I.KS lONCTlONS FLCHSIKNNES KT L MUTIl M KTIy LK . ^2't

()ii voit aussi imiiiédialeinciil fine des siilislitulions semblables fractionnaires de F on pourra déduire les subslitiilions semblables fraclionuaires dune f<irme V = VT' oomnieiisuralil"' avec F. Fui cH'i'l, les dernières seront les transformées des premières par la transformation T.

Soit donc à trouver les substitutions seudjjables fractionnaires de la form<'

F = Ax- -4- \'y- - \ z- -h '2\Uz + '^n.rz -h 2 \V ry. On a

A(AA' - B"- )F = ( AA'- n"-)(Ax + B'y ■+- M'zf

+ [( AA- B-^'Xv + ( AB - \V'B')zY- - A A 3=.

A désignant le discriminant de l", de telji- sorlecpie la rornu.' F esl, ,1 un facteur constant près, commensiiraijle avec

F' = ( AA' - B"-)x-= + 7- + AAr-.

JNous sommes donc ramenés à ('ludier les sulislitiilions semblables fractionnaires des formes telles que

Ax-- -+- Br-H- Cz'-,

ou plutôt, puisque nous avons alTairc à une forme indéfinie, et si nous voulons mettre les signes en évidence

Ax--hBy-- Cz-.

Nous allons dabord nous poser le problème suivant :

Quelles sont les subslilulions fractionnaires qui n'altèrent ni z ni Aa:--+- B^-?

Il faut alors trouver quatre nombres fractionnaires a, 3, y- ^^ tels que

A(y.x -h }y)- + B( yj; -h ùy)- = Ax- + By^.

Nous mettrons les quatre uomi)res a, |ï, y, 0 sous la forme a=^, ^=:4i, y=Il, 0 = ^;

■'\2(') II. POINCVRK.

''■I! 1^1? Yn 0,, £ otanl eiiliers ou fraclionnairos, nous pourrons toujours supposer que a,, y, cl t sont entiers : on aura alors

Aa,;i, -h By.o, = o, A?;+ lîo; =I5^^

Supposons que Ion ail trouvé trois entiers a,, y, et £ satisfaisant à il suffira de prendre

Aa; + BY; = A£^

ft — ^'' ?. — -,

pi — :^" ' ' — '

pour satisfaire aux trois autres équations. 11 reste donc à résoudre l'équation

By;= A{> - a,)u + a,).

Nous multiplierons donc B par un carré quelconque y^, mais de telle façon cjuc By'^ soit divisible par A, et de plus soit impair ou divisible par 4 (ainsi, si B est un multiple de /( -4- 2, y, devra être pair; si A^ A,A^, A, n'étant divisible par aucun carré, y, devra être divisible

par A, Ao).

II sera facile ensuite de décomposer—^ en deux facteurs tous deux

|jairs ou tous deux impairs, £ — a, cl î-f-a,, et d'en diMluirc. |)our £ et a,, deux valeurs entières.

Tel est donc le moyen de former les substitutions semblables fractionnaires de la forme binaire

\x^+ Br-'.

P(iur les étudier plus C()m[)lrlemcnt, nous supposerons A = 1 . ( icltc liypotlièse est toujours permise; car, si Ton avait A <^ i , on multipbcrail la forme par A, et on cbangerait ensuite de variai)le en posant A.r = ./;'.

LES FONCTIONS FICHSIENNES ET I, ARITHMÉTIQL E.

(lonsidcroiis iiolic siiljslilulioii iVaclionnaire

«'l la subslilulidii l'iichsioniie correspondanlc. Cette dernière sera évi- (lenuuciil une suljstilulion elliptique qni n'altérera [)as un ecitain poiiil du plan. Ce |)(iinl, que j'appelle P, se dc-lciiiiinc aisrMiciil, li l'on h'oiive qu'il est le uiÔMie pour toutes les substitutions t'racliounaires de nolri! l'onne

Pour définir une substitution fuclisienne ellipti(pi(.', il faut si'dimui'r non seulement le point P (pii n'est pas altéré pai' eelli' subsliiiil ion, mais encore l'antile de rotation o.

Ici nous avons

cosc

il'oii Ton déduit Nous aurons alors

(a,+Y,v/-B)(af-y,V- U)=£'.

