XL
Le numérateur de la formule (i3)
ne varie pas si v demeure invariable, c'est-k-dire lorsque les
termes pour le payement de l'intérêt demeurent les mêmes;
par conséquent, lorsque la valeur actuelle de l'annuité est
connue dans le cas particulier où les termes pour le payement
de l'annuité et celui de l'intérêt coïncident, pour trouver la
valeur actuelle de cette annuité payable k fois dans Tannée ,
on multiplie la première valeur par le facteur invariable
rapport de l'intérêt simple à l'intérêt composé.
— lOI —
Il est a remarquer que ce facteur ou rapport constant est complètement indépendant du nombre d'années de l'annuité.
Ainsi tous les calculs d'annuités relatifs aux diverses suppositions sont facilement ramenés à la multiplication de la valeur d'u.ne annuité connue parce facteur. Cependant, comme la recherche de ce facteur requiert souvent quelques calculs
pénibles et un peu minutieux, surtout quand l'exposant t
est fractionnaire, ainsi que l'emploi de logarithmes de plus de dix décimales, pour obtenir un résultat avec sept chiffres vrais, j'ai construit une Table 63 où ces fatigants calculs sont convertis en l'addition ou la soustraction d'un simple logarithme.
Cette Table présente les logarithmes de ce facteur pour les cas les plus pratiques et pour cinquante et un taux différents. D'ailleurs les difi*érences entre les fonctions de deux taux consécutifs varient si peu que le taux peut être encore appliqué par interpolation à un taux intermédiaire quelconque.
Désignons par P2, P4, Pe et P43 le rapport invariable pour le même taux, par lequel on doit multiplier la valeur actuelle d'une rente annuelle pour obtenir la valeur actuelle d'une rente payable tous les six mois, tous les trois mois, tous les deux mois ou tous les mois. Nous aurons
ra — ^ 1*4 — — : 1 r« — —, 1 ri, — — ; •
Appelons maintenant Qa et Q4 le rapport invariable par lequel il faut diviser la valeur d'une rente semestrielle ou trimestrielle, où les payements de l'annuité coïncident avec ceux de l'intérêt, pour obtenir la valeur de la rente annuelle. L^intérêt étant payable seulement deux ou quatre fois par an, nous avons
Chacun de ces facteurs P et Q sera plus grand que i •
Par conséquent, toutes les fois qu'il s^agit de calculer la valeur actuelle de semblables annuités , déterminons d'abord la valeur de l'annuité dont les payements correspondent avec les payements de l'intérêt.
Ensuite, si l'annuité est payée a, 4» 6, 121 fois plus souvent que l'intérêt, multiplions la valeur obtenue par le facteur correspondant P.
Si l'annuité est payée 2 ou 4 fois moins souvent que l'intérêt, divisons la valeur obtenue par le facteur correspondant Q.
Au lieu d'avoir à calculer la valeur actuelle de l'annuité, on pourrait avoir k calculer l'annuité elle-même. Dans ce cas, si l'annuité se paye 2, 4» 6 ou 12 fois plus souvent que l'intérêt, on cherche d'abord l'annuité dont les payements coïncident avec ceux de l'intérêt et l'on divise ensuite l'annuité ainsi trouvée par le facteur correspondant P (exemples LXYII, LXIX).
Si, au contraire, l'annuité se paye 2 ou 4 fois moins souvent que l'intérêt, on multiplie l'annuité obtenue par le facteur correspondant Q.
Bemarque très-importante. — Les logarithmes P2,P4, P«,P,2 que l'on doit ainsi ajouter ou retrancher sont ceux qui correspondent, dans la Table IV, à l'intérêt de i^' d'un payement de l'intérêt à l'autre, c'est-a-dire aux taux annuel, semestriel, trimestriel, etc., suivant que l'intérêt est payable par semestre,
par trimestre, etc. Si l'intérêt est payable par semestre, P^s'écrit t
—j- — j et on le cherche dans la Table IV en face du
taux -• Si l'intérêt est payable par trimestre, P, s'écrit /
: — , et on le cherche dans la Table en face du taux 7 •
La même remarque s'applique k P4, Pe et Pis*
— io3 —
Au contraire» les logarithmes Q, et Q4 que Ton doit ajouter ou retrancher sont ceux qui correspondent, dans la Table IV, à Tintérèt de i^d'un payement de Tannuité k Tautre.
