XXXIX
En remplaçant dans la formule (i3) les lettres v et A: par les nombres i , 2, 4 ^t i :i, nous avons déduit le tableau suivant, dans lequel est présentée, pour les cas les plus ordinaires, la valeur actuelle d'une annuité de i'' payable par année, par semestre, par trimestre et par mois, en supposant, pour chacun de ces cas, que l'intérêt est convertible en capital par année, par semestre, par trimestre et par mois.
Si nous supposons que les intervalles successifs qui séparent les différents payements de l'annuité ou de l'intérêt deviennent infiniment petits et en nombre infini, nous obtiendrons les limites extrêmes de la valeur actuelle de l'annuité pour tous les cas possibles.
Ainsi, lorsque k est infini, c'est-k-dire lorsque Toi suppose que les payements de l'annuité doivent être continus, l'expression ^ f r + - j — I I devient égale au logarithme hyperbolique de ( I + - j • Quand v est infini, c'est-k-dire quand on suppose que les payements de l'intérêt doivent être continus, l'expression ( « + - ) devient égale à e"^', et l'expression
M -^-j égale à s* .
Enfin, si v = A = co , c'est-à-dire si l'on suppose que les payements de l'intérêt et de l'annuité doivent être tous deux
co/ilmuj, l'expression k\ (i + -) — < devientégaleà ^
Ces explications complètent le tableau suivant.
Pour rendre plus facile l'application de cette théorie, nous |Ous sommes servi du premier tableau pour en calculer un second, où est présentée la valeur actuelle de l'annuité de i'^ pour n^ ans, à 4 pour loo, en conformité avec les 25 différentes combinaisons du premier tableau.
Ces deux tableaux feront voir en même temps que :
i'' La valeur de l'annuité augmente quand le nombre des payements annuels de l'annuité augmente;
2^ La valeur actuelle de l'annuité diminue quand le nombre des conversions annuelles de l'intérêt augmente;
3^ La valeur actuelle de l'annuité augmente quand le nombre des payements annuels de l'annuité et de l'intérêt augmente, et quand l'intérêt et l'annuité sont payés tous deux en même temps.
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