II, II' , II
ne peuvent devenir inpnies à la fois.
Dans le cas général, ces fonctions ne pourront devenir infinies à la fois qu'aux dilTérents sommets des divers cycles de deuxième et de troisième espèces.
l'-xa minons maintenant ce qui arrive eu un somme! d'un cycle de deuxième espèce.
Si la somme des andcs du cycle est — et .si a est un soivniiei de deuxième espèce et A la valeur correspondante de z, la fonction,
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l/ÉQU.VTION Am = C". 1 45
fuclisiennc
sora drvoloppable suivant les ])uissanccs de z — a, cl le développement commencera [lar un terme en (:; — a)". Le développement do
-j^ commencera donc par un terme en (z — a)"~' ; il vient donc
lon(Z - A) = n log {z - a)-h Q,
log^ = («- i)log(- -a)-h(y,
Q et (V restant finis pour r =: a, et, par conséquent,
i«s^?" = V^'os(Zo-A„)+():,
et enfin
()", Qg et q restant finis pour ^ = a. J'ajoute que q est développable suivant les puissances de Z — A, Z^ — A^, \/(Z — A)(Zo — A,,).
Passons aux sommets d'un cycle de troisième espèce; on aura alors dans le voisinase de ce cvcle
r^ = ']'(Z) + Mog(Z-A),
b étant une constante et ]/ une fonction développable suivant les puissances de Z — A. On tire de là
dz d'où
Ino
dz
log;7T = log(,Z - A) - 2 log (z-a)-h Q,
Q désignant une quantité qui reste finie pour z ^ a.
Journ. de Math. (5* série), tome IV. — Fasc. II, 1898. '9
l46 n. POINCAHK.
On aurait, de môme,
log-rr" = log-(Z„- A„)-2locr(;„-flo) + Q„,
Q„ restant lini pour z ^ a\ comme le sommet a est sur le cercle fondamental, on a aoo ^ i et, par conséquent,
,/ = — 2 lo"- Z — A + 2 log '— -^^^ -^ -I- r/,
5» restant fini pour z =-- a.
Observons maintenant que Ton a identiquement
z.z„— aa„ a (?„
(; — rt)(-o— «o) ; — fl - — «0
= ab\og{Z - A) 4- aj>, log(Z„ - A„)+ 7',
y' restant fini pour z ^ a.
Mais il est aisé de vérifier que le produit ab doit être réel, de sorte que
et
zz„— aa„
= 2ab lot;' I Z — A I + 7' = I02: 1 Z — A 1 c''° ,
y" restant fini pour z = a.
Nous trouvons donc enfin
;/ = — 2 log 1 Z — A I — 2 log log I Z — A I — -iq" + q.
Plus précisément, nous aurons
?/ = — 2 log I Z — A I — 2 log (log , Z — A I + ■]/) 4- 9,
'I et o étant holouiorplies en Z — A et Z„ — - A^.
Ainsi donc :
1° Dans le voisinage d'un sommet de la deuxième espèce, la dillV'rence
Il H lo"- z — A
LES FONCTIONS FUCIISIENNES ET l'ÉQUATION Ah = f". 1^7
reste finie, ou plus cxactcraenl, toutes les dilTérenccs
u H lofflZ — A . u -\ locf Z — A ,
„"+iiLp2log|Z"-A"|
ne peuvent pas devenir infinies à la fois.
2" Dans le voisinage d'un sommet de la troisième espèce, toutes les différences
u -\- 1 log I Z — A I + 2 log log I Z — A |, u' -\-i log I Z' — A' I -I- 2 log log I Z' — A' I , «"+ 2 log|Z"— A"| + 2 log log I Z" — A"|,
ne peuvent pas devenir infinies à la fois.
Il importe de se rendre compte de la raison de cette différence entre les sommets de la deuxième et de la troisième espèce.
Soit p- = X- -I-JK^) <^t- supposons, pour simplifier, que u soit fonction de c seulement; Téquation
peut alors s'écrire
^ ^ ap^ p do
Supposons que l'on veuille intégrer par approximations successives de la façon suivante ; nous prendrons
cP Un I du a
rfpî ^ p dp "'
dp- p dp '
d- 1!., I du^ n / „ -X.,, „ \
i48 H. roiNCAiiÉ.
Bornons-nous aux deux premières approximations; nous aurons, par exemple,
L'expression de «, devient illusoire pour p z= — 2, et l'on peut eu conclure que l'équalion ( '\) ne peut avoir d"intéc:rale de la forme
w = — 2 logp -1- c, (■ restant fini pour p := o; elle en a une, au contraire, de la l'oiine
Il := p loop 4- V si p n'est pas égal à — 2.
Kn revanche, réquation (4) admet [loui' intégrale
u =L — 1 logp — aloglogp — log4.
Je me contenterai de cet aperçu c|ui suffit jiour faire comprendre la dillérence entre le cas des sommets de la deuxième espèce qui correspond à. p dilTérent de — 2, et celui des sommets de la troisième espèce qui correspond à p ^^ — 2.
La variable z est le rapport des intégrales d'une certaine équalinn fuchsienne
(jui correspond à Técpiation (i) du paragraphe précédent. Si le « type » de cette équation est donné, on connaîtra : 1" La relation algéjjrique
2° Les valeurs A de Z cjui correspondent aux divers cycles de sommets, soit de la seconde, soit de la troisième espèce;
3" Le nombre entier 11 relatif à chacun des sommets de la secuuile espèce.
LES FONCTIONS FLCHSIENNES ET LEQl ATION A» = ''". l/)()
