XI. — Application aux fonctions fuchsiennes
Nous venons de voir à quelles conditions peut s'intégrer l'équation ( 1 ) du paragraphe précédent; or, au début de ce travail, nous avons montré que la formation des fonctions fuchsiennes dépend de Tintégralion d'une équation de même forme,
(i) DU = 0('^-*.
\oyons si elle satisfait aux conditions énoncées.
La fonction $ est finie, sauf aux sommets de troisième espèce, et en
ces sommets la valeur du rapport - est finie, déterminée, positive et
différente de zéro; c'est ce que nous avons montré à la Un du § H . Il reste donc à vérifier que l'on a
Je rappelle que
" ait)
h étant une fonction partout finie, sauf aux sommets de deuxième et
222 H. POINC.VRE.
de troisième espèce el telle que la différence
(2) h-(^i-~)iog\Z-A\
reste finie aux sommets de deuxième espèce et que la différence
(3) // - 2 log 1 Z - A I - 2 loglog I Z - A I
reste finie aux sommets de troisième espèce.
Nous supposerons que Z est lié à Z' par une relation aloébrique
Cette relation représente une courbe algébrique d'ordre//;; je puis, sans restreindre la généralité, supposer que cette courbe a ses m directions asymptotiques distinctes et qu'elle n'a d'autre singularité que des points doubles ordinaires.
Je puis supposer aussi cjue les sommets de deuxième ou de troisième espèce ne correspondent ni à un point double de la courbe, ni à un point à l'infini, ni à un point oïi la tangente est parallèle à l'axe des Z I c'est ce qui m'a i)ermis tout à l'heure d'écrire Z — A et non Z" — A" dans les formules (2)et(3)].
Cela posé, quand log-i^ devient-il infini?
i" Quand '-^ devient infini, c'est-à-dire quand le point Z, Z' s'éloigne
à l'infini sur l'une des branches asymptotiques de la courbe; 2" Aux points où la tangente est parallèle à l'axe des Z, on a
et, par coiisécpicul,
du
du' . p . diï . , et, comme -r~ est luii, -r- est nul:
dw dit) '
LES FONCTIONS FI CIISI ENNES ET l'ÉQIATION Ail = ('" . 2l'i
3" Aux poiiils (IduMcs, on a, à la fois,
mais Z' csl l'oiuliou holoinoi'plic de Z et V- resle liiii.
Nous avons donc
cl .!> dcvicnl loyaiilhMii([UL'uii'nl inlini on un certain iionilu'i' de iioinls sinjjuliers qui se ivparlisscnl on quatre sortes :
Première sorte. — Ce sont les m points à l'inlini delà courbe F=o. Deuxième sorte. — Ce sont les points où -=-, = o; leur nombre est
m (m — i) — -2 cl,
(f étant le nombre des points doubles, ou bien
/) étant le genre de la courbe.
Troisième sorte. — Ce sont les sommets de deuxième espèce.
(Jimtrième sorte. — Ce sont les sommets de troisième espèce.
Entourons chacun de ces points singuliers d'une courbe infiniment petite. La surface de Klein se trouve partagée en deux régions; la région intérieure à ces petites courbes qui est infiniment petite et la région extérieure qui est finie.
L'intégrale / *Pd(o, étendue à la région intérieure, est iulinimciil
petite. L'intégrale étendue à la région extérieure est
^■«I) f/co = Cd| dco = l^g ch,
en vertu de l'équation (3 l/is) du § III ; dn elda sont définis comme au § m, que la surface de Klein soit isotrope ou anisolrope.
224 "• POINCARE.
L'intégrale du troisième membre est étendue au périmètre de toutes les petites courbes; mais il faut observer que les f/n positifs doivent être comptés vers Textérieur de la région où se fait l'intégration double, c'est-à-dire vers Vinlérieu/- de la petite courbe.
Considérons dabord une petite courbe entourant un des m points singuliers de la première sorte; ceux où Z devient infini.
Nous prendrons
d'où
da \ dZ [^ I
diî" ~ dZ"\ ~ I Z"
A l'intérieur de notre petite courbe nous avons donc •| = 4log|Z"| -log-^ -/t.
dû" géant des infiniment petits, à
Or, log-7^ -\- h reste fini; notre intégrale est donc égale, en négli-
rfl..l7,-l
dn ou bien, toujours avec les notations du § III,
~~dW' ^^^ '
r/S" et f/i\" étant les arcs infiniment petits cjui correspondent sur le plan des Z" aux arcs clr; et dn de la surface de Klein. Si nous posons
cl si l'on suppose que la petite courbe a pour équation p^ const., et correspond à un cercle sur le plan des Z"; celte intégrale peut s'écrire
'(iloa;?
