H.SS'-'= H

En eilél, les substitutions fuchsiennes s et .s' (pii correspondent respectivement à S et S' chang(Mil toutes deu.v le point y — r dans le point P. Donc la substitution ss'~' n'altérera pas le point \ — i.

(Jn en conclura que les valeurs des quatre ipiantités a, |b, -" o. (pu correspondent à.9.v' ', ou ce qui revient au même à SS'"'. sont

a = cosç, [3 = sinfp, 7 = — shio^, o^cosi,

9 étant un angle quelconque; d'où Ton déduira sans peine que lasubsli

liilion SS'~' s'écrit

H. POINCARE.

cos-ç sin'-cp sin-cp

-S1I1'C& siii-o

cos^Ç) siii'-'^

'.siii-cs c"Os-o

el, par conséquciil, (ju'cUe n'alLiTc pas H. c. q. f. i>.

A chaque point du demi-plan correspond donc une seule forme H . S, par conséquent une seule forme (l'S. Connaissant la forme définie HSt, on connaîtra la suhsliLulion réductrice T qui fait partie du groupe ( i et réduit HSt par rapport à G.

A chaque point du demi-plan correspondra de la sorte une substitution réductrice et une seule. Nous pourrons donc subdiviser ce demiplan en une infinité de régions, telles que, pour tous les points d'une même région, la substitution réductrice soit la même.

Ce mode de représentation géométrique est analogue, mais non identique à celui qu'a employé M. Selling.

Nous avons vu c{ue, dans certains cas, bien qu'il y ait une infinité de substitutions réductrices, il n'y avait qu'un nombre fini de réduites. ( hrarrive-l-il alors? Soient /,, /o, . . .,/„ nos n réduites. Nous avons subdivisé le plan en une infinité déréglons qui correspondent aux difféleules substitutions réductrices. Soient 7',o, 7-,,, /■,„, ..., 7",, une infinité de ces régions correspondant à la réduite/',, elles seront les transformées les unes des autres par les diverses substitutions du groupe fuchsicn relatif à F et à G. Soient de même i\o, f'.y,, . . . , /-o,- les régions (]ui correspondent à la réduite /., .... Soient enfin /'«o, r,,,, ... les régions qui correspondent à la réduite /',,.

Nous pourrons toujours sujtposer qu'on a choisi les indices de telle sorte (jue 7'2,, ..., 7'„, soient les transformées de 7'oo, .-•, 7'„„ par la même stibslitiilion qui change ?■,„ en /■,,.

Cela posé, réunissons /'(o, z^, , /•„„ l'u une région unique 11,, et

(le même 7-,,, To,, ..., /•„, en une région uni(|ue R,-. Les diverses régions P», seront les transformées les unes des autres par les diverses substitutions du groujx^ fuchsien relatif à F et à G.

Il serait aisé de ramener ces régions R^, . . ., R,, . . . à des polygones

LES 1-ONCTIONS H Clisr KN.MCS K T I,"aIUTII M KTlMl K . ',19

<Ni\ilioi,rs. connu,- jr l'ai ,.x|,|i,,„,'. ,h„is !,•.;< ^ ,|,. „..„, \lr„,„i,v >,n les Ki"oupesfuchsiens(/l67a math., t. I).

Avant de terminer ce para-raphe, je dois faire une dernière re- 'i'-«r,|iie. Nous avons regardé comme donnée la snhsiitution t qni clian-e '''<■" !■. Il M<' snlïil |.as, pour cela, do se donner F. Kn rlln. .rli,. fonn.. I"'"l 'l'wnrrdr 'I'.|-nn,'inliniléd,' manières: ,m a n..„.,.u|,.M,rMl

mais cneoic

> ''laMl un.' sul.sliluli.Mi quclconcpie du ^n,„p,. ,vproduclif .1- '[•

Il est cla.,-, s, Ton se reporte aux définilions ,p,i préeédeul. our le groupe fnchsieu relatif à F et à G ne sera pas le n.ème selon cprôn regardera V comnir dérivée de '!• par la suhslilulinn t m, ,,ar la s,d,sliintiou St.

<.)uan,l cela sera nécessaire, afin d'éviter (oui.- ronlusnm, nous distinguerons ces deux cas .mi disant, dans le premier, le groupe fuehsien relald a (r ,.t à F = .I.t; dans le second, le group. lu.hsien relatif à (. ..,

Le gmnpe fuel.sien relatif à G et à F= -I-St sera I- translbrmé d„

gn.up. Auhs.eu relatif à G et F = *- par la substitution .-, . étant

a sul.stUulion luehsienne qui correspond à S, eu vertu d.-s conventions

laites Ln particulier, le groupe fuel.sien juincii-al .l.- F = «I>S- sera le

transforme du groupe fuehsien principal dr V = <!•- pa

lar .V

'•l- — Lkmmks i)i\i:hs.

Lkmme I. - Si g csliu, sous-groupe d'indice fini d,- r,. h- <Tuupc luehswn relatif à g et à F sera un sous-^roupe d'indice' fini du groupe fuchaieu relatif à G et à V.

Cesl une conséquence .l.s Innm.s déumnlrés a la In, ,|„ :< | ,■( des (lelmitions du § II.

I-.:mmk II. - .S'.- G et G' sont deux groupes cowmeusuraldes. les

■fourn. de Mail,. (\' sériel Ion,,- [II. Risp. I\. ,88-. 5î

/|2n II. I'OINC\RÉ.

f^roupcs fiiclisiclis de¥ relatifs rcspeclu^einenf à G et à G' sont aussi corninensiirables.

Ce lemme rsl une conséquence immédiate du précédent et des di'finitions.

Lemme III. — Soit F ^ 'Pt; soient ensuite T' une substitution de G et F' = $tT' une forme équivalente à ¥ pai- rapport au i^roupe G. FjCS deux formes F et F' auront même groupe fuchsien relatif à G.

En effet, le sous-groupe inaltérant g' de G par rapport à F' sera le transformé par la substitution T' du sous-groupe inaltérant if de G par rapport à F.

Si, en effet, U est une substitution du second sous-groupe^-, de telle sorte que

F = FU, on aura

F'= FT'= FIJT'= F'T-'UT',

de telle façon que T'~'UT' appartiendra au premier sous-groupe g' .

Le groupe inaltérant transformé de F sera le transformé de g par T"', ce sera donc

De même, le groupe inaltérant transformé de F' =^ <1>-:T' sera

Mais nous venons de voir que

Il vient donc

de sorte que les deux groupes inaltérants transformés se confondent. Les deux groupes fuclisiens se confondront donc également.

I.KS FONCTIONS IT CIISIENMCS KT I. \ 11 ITII M KTK^H E . 'j^l

Si T'est une subslilulioii à (•o<'fricients entiers, les deux foruies équivalentes F = 'l'-rel F' = 'l'-:T' auront même j^ioupe fuclisien prinei[)al.

Lkmme l\. — Si G et G' sont deux groupes commcnsurables, et S une substitution de G', une des puissances entières de S (d'exposant différent de o) fera partie de G.

Soit, eu effet, g le groupe commun fie (i et G ; soit n l'indice du sous-gronpc g par rapport à G' \ cet indice est fini par hypothèse. Si alors on prend au hasard n h- i subsl il niions dans G' (parmi les-

(pii'Ui's DU pi'ul toujours su|)poser i|ui' l'on ci)iiiprcii(l la -uli-lilulion iili'nli(|iii' I I. on pour]-a lonjoius trouver parmi elli's di'ux suljstilutious S/ cl S^, telles que