Si l'annuité est payable par semestre, Q2 s'écrit ^^ y •.
Au reste» pour éviter toute chance d'erreur» il vaut toujours mieux commencer par établir la formule (i3). C*est même toujours ainsi qu'il faut procéder lorsqu'il s'agit de convertir une rente en une autre (exemples LXYII» LXXI» LXXII etLXXIII).
Ainsi» par exemple» si nous connaissons la valeur de l'annuité de 100^ pour 19 ans» au taux de 4 pour 100» payable annuellement» multiplions-la par Ps» P4» P^ ou Pis, quand l'annuité est payable tous les 6 mois» tous les 3 mois» tous les 2 mois ou tous les mois.
Si» au contraire» cette rente est annuelle et que l'intérêt soit convertible par semestre, cherchons d'abord la valeur actuelle de l'annuité de 5o'% pour 28 ans» à 2 pour 100» et divisons-la par Q2.
Si la rente est annuelle et l'intérêt payable tous les 3 mois» cherchons d'abord la valeur actuelle de l'annuité de a5'' pour 76 ans» à i pour 100» et divisons-la par Q4. Dans la Table 63 (pour / = 4 pour 100) nous trouvons
logQ, = o,oo43ai4 O4 =0,0065089.
Si l'on cherchait les valeurs de P et de Q pour un taux qui n'est pas compris dans la Table 63» on pourrait les obtenir au moyen d'une simple interpolation.
Par exemple» soit à trouver la valeur de Q pour
^=3 — pour 100.
Ce taux» qui est égal ^ 3-^i est compris entre 3 | et 3 ^,
— io4 — et
Pour 3 ; logQ, = 4io5a5
Pour 3 t logQ, = 4 , 1870
Différence i345
par conséquent /pour 3-^9 nous aurons
logQ,=4,o525 -*- f X 1345 = 4>ï6oi.
Si l'on avait à trouver la valeur de P, pour t=ij- pour 100»
ce taux, qui est égal si i -tt' étant compris entre 1 1 et a, nous trouvons :
Pour 1 i logP, = 1,0116
Pour a logP, = 2,1554
Différence i338
par conséquent, 1 ^ correspond à
logP, = 2,o2i6H- \ X i338 = 2,0751.
La Table 63 est donc facilement applicable à un taux quelconque; les exemples suivants vont d'ailleurs en faire voir mieux encore l'emploi immédiat.
ExEMPr.E LXy. — Quelle est la valeur actuelle d'une annuité de ^000^' pour 3o ans 9 payable tous les 3 mois, tandis que r intérêt est convertible en capital tous les 6 mois? Le taux annuel est de 4 pour 1 00 .
La valeur actuelle de l'annuité en question est égale à celle d'une annuité de nooo''' pour 60 ans au taux de n pour 100, multipliée par le facteur constant Ps; nous avons, en effet.
log 2000 = 3 , 3oio3oo
Jogf= 1,5410907
logP, = 21554
logV, = 4,8442761 V, = 69867^65.
Exemple LXYL — On demande la valeur actuelle cTune annuité de i^^ pour 5o a/15, à 5 pour \ 00^ payables par semestre^ tandis que V annuité est payable annuellement^ par semestre^ par trimestre ou par mois.
L'aDDuité payable tous les 6 mois est égale à la valeur actuelle de 100 annuités de \ franc, à^ | pour 100 par an.
log7 = 9»69897oo loga= 8,43635i6
logV, = 1,2626184 V,= i8'^3o7o5.
Pour obtenir la valeur actuelle de l'annuité payable tous les ans, tous les 3 mois ou tous les mois, il n'y a qu'à diviser ou multiplier ce nombre par les facteurs constants correspondants.