LES FONCTIONS FLCIISIENNES ET l'ÉQU.VTION A« = if. 22^
.l'ai mis le signe —, parce que les c^N" positifs doiveiil èlrc coiiiplés vers riiUérieur du petit cercle p = const.
Considérons maintenant une petite courbe eulourant un des
iKiin
Is singuliers de la deuxième sorte.
Soit Z = A, Z' = A' ce point singulier. Nous aurons
, , du , du' ,
^ " cAo' ° du
D'autre part, on aura
H ('tant une série ordonnée suivant les puissances de Z' — A' el ne s'annulant pas pour Z' ~ A'.
On en déduit
H' ne s'aïuiulant pas pour Z' = A'.
Il vient donc
^ du' ' ^
dZ'
= 2 log I Z' — A' I + 2 logH',
cl ou
du'
L'expression
2 log I Z' — A' I 2 log H' — log ~ /t .
du'
2logH' + log^ +/i
reste finie; donc l'intégrale se réduit à
V1okIZ'-A'
du
dn.
Le même calcul montrerait que cette intégrale est égale à 4~-
Considérons une courbe entourant un point singulier de la troisième
Jour/t. de Math. (5* série), tome IV. — Fasc. II, 1898. 2(J
226 II. POINCvnÉ.
snrip; il viciil
h =(2 ) log I Z — A I + A , ,
//, (''laiil liiil (U, [)iir ronsL'fjiicnl,
•1= --■. lo8-|Z-A|-/,,-loy;
//, -h I02-7- ctanl liiii.
Notre intégrale csl donc éi^ale à
(dans cette formule, la leltre /i ligure deux t'ois dans deux sens diflï'rents; // est un nombre entiea et d/i une longueur infiniment petite; mais aucune confusion n'est à craindre), c'est-à-dire, toujours d'après le même raisonnement, à
Passons enlin aux sommets de la quatrième sorte; on a
// = 2 log I Z — A I -H 2 loglog I Z — A I -I- // 1 , A, restant Uni; notre intégrale se réduit donc à
La première intégi'ale s(^ réduit à 4~- QnanI à la seconde, si nous posons
Z- A = pe""
el si nous supposons (jue la petite courbe a [)0ur écpiation p =^ consl., elle se rf'duit à
• ■t tend \ers zéro (puind 0 tend vers zéro. L'intégrale se réduit donc linalement à /(-.
LES FONCTIONS I I C IISI KNNES ET l'kQLATION lu = ('" . 227
l'.ii n'siiiiii'. iiiMis li()ii\ DUS :
1 " l'oiir les r/i points de hi première sorte :
2" INuir 1rs 1/// -^ 2f) — 2 poiiils (h^ la (Iciivirine sorte :
DIT. ^- ^pr. — iS-;
)" Pour les y |i()iiils di' la Iroisiriiic sorte ( souimi-ls de la (Iruxièiiic espèce) :
l" Pour les f/ points de la (|ua[iiènie sorte (soinnicts de la Iroisième espèce ) :
■Nous avons donc linaleuieul
Considérons le polygone luchsicn R^, et soit 2 A' le nonihre de ses cotés, h le nombre des cycles de sommets de première espèce, q et (/' ceux des cycles de sommets de deuxième et de troisième espèce.
fja somme des angles est égale à
Le déiicit angulaire ( pro[)ortionnel à la surface non euclidieruie ) est
On a, d'autre i>arl,
d'où
228 H. POINCAUÉ.
ce qui montre que le déficit angulaire est égal à
"^T^yip — 9. -\- q + q
L'intégrale f^d(x> est donc égale au double du déficit angulaire.
Elle rsi donc positive. c. q. f. d.
Donc l'équation
peut s'intégrer; donc, dans tout type fuchsien, il y a une écpialiou fuchsienne.
Le théorème fondamental est démontré pour toutes les fonctions fuchsiennes qui n'existent qu'à l'intérieur du cercle fondamental; je me réserve d'y revenir en ce cjui concerne les autres fonctions fuchsiennes et en particulier celles de la troisième famille.
