I. — Introduction
Considérons une équation (Hiïérentiello linéaire de la forme suivante
"" ?("^'>'^ ""^t ""if fonction rationnelle de deux variables x <^l y liées par une relation alijébrique
L'équation (i) admettra un certain nombre de points singuliers qui seront les infinis de la fonction rationnelle 9: pour chacun de ces points singuliers on pourra former Téquation déterminante.
Pour que .r puisse être une fonction fuchsienne du rapport des intégrales, il faut d'abord que la diirérence des racines de chaque équation déterminante soi I l'inverse d'un nombre entier. Mais cette condition n'est pas suffisante.
Nous dirons «[uc deux équations de la forme (\) appartiennent au même type :
I" Si la relation (2) est la même pour ces deux équations; 2° Si les infinis de la fonction o sont les niènies;
Journ. de Afath. (5* série), tome IV. — Fasc. II. 189S. I (S
l38 II. POINCARE.
3° Si, pour chacun de ces infinis, les équations déterminantes sont les mêmes.
La question suivante se pose alors.
Dans un type quelconque (pourvu que la dilTérence des racines de chaque éc|uation déterminante soit Tinverse d'un entier), y a-t-il toujours une équation fuchsienne, c'est-à-dire telle que x soit fonction fuchsienne du rapport des intégrales?
Cette question est d'une importance capitale dans la théorie des fonctions fuchsiennes; mais elle est extrêmement difficile; on voit assez aisément que, dans un type quelconque, il ne peut y avoir plus d'une équation fuchsienne; mais il est plus difficile d'établir (ju'il y en a toujours une.
La première démonstration qui ait été donnée est fondée sur ce qu'on appelle la iniHUode de continuité. Nous y avons été conduits, M. Klein et moi, d'une façon indépendante. Dans mon Mémoire sur les groupes des équations linéaires, inséré dans le Tome 111 des Acta mafheniolica, i'a'i insisté sur les ressemblances et les différences des résultats de ÎNI. Klein et des miens et j'ai donné en même temps un exposé complet de la méthode; je n'ai plus à y revenir. Je crois être arrivé à donner à cette méthode une forme parfaitement rigoureuse, mais elle n'en reste pas moins extrêmement compliquée et a un caractère indirect.
Peu de temps après, la Société royale des Sciences de Gôttingen attira l'attention des géomètres sur une autre manière d'aborder la question, en proposant comme sujet de concours l'intégration de l'équation
lu = c".
L'intégration de celte équation conduirait en effet directement à la solution du projjlème qui nous occupe.
La question posée par la Société de Gôttingen fut résolue par M. Picard dans un Mémoire inséré au Journal de Jordan (1890") et complété par une Note des Comptes rendus (Tome C^L^ 1).
La solution proposée par ^L Picard consiste à intégrer d'abord l'équation dans un contour assez petit et à étendre ensuite le résultat à un contour quelconque par la méthode alternée de M. Schwarz.
LES FONCTIONS FUCHSIE^•^ES KT LÉgiATION \ll = r" . 1 3()
On peut revenir sur la question et cherchera se passer de ce détour. C'est ce que je me propose de faire ici.
Je me bornerai dans ce Mémoire aux fonctions fuchsiennes des première, deuxième et sixième familles, c'est-à-dire à celles qui n'existent qu'à l'intérieur du cercle fondanienlal. Le polygone \\„ qui enf;endri' la l'duiiion fuclisienne est alors tout imiIIl'i- à l'intérieur di^ ce cercle; il a un certain nombre de sommets se répartissant eu un certain nombre de cycles.
Mais parmi ces cycles nous distinguerons :
1° Ceux de la première espèce où la somme des anj^les est égale à
2° Ceux de la seconde espèce où la somme des angles est égale à
— ) n étant un entier plus grand que i;
3° Ceux de la troisième espèce dont tous les angles sont nuls.
Nous ferons une étude particulière des fondions fuchsiennes de la première espèce^ où tous les cycles des sommets sont de la première espèce; nous étendrons ensuite nos résultats aux autres fonctions fuchsiennes.
