XLII. — Équation dbs ànnuitâs
Annuité moyenne. — Toutes les fois que deux rentes égales, de durées différentes, dont les payements annuels et le taux sont les mêmes, doivent être converties en une seule annuité,
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la durée de Tannuité moyenne est toujours exprimée par un nombre d'années moindre que la durée moyenne des deux annuités.
Trouvons d'abord a?, le nombre d'années exprimant la durée d'une annuité de iu^^ équivalente k deux annuités de a'^ dont l'une a une durée exprimée par n années, l'autre une durée exprimée par (/i + 2^) années; nous avons
par conséquent,
— == h — - V ou r'— -^ > (vo/rp.aS).
Mais c'est la formule que nous avons déjà trouvée (§XIII) pour l'équation des payements; par conséquent, le temps de l'annuité moyenne est égal au temps vrai du payement unique de deux rentes égales payables à la fin des deux annuités.
Ainsi, par exemple, nous avons trouvé (exemple XXY) qu'aux taux de 4i pour 100 deux capitaux de 5oo'' chacun, payables, Tun au terme de 7 ans, l'autre au terme de 4^ ^QS, sont équivalents à deux payements de 5oo''% acquittés tous deux au terme de 18^ ans à peu près; par conséquent, 2 annuités de 5oo^' l'une pour 7 ans, l'autre pour 43 ans, sont égales a deux annuités de 5oo^'' pour 18^- ans. Dans le cas présent, au lieu de 5o annuités, il n'y en aurait que 37, le nombre des premières annuités augmentant de 1 1 {-, tandis que celui des secondes diminuerait de 24 i-
Nous avons déjà démontré que le nombre d'années de l'annuité moyenne est toujours inférieur à la demi-somme des années pendant lesquelles doivent se prolonger les annuités dont il est question, et que ce nombre est d'autant moindre que le taux est lui-même plus élevé.
Ainsi, étant données 2 annuités de i'*^^ l'une pour 16 ans, l'autre pour 34 ans, elles donneront, prises ensemble, 5o annuités de 1'' et seront équivalentes également à 2 annuités
- ii6 de 1*^^ dont la durée sera :
Ans
A J pour loo î»4,907
A 10 » !ài,537
au lieu de !i5 ans.
§ XLIIL
Réciproquement, l'annuité correspondant a la durée moyenne de 2 annuités est toujours plus grande que l'annuité moyenne des deux annuités. Si la première rente contient n annuités et la seconde {n-h2d) de i'% la différence entre la rente correspondant à la durée moyenne des deux annuités et la rente moyenne est égale a
donc
quantité qui est toujours positive.
Ainsi, par exemple, 2 annuités de x^' pour 3o ans valent plus que 2 annuités de i^% l'une pour 10 ans, l'autre pour 5o ans, quoiqu'il y ait, dans l'un et l'autre cas, 60 annuités de I'^
En effet, à 3 pour 100, nous avons
fr
Valeur de 10 annuités de i'"" 8,53o
Totel 34,a6o
Valeur de 3o annuités de 0,^' 39,201
Différence 4;94i
La formule précédente» qui donne la différence A» montre directement que cette différence diminue quand le nombre des années n augmente, ou quand d diminue.
Si le taux varie, la valeur de A présente un maximum
lorsque :id= (^-i- i) {^-^ 0- Après ce maximum, la différence diminue, quelle que soit Taugmentalion ou la diminution du taux.
Ainsi la différence entre la somme de 2 annuités, Tune pour 5o ans, l'autre pour 10 ans, et i annuité de :k^ pour 3o ans, est
A {- pour 100 0,926
A 3^- f 5,oia
Si, au lieu de ti annuités, il y en avait un plus grand nombre, on trouverait que la moyenne de ces annuités es/ inférieure a l'annuité de durée moyenne.
