DIFFÉRE?ICE

aDDuellemeDl.

par semestre.

Pour trouver d'une manière générale le nombre d'années pour lequel (V2 — V), c'esl-à-dire la différence entre les deux valeurs correspondanles, est maximum^ faisons sa différentielle égale à zéro lorsque n est la variable : l'expression générale pour le maximum^ ou la plus grande différence, devient alors

log' i +

logfn--j — logr

En la développant en une suite de termes ordonnés sui-

vant les puissances croissantes de /, on la convertit en l'expression suivante, expression trës-simple et d'une application très-facile:

t ID

Le troisième terme, étant inférieur k 2 jours, peut être laissé de côté pour tous les taux usuels, les deux premiers termes étant suffisants pour assurer la plus grande exactitude. Ainsi la différence entre les valeurs actuelles, k 4 pour 100, des annuités de i'^, payables par semestre ou par année, est la plus grande lorsque

On a souvent besoin dans la pratique de connaître le rap-

port Y » c'est-à-dire le rapport entre les valeurs actuelles

d'une annuité, suivant que le payement de la rente annuelle a lieu tous les six mois ou tous les ans Il est de toute évidence que ce rapport

varie avec le taux d'intérêt ou avec le nombre des années. Toutes les fois que le nombre des années est donné et constant, ce rapport est égal à l'unité quand /= o; il continue alors à augmenter jusqu'à une certaine valeur de /, déterminée par l'équation

pour cette valeur de t, le rapport est maximum; de cette valeur de / il continue ensuite à décroître, en se rapprochant de plus en plus de l'unité, son extrême limite.

Par exemple, le rapport entre les valeurs actuelles de l'annuité de i'^ pour 25 ans, l'intérêt et l'annuité étant payables

par semestre ou annuellement» est comme il suit :

A 2 pour loo ï,oo38

A 10 » I ,oo56

Quand, au contraire, le taux d^intérét est donné et constant, le rapport diminue continuellement, à mesure que le nombre des années augmente, et il diminue d'autant plus rapidement que le taux donné est plus élevé.

Les rapports entre les valeurs actuelles des annuités, quand les taux sont différents, forment ( pour n = 1) une suite ascendante (entre zéro et 200 pour 100); alors, après un nombre suffisant d'années, ils forment une suite descendante. H y a donc, entre ces deux limites, un nombre n pour lequel les rapports concernant deux taux différents sont toujours égaux ; de là nous pouvons déduire ce remarquable théorème :

Si Von donne deux taux t et t{le premier étant le plus élevé)^ il arrive toujours que^ pour un certain nombre d'années ^ les rapports entre les annuités annuelles et semestrielles sont toujours égaux.

Ainsi Ton a

pour un nombre d'années moins considérable, et, pour un nombre d'années plus élevé,

En vue de montrer la nature des rapports entre la valeur

-" 97 actuelle d'une annuité payable annuellement et la même annuité payable par semestre, j'ai présenté le tableau suivant, qui donne les logarithmes à 4 décimales de ces rapports, pour plusieurs années et différents taux d'intérêt.