Nous devons supposer cpie a,, y, et £ sont premiers entre cu\, et par conséquent c[ue a, et y, sont premiers entre eux. Les deux nombres cinnplexes

^-f + TiV-I5 et a,-Y,v'-B

seront alors aussi premiers entre eux, et l'on aura £ = MN, y., + j,s,r^^^M', y.

INI et N étant deux nombres complexes existants ou idéaux, conjugués entre eux et de plus premiers entre eux.

Joiirii. (le Matli. ( i' série), tome IH. — Fasc. IV, 1S87. JO

428 II. POI>CARÉ.

Cela posé, cherchons crabord si '^ peut être commensurable avec ir.. Si cela était, on trouverait un noniljre entier di, tel que

ou que

M et N étant premiers entre eux, cette égalité est impossible. Il n'y aurait exception que si £ était égal à t et que a, -1- y, y/— B fût une unité complexe.

Mais il faut faire attention au sens que Ton doit attacher à ce mot. Pour cpie la théorie des nombres complexes idéaux soit applicable, il faut prendre pour base du système ^— B, si + B (que d'ailleurs nous supposerons n'être divisible par aucun carré) est nudliple de 4 plus 2 on plus I ; il faut prendre, au contraire,

si B est multiple de 4 phis 3. Dans ce dernier cas.

est considéré comme mi entier complexe si a -f- ^ est pair (voir Depekind, Théorie des nombres entiers algébriques, p. 91. Paris, Gauthier- Villars; 1877).

Alors on a, comme unités complexes,

irtv'-ô

On doit donc conclure de cette discussion que l'angle ç ne peut être

commensurable avec 2- que s'il est égal à -, à ± -, à ± -^ ou à ± -^•

On voit, de plus, que les substitutions fractionnaires qui reproduisent à la fois l(^s deux formes

c et X- -+- \iy-

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'aRITHMÉTIQUE. |2()

correspondent aux divers entiers complexes formés avec \/^^, et que linir théorie dépend intimement de celle de ces nombres complexes et dos idéaux correspondants.

\oilà donc une preniirre catégorie do suhslitulioiis IVaclionuaires n'altérant pas la forme

Une autre catégorie se composera des suhslitiitiuns ([ui n'altèrent nij-, ni.x= — C;- (sans parler d'une autre catégorie qui sera formée de même des substitutions qui n'allèrent ni x, ni Bj- - C;=). Ces subslilulions correspondront aux nombres complexes formés avec \/C comme celles de la première catégorie correspondaient aux uonilurs complexes formés avec y'- B. Mais l'analogie de ces trois catégories de substitutions fractionnaires est trop évidente pour qu'il soit nécessaire d'insister.

Je dis maintenant que toute substitution fractionnaire peut toujours être ramenée à celles que nous venons d'étudier.

Soit, en effet,

une substitution fractionnaire quelconque qui n'altère pas une certaine forme quadratique F à coefficients entiers ou commensurables. Je supposerai, de plus, que cette substitution est droite au sens donné à ce mot dans le premier paragraphe de ce Mémoire. On pourra trouver alors une forme linéaire

à coefficients entiers, qui ne sera pas altérée par la substitution. On pourra ensuite trouver encore deux formes linéaires

43o H. POINCARÉ.

à coefficients entiers, et telles que Ton puisse écrire

-+- AjCa^a- + p^y + Y:, -)',

A,, A. et A3 étant des quantités commensurables positives ou négatives.

Faisons maintenant un changement linéaire de variables en faisant

x'=a.,x-h l^i, y-t-Y,-, y' = oioX -f- po/ -I- Ya-' z'= y.^x-{- ^3)- + Y3-»

il viendra

de telle sorl(^ que, si Ton appelle T la substitution linéaire

a. p. Yi

on aura

La substitution

FT-' = A, ^- + A. >'- + A3 :;= TST-'

sera fractionnaire et n'altérera pas FT~' . Mais il y a plus, elle n'altérera pas ;, ni par conséquent

Nous sommes donc ramenés au cas précédent.

Il conviendrait peut-être, pour compléter cette théorie, de dire quelques mots des substitutions fractionnaires gauches qui n'altèrent pas une forme quadraticpic. Mais je ne crois pas devoir m'y arrêter pour le moment. Je me bornerai à observer que, si S est une substi-

LES FONCTIONS FICHSIENNES ET I.AIUTII M KTinl E . 1^1

liiliori tVactionnaire ^auclic iralk-ianl |)as K, S- s.-ra une subsUtiUi(jii Iraclioiiiiaiiv dioilc iralh-raiil pas iioii plus I-'.