BADA

< )r. ce dernier invarianl esl couiui, [)uis(|ui' c'esl celui de ( IJA )' e| (|iie nous connaissons celui de BA.

Ce qui précède suffit pour faire comprendre commenl on caleidirail rinvariant d'une cond^inaison quelconf|ue des doux suhsiiliiliou-; A el B.

Iinai;iuons mainlenant que A el B sonl des subsliluli(>ii> à cnel'ljcieiiis entiers et de déterminant i. Il en sera de même de t(Mite> leurs eonduiiaisons. Alors, dans la forniuli'

fAB^K|A| = [AB]|BJ.

les deux termes ilu premier membre, ainsi (pie le li inie uiiitpie du second membre, tlevronl être la racine carrée d un eiilier. Mais il est aisé de voir que, si Ion a

{ les a élanl des entiers ), les trois expressions

de\ rout être des entiers.

Journ. de Mal/i. (/(' série), loiiic III. — l'asc. I\ , 1S87.

pD II. POINC\Ri:.

Il siiil de là qui' 1rs |irO(]iiils

|:A][ABM. I \||A1!][]J]. [AB=l[AB][Bj

soiil l'iiilors.

Il osl aisr dV'ii déduire (jue si [A] osl égal à un nouilire coniuionsiirablc mulliplio par y/a, et [B] égal à un nombre commensurablc niulliplié par y j^, [AB] devra être égal à un nombre commensurable mulliplié j)ar \7.^, el | AB- 1 à un nombre commensurable mulliplié par \ a ou. ce qui revienl au )nènie, à un nombre commensurable mulli[»lié par ya^'-

Plus généralement, on aura

[A"'B"A''B^] = a, v'a"'+^'fJ''-v = a., ^'y." '^' ,

UL, el iXo étant commensurables, el h et A' étant égaux soit à o, soit à i , sui\ant la parité des deux nombres m -h p et ii -h q, et de telle sorte que

h ^ï ?n -+- p, /i H^ « + q ( mod 2 ).

( jela peut s'énoncer encore dune autre manière.

(Considérons le groupe dérivé des deux substitutions linéaires A et B. Pour que toutes les substitutions de ce groupe aient leurs iuvarianls égaux à la racine carrée d'un entier, il faut et il suffit que

|A1^ [B1= el [A][B][AB1

soient des entiers.

\ous allons maintenant envisager un groupe dérivé de trois substitutions linéaires A, B et C. Je dis que Ion peut, à laide de la relation de récurrence démontrée plus liant, calculer les invariants de toutes les subslilulious de ce groupe, à l'aide de sept invariants

|A|. |B|. |(:|. |AI!|. |BC], [CA], [ABCj.

INiur il' (li'iuonlriM', je rappelle d'abord rpie cette relation de récurrence permet (M, N, P étant des substitutions quelconiiues ) de calculer

LES lONCTIONS FrCIISIKNNES ET l'AIilTIlMETrul E. /|J8

( [) cil lier [losilil'ou iK'^alif ). (juiiiid oii coi ma il

|M|. |\| cl |M\|.

on |)liis i:(''ii(''i'alciiiciil (le calculer

i|iiaii(l un connaît

|Ml'|. |\| ,.1 |MM>|.

i:ilc pciiiicl ainsi, comiaissaiil |A|, ||{j cl |Ali|. i\v calculer Irs iiixaiianls de loulos les conihiiiaisons de A cl de 15, ou, à j'ai,],, de nos sc|ii iiixanaiils. de calculer ceux de toiilcs les comhinaisons A, B el C, où I mie do ces trois su])stilutions n'entre pas.

.le dis ([n'on pourra trouver de inèiiic

fA^B'-C].

l-.ii ellcl, le calcul de c,'| imariaiil se rainéiie à celui de | A"'I5"|. cpii est Connu et à celui de |A"'B"(:|. Ce dernier se raiiièue à | \"'(:|, ,p,i

est connu, el à | A"'B(:|. Ce dernier, à so ur. se laiiic,,,. ;, | 1](';) ,.|

à f ABC], qui sont tous deux supposes connus.

