XII. Formation des équations fuchsiennes

Soi!

notre équation fuchsienne, où ç est une fonction rationnelle des deux variables Z et Z' liées par la relation algébricjue

Les deux, intégrales fondamentales de cette équation seront

et Z sera une fonction fuchsienne de z.

Si l'on désigne par c" et c" les imaginaires conjuguées de c, et i-.,

on aniM

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION Aw = ('" . I^q

D'iuitro part, nous avons posé

(1 ou

ou l)icn

L'cxponentiL-lle c ' est une fonction de Z el Z„ et nous avons, dans ce Mémoire, appris à former celte fonction pour les couples de valeurs Z etZo qui sont imaginaires conjuguées.

Cela posé, il vient

d^e^ d^ n du-, „ dZ' iCl? > dZ'- ^ '

ou, à cause de Técjuation (i),

ou enfin,

l^ lfdu\-

' 2 dz- "•" 4Uzy ~ ^'

La fonction u est connue pour tous les couples de valeurs conjuguées de Z etZo, c'est-à-dire pour toutes les valeure réelles de X et de Y (en posant Z = X + i Y).

On connaît donc aussi pour toutes les valeurs réelles de X et de V les dérivées ~ et ~. et, par conséquent,

du I /du du \ dZ — 2\dyi ^ idYj'

d'-u i/d^n 2d'-u dL^ 2\d\} ' /rfV^Y "

d'il d\^

Xous connaissons donc 9 et, par conséquent, lequation fuchsieime est

2'3l) H. PO[NC\nÉ. — LES FONCTIONS FL CIISIENMÎ.S, ETC.

foruR'L'. Il esl aisi' de vériiier ([lie o esl l'onction de Z sculcnicnl; en eiïel.

f/o I d'^ Il 1 d(i d- Il

I )onc

dZ„

2 <yz2 (/z,, 2 c/z <^/z c/z,,

d'il dZdZ„ ~

,, d^ Il du f/Z- f/Z„ ■' dZ

dZ, = ^'-

On \érifierait facilement les autres propriétés de la fonction o.

C>es considérations peuvent nous permettre d'entrevoir une autre démonstration de l'existence de Fécpiation l'uchsiennc.

Supposons que nous considérions les écjuations d'un même type fuehsien; la fonction ç» ijni y figurera ne sera pas entièrement arbitraire; elle dépendra seulement d'un nombre fini N de paramètres.

Les intégrales r, et k\, dépendront de ces N paramètres et, en plus, de (piatre constantes d'intégration.

Si Ton forme de cette manière l'expression

ce sera une fonction de X et de \ (pii dépendra de N -i- l\ paramètres. Seulement la fonction ainsi définie pourrait n'être pas uniforme sur la surface de Klein; on la rendrait uniforme par des coupures.

On formerait ensuite l'intégrale du § IX et l'on répéterait le raisonnement de ce paragraphe fondé sur le calcul des variations. Mais cette fois ce raisonnement serait rigoureux, parce que l'intégrale ne dépendrait plus d'une fonction arbitraire, mais d'un certain nombre de constantes arbitraires.

On serait donc certain qu'elle a un minimum.