le groupe principal de F sont commensura])les.

Donc les groupes transformés principaux de F = 'l'x et de FT'=: *1'-T' le sont égaleuKMit.

Doncles groupes fuchsiens principaux de F = 'I't et de FT'= 'I'tT' sont commensurables. c. o. v. n.