V. — Calcul d

Soit

ES MULTIPLICATEURS.

une substitution linéaire de détermina

m I, et

T-'ST

sa transformée par une substitution linéaire quelconque ï. On aura

rt, -f- b.;^ -+- c^ = a\ + b[^ -)- C3.

Kn d'autres termes, la somme a, + b.,^c, sera un invariant. On pourra choisir la substitution T, de telle façon que T ' ST soit de la forme canonique

Alors A,, A, el \ seront les multiplicateurs de la substitution A; ces multiplicateurs seront les racines de l'équation en A,

et 1 on aura

A, H- Xj -I- A3 =z a^-\- b..

'jSa II. Poi>-c\RÉ.

Si, on parllculier, S n'altère pas une forme quadratique et est une substitution droite, Tun des multiplicateurs est égal à i, et le produit des deux autres est aussi égal à i .

Snil alors

la substitution fuchsienne correspondant à S; a + osera, pour cette sulistitution, un invariant comme a, -h l>.,-h c^ Tétait pour S, et l'on aura d'ailleurs

Il résulte de là que la connaissance de a -f- o suffit pour déterminer les trois multiplicateurs, qui devront satisfaire à l'équation du troisième degré

Si S est une substitution à coefficients entiers, la somme «, -i- h., + c^ devra être un entier, et par consécjuent a -)- 2 devra être la racine carrée d'un entier.

La somme a + o s'appellera Vinvariant de la subslitutioii S et s'écrira, pour abréger, [S].

Nous allons traiter maintenant le problème suivant :

On se donne [A], [B] et l' inva7^iant[^ AB] de la combinaison AB des deux substitutions A ctB. On demande de calcule?' l'invariant d'une combinaison quelconque de ces deux substitutions

A"'B", A"'B''A/', A"'B"A''B'/, ..., m, II, p, q étant des entiei's quelconques positif s ou négatifs.

Tout d'abord, il est évident que deux substitutions inverses l'une de l'autre auront même invariant; on aura

De plus, une substitution aura même invariant cpie sa transformée

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'aRITHMÉTIQUE. /(33

par une subslilutioii quelconque; ainsi,

1A1 = |B-'A1J|, I A'^r'A/'C I = [mA"'H"A/'], et, en particulier,

[BA| = | ABJ = |A-'B-'] = |lî 'A '|. Je vais niainteuanl clun'cher une relation entn^

|A|. |BJ, lAB] et |AB^|.

Nous pouvons toujours, par une transformation convenahli', nicllre la substitution fuchsienne qui correspond à B sous la IVume

Soit ensuite la subslitution fuchsienne correspondant à A. Alors

et

seront les substitutions fuchsiennes correspondant respectivement à AB et à AB-, de sorl<' qu'on aura

(x + ij^LBJ, a + o = [A], a A + I = [ AB J , a A^ + 1 = [ AB ^ I .

On eu tire aisément, par l'élimination de a, c et A, [AB|[B] = |A] + |\B-^].

434 II- POINCARli.

Si, dans la loniiule précédente, on change A en AB", il vienl