(considérons niainlenaiit une combinaison i|iielcon<|iie

fA"'B"(>B?A'(?B'C"|.

On ramènera, par le même jn'océdé, le calcul (]<• eel iii\ariaiil à celui de

(ABCBACBCJ,

où les iciires sont restées les mêmes ot dans le même ordiv. mais où tous les exposants sont réduits à l'unité.

Je dis maintenant qu'on peut ramener le calcul de cet iinariant à celui de

[ABC(AB)CBC],

où deux des lettres soûl [lermutées.

'[jiS II. POINCARK.

lui cllrl, nolro fonmilr do r(''rurr('nco porini'l de Dvlnirc lo ralriil de

fABC(BA)CliC]

à celui (le

lAr.C.CBCI

(on Ir ii(iiii!)i'(' (l(^s Icltrcs est iiioiudrc, cl «|iic, par c<)iisc(jiiciil . on |>cnl sii]i|)()sci' pii'alahlcmciil calciili' ) cl à celui de

|Aiî(;( liAr'CiJC] = I Ar.(:A-'H-'(j|](:|:

en ri'duisaiil les cxposaiils à 1 iinih', C(^ diM'iiier devieiil

[ABCAHCBCI.

Il csl clair ([ii en appli(pianl d uni' l'açon convenable le doiililc proeédi' (|iii piTiucI deperimilerdeux lellres quelconques et de i'(''diiire les exposaiils à runilé, ou arrivera à réduire de plus en plus le nonihre des lellres de lelle façon ([u"on sera ramené ruialeiiii'nl à riiivarianl eoiiuii |ABC|.

( )ii coniKulra donc ainsi riiivarianl (rime sniisliliilion (pn'lcoïKpn' du !;roupe.

<)ii peul eu conclure ce ipii suil :

J'oiir que loules les suhslitulions du j^i'oupe aieni pour iinarianl la racine carrée dun eulim' (ce (jiii arrive nécessairemeul (piaud les snlislilulions A, I), (<oul leurs coeflicienls (^ii(i(^rsK il l'aiil cl il siillil (pie

|\1^ |i!]s l(;|^ |Ai|nj|AH|, |itj|(:i|i!<;i. |<:J|A||(:a|

|\|liî||(:||AH(;|

soient des entiers.

Mais nos sept invariants eux-mêmes ne sont pas iiKh'pendanls les uns des aulres. Il y a entre eux une relation algébrique.

Cette relation se [)réseiitc sons une forme plus syini''lri(pie, (piand on eousidi''re, au lieu de nos sept invariants, les sepl invarianls suivanls(ce

LES FONCTIONS FL CIISIENNES F;ï I.'mU TII M Kilo l K . /| 3{)

qui ic\lciil il'iiilli'ui's iiii iiirinc)

|I!A|=Y, |CA|=Y. I<: 'l!-'A|=r.

.1 :ii ivjin^siMiic', piiiir al)|-.\:;xM-, les sopl invariaiils n-.w Ir^ lc||iv< y. 3, -.

La rclalioii s"<M'ril aloi's

= a3Y + a^'Y'-^ a|3"Y"-f- ?Y'Y"-+- ?'yy-+ ^--'V

- ='-.3?'Y" - y.rrr~ '4'T': + y^y^"r - ?? 3'-.

( )|i aiii\ci'i un ii'sullal analo^iii' dans le cas d'un tiii)U|)c di'iivi' de (|ualiv sulislilnlions ou d'un plus i;raiul iionduc,

Soil un aiuiipe driiK-r <lc ii .siibsliliUions

An A, A„.

Pour ijiir loiilcs 1rs siibslltiilioii.s du ^i-oiipr (uriil puiir iindiuinl 1(1 vaiiiir carrée d'un mlirr, il fa ni rt il snf/il t/nc

ainsi 'jnr loiilcs les ronihinaisuns

lAvA^V^..A-l|A.|=.|A,|^...|A„|^.

(on les rxposanls i son/ (■•;an.r soil à o, soil à i ). soit-nl drs i-nlii-rs.