III. — Surfaces de Klein
M. Klein a imaginé un mode de représentation des fonctions algébriques dont l'emploi peut nous cire utile.
Considérons une courbe jilgébrique définie par réqualion
(2) yxz,Z') = o.
On peut construire une surface fermée, et de telle façon qu'à tout point réel ou imaginaire de la courbe (2) corresponde un point réel de la surface et un seul. Cependant, ;'i un point double de la courbe ( 2.) correspondront deux points réels de la surface, appartenant respectivement aux deuy branches de courbe qui se coupent au point double.
Nous supposerons, d'ailleurs, que les coordonnées du point de la surface sont des fonctions continues des coordonnées du point correspondant de la courbe, et même que ces fonctions continues ont des dérivées de tous les ordres.
Les surfaces de Riemann ne sont que des cas particuliers des surfaces de Klein; une surface de Klein se réduit à une surface de Riemann quand elle est infiniment aplatie et réduite à un certain nombre de feuillets appliques sur un plan.
Mais nous devons faire une distinction et séparer les surfaces de Klein isotropes des surfaces de Klein anisolropes.
Lue surface de Klein sera dite isolropc si le mode de correspondance entre les points de la courbe et ceux de cette surface est telle que la représentation du plan des Z sur la surface de Klein soit une représentation conforme. Aux différents points du plan des Z correspondent différents points de la courbe (2) et, par conséquent, différents points de la surface de Klein; cette correspondance définit une transformation d'une région du plan des Z dans une région de la surface de Klein; pour que la surface de Klein soit isotrope, il faut que celte transformation conserve les ansles.
Nous pourrions ne nous servir que des surfaces isotropes; les travaux de MM. Scbwarz et Klein permettent, en effet, d'affirmer que
l5o II- POINCARli.
les difTércnls points d'une courbe algébrique quelconque peuvent toujours être représentés sur une surface de Klein isotrope.
Mais il est préférable de ne pas s'imposer celte restriction, ce qui ne compliquera pas beaucoup notre analyse; et, en eifel, on sera dispense de s'appuyer sur le théorème que je viens de citer et dont la démonstration est assez longue.
Au contraire, on peut pour ainsi dire regarder comme évident que, si l'on se donne une courbe (2) quelconque de genre p et une surface fermée quelconque ip + i fois connexe, on peut faire correspondre d'une façon univoque les points de la courbe à ceux de la surface.
Ainsi l'on pom-ra faire correspondre d'une façon univoque les points réels d'une sphère et les points imaginaires d'une courbe unicursale quelconque; ou bien les points réels d'un tore et les points imaginaires d'une courbe de genre i quelconque.
Précisons la nature de la correspondance.
Nous pouvons, sans restreindre la généralité, supposer que la courbe (2) n'a d'autre singularité que des points doubles ordinaires et qu'elle se comporte régulièrement à l'inlini, c'est-à-dire que ses directions asymptotiques sont toutes distinctes et non parallèles aux axes.
Cela posé, soit M un point de coordonnées courantes sur la surface, correspondant au point Z, Z' de la courbe ; soit P un point de la surface de Klein, correspondant au point
de la courbe.
Si la distance MP est très petite et si au point
on n'a pas
df
la distance MP est du même ordre de grandeur que | Z — A |.
Si, au contraire, on a
df
mais SI 1 on n a pas
LES FONCTIONS FlCllSIENNES ET l'hOIATION 11/ =^ c" . l5l
la distance MP ne sera pas du môme ordre de grandeur que | Z — A ; elle sera, en général, du inéuie ordre de grandeur que le carré de I Z — A I el en tout cas du uièuie ordre de grandeur (juc | Z' — A' |. Si l'on a à la fois
(ff ^
dL ~ du ~ '^'
c'est-à-dire si le point Z = A, TJ = h! est un point double de la courjje (2), la distance MP ne sera plus du même ordre de grandeur que I Z — A I ou que | Z' — A' | ; mais nous pouvons poser
Z"=ll(Z,Z'),
R étant une fonction rationnelle de Z et Z' dont le numérateur et le dénominateur s'annulent au point double.
Si A" est l'une des deux valeurs que prend Z" au point double el celle précisément qui correspond au point P, la distance MP est du même ordre de grandeur que | Z" — A" |.
Si enfin le point P correspond à un point à l'infini de la courbe (2),
la distance MP est du même ordre de grandeur que y •
Considérons maintenant une fonction u des coordonnées du point M ; le point M correspond à un point du plan des Z dont les coordonnées sont X et \ , parties réelle et imaginaire de Z. Alors u est aussi une fonction de X et \ .
