II. — La fonction

Nous emploierons les notations suivantes :

Soient Z et Z' deux variables complexes liées par une relation algébrique

correspondant à la relation (2) du paragraphe précédent. Soit

Considérons ensuite les quantités

Z„ = X-/Y. Z;, = \ -/Y' imaginaires conjuguées de z et Z'. Elles seront évidemment liées par

140 H. POINCARK.

une rolalion

{■?.bis) /„(Zo,Z;,) = o

où J\ esl un polynôme dont les coefficients sont imaginaires conjugut's de ceux de/'.

Supposons maintenant que Z et Z' soient des fonctions fuchsienncs

de la variable complexe

; = X -1- iy.

Alors Z„ et VJ^ seront des fonctions fuchsiennes de la variable conjuguée

Le cercle fondamental aura pour équation

j?° +/- = 1 ou bien

Cela posé, supposons que la variable Z décrive dans son plan un arc infiniment petit ^/S, et que la variable :: décrive dans le sien laïc inliment petit correspondant. Soit cis la longueur de cet arc décrit par- c. longueur évaluée au point de t>ue de la géométrie non euclidienne, c'est-à-dire ce que j^ù appelé la L de cet arc dans mes Mémoires du Tome I des Acta nialhentatica. On auia

t/S = sWZrfZ„; ds = ^-^^^^-

Soit

une substitution du groupe fuchsien. Quand la variable ; décrira lare

LKS FONCTIONS KLCIISIENNES ET i/k^VATION ll/=zt'". ] !^ 1

cousidon- doiil la i. csl (/.v. la variahlo C décrita un aie d<uil la L

sera encore r/.s; et la variable

qui sera encore êgalr à / dr-i rira un arc donl la longueur sera encore f/S. Le rapport

dS ds

Il est donc pas altéré par les suljslitulion.s du ,:;roupc t'uclisien ; c'est ilonc uue fonction uniforme de Z, Z', Z„, Z'„. Posons alors

,j"—'Jf: — l!l ^, , -. \--^

d'où

// = ~ loi;^ - log ^ - 2log( I - z:.,).

Si Ion observe que Z est fonction seuleuieni de ; et Z„ de ;„, on trouvera

6/Zr/Zo - rfZ f/Z, f/;«'..„ — - ,/Z dZ, * ' "~ -*^"'' '•

ou enlin

f/ZrfZ„

Si l'on passe des variables Z et Z„ aux varial)les \ el "\ , on trouve

. d-it d-u , d-it

■SU = -rrr -H -^^ = j

d\'- d\' 'r/Zf/Z„

on ])ieu

Pour que la fonction a cesse d"ètre finie il faul que fun des fa.i.'uis

dz rf£o ^

rfZ' dZ,' ' soit nul ou infini.

1^-2 II. POIXCARÉ.

Le facteur i — zz^ no peut jamais être infini; si la fonction fuchsienne est de la première famille, c'est-à-dire si le polygone Rg n'a pas de cycle de la troisième espèce, le facteur i — ;;„ ne peut pas non plus devenir nul, parce que le polygone Ro n'a aucun point sur la circonférence du cercle fondamental.

Si, au contraire, le polygone R^ a des cycles de sommets de la troisième espèce, le facteur i — zz„ ne peut devenir nul (pi'eu un sommet appartenant à l'un de ces cycles.

En dehors des sommets appartenant aux cycles de la troisième espèce, la fonction ii ne peut donc cesser d'être finie que si l'un des facteurs

ds ci:,) Sz' TiT,

est nul ou infini. Comme ces deux facteurs sont imaginaires conjugués, ils deviendront nuls et infinis en même temps.

La condition pour que u cesse d'être fini, c'est donc que

dZ dZ

-^ = o ou -^ = ce.

dz dz

On aura -7- = o dans deux cas :

dz

1° Aux sommets de R„ qui appartiennent à un cycle de deuxième ou de troisième espèce; nous y reviendrons. 2." Si Ton a à la fois

c'est-à-dire si la tangente à la courbe /(Z, Z) = o est parallèle à l'axe desZ'.

Si le point correspondant n'est pas un point double de la courbe y =r o, on aura

dZ' - '^'

mais on n aura pas

df

dL = "'

LES FONCTIONS FLCIISIENNES ET l'ÉQU.VTION lll = f" . I /|3

ni, par conséquent.

Si, alors, on pose

r/s =Nf/zv/z;

c"esl-à-clire si u' est la l'onction (pii joue, par ia[)porl à Z', le même rôle que // par rapport à Z, celle nouvelle fonction //' ne deviendra pas infinie au point correspondant.

Supposons maintenant que le point considéré soit un point double de /"^ o; on aura alors à la fois

<yz dZ'

(/:■ dz

Mais posons

R étant une fonction rationnelle de Z cl de Z'; nous pourrons choisir cette fonction R de telle façon que Z" prenne des valeurs diUerentes au point double sur les deux branches de courbe qui s'y croisent. Dans ces conditions, on n'aura pas

el, par conséquent, si u" est la fonction (jui joue par rapport à Z' le même rôle que // par rapport à Z', u" ne deviendra pas infinie au point correspondant.

On peut d'ailleurs toujours supposer que la courbe /'== o ne présente d'autre singularité que des points doubles ordinaires. Si, au contraire, le poinl r était un sommet de Rj, appartenant à un cycle de deuxième ou de troisième espèce, toutes les dérivées

JZ dV dT' -dl' -d^' 717

l/i4 H. POINCARÉ.

seraient nulles à la fois et toutes les fonction s