VI. - Rkd

ÎDICTION UKS SUBSTITl TIO.NS.

^ OKI la (|ucslion (jii,' j,- lu,^ propose do Irailcr dans n- para-i-apiir. Soil S nue sulislitulioM à coonicieiits onliors l'I Ao (h'-lcnuinaul i : -"il I uuc aulrc sulisliliilion à (■oi'l'nci(^ul< l'nlicis cl de d/'lcruiinaiil i :

ViO

l(' (lll'ill (llll'

n. POI>CARE.

-iilisliluliou S et sa transfonncc

T-'ST

soni lioiiioloi;ufs et apparlionnent à la même classe.

( lela posé, parmi toiiles les subslltulions (rune même classe, il y en a iiiie (pii est jilus simple que toiiles les autres, el (pie j'appellerai suhstilulion réduite.

( )ii peut se iiroposer, élaut ilounée uue substitution S, de trouver la suhslilution réduite qui appartient à la même classe, ou, en d autres termes, de réduire la su])stilulion S.

< )ii voit d'abord tout de suite <pie deu\ substitutions liomologues ont mêmes multiplicateurs. Je supposerai, comme je l'ai fait jusqu'ici, ([u'un des mulliplicalcurs est égal à r, ainsi que le produit des deux autres.

Il ii'sulle de là qu'il existera une forme linéaire

à coefficients entiers et premiers entre eux, qui sera inaltérée par la substitution.

( )n peut alors former une substitution linéaire

à coefficients entiers et d(^ déterminant 1.

La substitution T"'ST, transformée de S par T, sera alors de 1; forme

j C, C, tj

ce (pii constitue une première réduction.

Supposons d'abord que 6, et c, soient nuls, et ijne la substitution S

LES FONCTIONS FICIISIENNES F, T 1. vniTM M KTl. il K

il'

S ocrivi'

iivi'c la coiulilioii

(t(l — hr = I .

Si I (III liaii'^roi'iMi' alors S par une siibsdliilioii 'T di- la tni'iiic

h coofficicnis rnliors ol de clélcnainaiit i, la siihsiiliilidii S (•(iii<riv('ra la même forme après celle transformai ion. lùivisajicons la forme quadralique liinain-

■\i = c\- -\- ( d — a)cr^ — b r, - .

(jui ii'esl pas alli'i i''!' jiar la suhslllnlion liin'aire

Que deviendra celle forme lorsijue Ion rem[)laci'ra S pai- sa lian>formée

T 'ST

Tout se passera comme si l'on avail applicpn' à ci-llc formr la snlislitulion

D'où celle conclusion :

Pour que d<Mi\ snlislitutions

o (I II

I o c fi

'■'■" II. l'OlNCAIiK.

apparliciinenl à la iiicnie classe, il faut cl il siiflil ([ur les deux i'ormcs

r^'- -\- (d — a)cr^ — Irréel

c'i--i-(d' — «')^"0 "~ ^' V soiciil éc|iiivalenles.

Nous sommes donc conduits à dire par définition (pic la suhslilulioii S est réduite cjuand la forme 'j/ l'est elle-même. La somme des multiplicateurs de S est

a -h // -h f, et son invai'ianl

\la -h (l -h 2.

T>a substitution est clliptic|ue si ( a -t- f/)- < 4, d'où (a -h d) = o, (a + d) = ± i ,

parabolique si

( a -h d)- = 4) ' 'l"où a -\- d =± 2,

hyperbolique si

La forme 2']^ a pour discriminant

( d - a)- -t- 'i hc r= (a + d )- — 4 .

11 résulte de laque le discriminant de '| est fonction d<" linvarianl de S, et par consécjuent que les substilulioiis S d'iiivcii'iaiil donné se répai-tisscnt en un nombre ftni de classes.

\y,i siil)stilulion S sera elliptique si ]; est délinie. Les condilions de r(''diicti()n ])ourronl alors s'écrire

lr/-r/|< |/>i <|c|;

h et <■ seront dailleurs toujours d(^ sii^nc conliaiie.