Jnnuité payable tous les ans.
lOgV, =r 1,2626184
— logQ,= —53960 logV, = 1,2572234
— io6 —
Annuité payable tous le% 3 mois»
]ogV,s= 1,2626184 logP, = 26892
logV^ = 1 ,2653076 V,= 18'', 4*076.
jénnuité pajrabie tous tes mois,
]ogV,= 1,2626184
logP«= 44790
logV„= 1,2670974
Exemple LXVII. — Conçertir une annuité de Z^oo^^ par an, pendant un nombre illimité d'années, en rentes payables tous les 6 mois, tous les 3 mois, tous les 2 mois ou tous les mois ; quel sera le montant annuel de chacune de ces rentes^ au taux annuel de 5 pour 1 00 ?
t \ ) ->' \ 4 T ' ^ i la TT
d'où
de même
— lO'J —
Tous les 6 mois.
Iog34oo = 3,53i48 (Tab. 63) logP,= 533
loga = 3,5a6i5 a = 3358'%5o.
Tous les 3 mois,
Iog34oon=3,53i48
logP4 = 799
loga' = 3,5a349
Tous les % mois,
]og34oo = 3,53i48 (Tab. 63) logP«= 887
loga' = 3,5a26i a'' = 333i'%3o.
Tous les mois.
Iog34oo= 53 148 logP,, = 975
Ioga"'==3,5ai73 a"' = 3324",5o.
La somme ^ payer sera donc
Par semestre 1679,25
Par trimestre 834, 5o
Pour VL mois 555, 21
Par mois ^^77, 04
au lieu de 3400^^ par an.
Exemple LXYIII. — Quelle est la valeur actuelle de ^3 annuàés de 584o''^, payables annuellement^ si Vintérét est conver-
- io8 — ttble en capital tous les 3 mois, le taux étant de 6 pour loo?
• y^V ■ 584or / , ty-l t
=-4-[-(-îni-
log^=3,i6435a9
( Tab. 3 ) logf („) = 1 ,6965486
logV = 4,85M4a3 V = 70981,04.
Exemple LXIX. — Quelle est V annuité qui peut être rachetée par 1 360000^^ en 27 ans^ si V annuité est payable tous les ^mois et V intérêt de l\ \ pour 100 convertible par semestre?
d*où Ton tire
i36oooo = --9(,,).P,;
a 9(tii).Ps
Iogi36oooo = 6, 1335389 (Tab. 8) log- =log« = 8, 4956610
logP, = — M890 log7 = 4,6269109
^ = 4^355",6i, a :ï=847ii",2a.
Exemple LXX. — Quelle est la valeur actuelle d^une annuité perpétuelle de 'jii6o'' f payable tous les mois en payements égaux, si r intérêt, au taux de t\ -J- pour loo, peut être converti en capital ifois par an seulement ?
Iog786o = 3,8954225
ïog?C) = i,3233o64
logP, = 4^572
logV = 5,2229861 V = 167103,70.
Exemple LXXI. — Ondemanded*échanger une rente annuelle de 4800''^, payable pendant un nombre illimité d'années, contre une rente payable tous les 3 mois, l'intérêt étant de 3^85 pour 100 y payables tous les six mois.
Comme 00 ne peut pas trouver dans la Table 63 le taux 3— > on doit chercher par simple interpolation les valeurs de logPa etIogQ,. Nous avons
— IIO
4800--; 7\1 = * ^-7 OU •^rr-=*Pt'
Hï- i'^'i)*
donc
)og48oo = 3,68ia4ia — logP, = — aa75i -logQ, = -41601
]oga = 3 ,6750060 a = 4731 ,579.
II faut donc verser tous les 3 mois 1 1 8a'%894.
Exemple LXXII. — On voudrait convertir une annuité de 845o'^y payable par semestre pendant un nombre quelconque d* années f en une rente payable par trimestre^ l'intérêt, payable annuellement, étant deZ^ pour 1 00. Quel est le montant de la somme à payer chaque année?
-^ 7 = -7'— ou 8450.-3 =a.-j^î— >
d'où
8450. Pi
oc ^^^ ~~^^^^^~" •
log845o = 3,9268567 H-IogP, = +4oi54
]oga = 3,9248535 a = 84ii'%li4.