Soient f/S un arc infiniment petit dans le plan des Z et dn l'arc correspondant sur la surface de Klein ; soient clQ. une aire infiniment petite dans le plan des Z et dbi l'aire correspondante sur la surface.
Par l'extrémité Z de l'arc (/S, je mène un arc infiniment petit ZZ, normal à d'èi et dont la longueur sera f/X.
Soit MM, l'arc infiniment petit de la surface de Klein correspondant à l'arc ZZ, et aboutissant, par conséquent, à l'extrémité M de l'arc di.
Supposons d'abord la surface de Klein isotrope ; alors, si j'appelle du la longueur de l'arc MM,, l'arc MM, sera normal k di et l'on aura
(1rs <ys du> / d-! y
lïTi ~ d\' ÏÏTî ~\ds) ■
102 n. POINCAIIE.
Soit II la valeur de la fonction u au point M, ou ce qui revient au
luènic point Z et
du , du ,^T
Il -\- -r un = Il -\- -— rflN dn c/N
sa valeur au point M, ou, ce qui revient au même, au point Z,. On aura
du , du ,r,
an ct^
Le théorème de Green, appliqué dans le plan des Z, nous donne
(3) fiiuia=.f'^ds,
ou en considérant deux fonctions u et c,
(4) /..«rfû =/4v's -f(^ s - :^ ^)''^-
Les intégrales sont étendues soit à tous les éléments dû. d'une certaine aire plane, soit à tous les éléments dS du contour qui limite cette aire. Les fonctions u et v sont supposées continues, ainsi que leurs dérivées du premier ordre.
Posons maintenant
Du = àii -ret
^du t/i' du dv \ dd
de telle sorte que
Les équations (3) et (4) deviennent alors
{•ibis) Jï)udtO=j''.^^d'J,
(4 bis) fr Du </,,, = f^'—d'y ^ fE(ii, v) d(o.
LES FONCTIONS FICIISIENNKS ET l'ÉQIATION \u = c". î.)3
Ces r([uali(>iis reprosenlciit le lliéoirnio de Cn-ooii rlciulii à la Miilace do Kloiii; mais la première est susceptiiilc d'une interprétalion pliysiqiie remarquable. Supposons que u représenlc la lcmp('raliire (l'uii
point de la surface; alors -^ représentera la déi'ivée de celle tempéralure esliméc suivant la normale à l'arc (h.
Si la surface est supposée couduelricc et cpi'eile soil liomop^ène et isotrope au point de vue de la conductibilité caloriTupie, le produit
du ,
ail
représentera le flux de chaleur qui traverse rélémcnt dn pendant l'unité de temps, pourvu que l'on choisisse convenablement les unités.
L'intégrale
du , du
représente alors la quantité do chaleur (jui entre dans Taiio f d(x, à travers son contour.
L'expression D«^/co représente donc la ([uantité do chaleur cédée à l'élément de surface cko par les éléments voisins de la surface.
Supposons maintenant la surface de Klein anisotrope.
D'abord l'arc MM, ne sera plus normal à l'arc th.
Si l'on considère sur le plan des Z un cercle infiniment petit avant pour centre le point Z, la figure correspondante sur la surface de Klein sera une ellipse infiniment petite, ayant pour centre le point M. Alors les tangentes à l'arc MM, et à Tare r/o- seront deux diamètres conjugués de cette ellipse.
Nous n'aurons plus alors
mais nous pourrons poser
MM, f/î
an -
et nous aurons
MM
dS a' du
Journ. de Matlt. (5' série), tome IV. — Fasc. H. 189S. 20
t5/i h. poincaré.
a! et h' étant les longueurs des diamètres conjugués de noire ellipse qui sont dirigés respectivement suivant les tangentes à MM, et à f/cr. Ayant ainsi modifié la définition de du^ nous aurons
du , fht .^
Nous conserverons les définitions de Dz/ et de l">(z/, f ) et nous retomberons sur les équations (3 his^ et (4 his^.
L'interprétation physique subsiste; si, en eflet, la surface est supposée conductrice, mais que la conductibilité ne soit pas isotrope, le llux de chaleur (|ui traverse Télémenl di sera encore représenté par le
produit
du ,
la définition de du ayant été modifiée connue nous venons de le liire. L'équation (3 bis^ entraîne comme conséquence
j'Da d(.o = o,
(piand l'intégrale est étendue à la surface de Klein tout entière et, en effet, cette surface est fermée.
L'interprétation physicjue de cette équation est évidente : la conductibilité de la surface amène des échanges de chaleur entre ses diverses parties, mais ne peut altérer la quantité totale de chaleur que po.«sède la surface entière.