Exemple LXXIIL — On veut convertir 4o annuités de 61 70^'' en une rente trimestrielle^ payable pendant st% ans, r intérêt étant de 3 \pour 100, convertible en capital par semestre. Cembienfaut-'il verser chaque année?
Soit X la nouvelle annuité; nous aurons alors
et d*autre part
donc
d'où
logôiyo = 3,79029
Ï0gT(M) = i,6i56o C'Iogf(,,j = 8,52605
— logO, = — 4o5
— logP, = — 2oa
log« = 3,92587 x = 843o'%8o,
c*est-à-dire qu'au lieu de payer 6170^'' par an pendant 4o ans on versera 2107'% 70 par trimestre» pendantes ans.
§ XLI. — Calcul db la duréb des ANifuiTBs, lorsque l'intérêt et l'annuité sont pâtés à différents termes.
La Table 63 rend très-facile le calcul du temps, puisqu'elle présente directement le rapport entre l'annuité don-
née et Tannuité au même taux d'intérêtt mais dont les payements ne correspondent pas aux payements du taux.
Dansée cas, du logarithme de l'annuité, il faut soustraire le logarithme du rapport constant (§ XL) et déterminer ensuite le temps comme pour les annuités ordinaires.
Exemple LXIY. — Dans combien (Tannées un capital de 7 2 ooo''' sera-t'il amorti par une annuité rfe 5o 4 58'% ao ^payable par trimestre y tandis que le taux^ de 5 pour loo par an^ h* est payable que par semestre?
Le taux vrai est de a -|^ pour loo par semestre; la rente semestrielle est par conséquent de :i52!i9'^,io.
Hï- 4(.4)'-
mais
4(,.i)--, (,.iV-
et
f['-h^y"hî-^^
donc
y âO<P?
d'où
log- = Iog35a!ig'',io = 4,4019017
logP» = 26892 logV = 5,8573325
\oga= 8,5472584
Il se trouve que ce logarithme correspond, dans la Table 1 1
- ii3 -
{2^ pour loo}» avec le chiffre 5o pour les années; là durée de l'annuité est donc exactement de 5o sennestres ou ^5 ans.
De la formule ( i3) on peut déduire une formule générale pour calculer le temps. Nous avons, en effets
— vu
d'où
'-hr='AHf-]
ou
Si nous désignons par/^^ le facteur constant
nous aurons
et, en employant les logarithmes,
log(.-^i)
Exemple LXXY . — Dans combien de temps un capital de 57 000'' serait-il amorti par une rente mensuelle de aôo'''^ rintérét étant de ^\pour loo, payable annuellement?
logV = log/ =
logP„ =
— loga =
- ii4 -
Iog(i-^) = 9,^8865,
-logri--^^j=o,7ii35;
o,7fi35 0,019116 ^
Le temps demandé est donc 37 ans 2 mois 17 jours.
Concluons :
i^ Prenez comme taux l'intérêt de 1'' pour chaque partie de l'année pendant laquelle Tintèrêt est convertible, et calculez comme si chaque intervalle représentait une année entière. Par exemple, si l'intérêt est convertible par semestre, prenez la moitié de l'annuité et du taux de l'intérêt, et doublez le nombre des années; si l'intérêt est payable par trimestre, prenez le quart de l'annuité et du taux de l'intérêt, et multipliez ensuite par 4 le nombre des années.
2^ Si les payements de l'annuité sont plus fréquents que ceux de l'intérêt, multipliez sa valeur par le facteur constant P, la Table 63 étant dressée d'après l'intérêt simple de i'** pendant chacun des intervalles qui séparent deux payements consécutifs de l'intérêt.
Si, au contraire, les payements de l'annuité sont moins fréquents que ceux de l'intérêt, divisez sa valeur par le facteur constant Q, la Table 63 étant dressée d'après l'intérêt simple de i'*^ pendant l'un quelconque des intervalles qui séparent deux payements consécutifs de l'annuité.
