oO.Cp^,-; l0g37OOO r
log25oo= 3,39794 log ^ = I , 28200
g log 7^= 9,89780 = 4,57774
log25oo= 3,39794 log<p= 1,27438
Ctlog/^ = 9,89467
= 4,66699 La diflérence pour \=^ 1075; mais
lOg 37000 =: 4 9^6820;
la différence avec le 4 pour 100 est de 954; par conséquent le taux obtenu est
4 + -^Xg = 4ȕ'O9P0ur 100.
L'erreur est inférieure à yôoTô P^"^ '^^•
Exemple CXVIII. — Si l'on paye 202 /i'jo^' ,80 pour une annuité de 18700'', payable par semestre pendant 2 3 ans et différée de 6 ans 5 /now, quel est le taux d'intérêt^ celui-ci étant convertible une fois par an seulement?
A4f pour 100 :
A 4i pour 100 :
log 18700= 4,27184
Ctlogr'*= 9,88842
Cllogr'* = 9>992^5 logP, = 467
log 18700 = 4,27184 log^ 1= 1 , 15069 Ctlogr« = 9,8853o
s et log r'^* = 9,99203
La différence pour \ pour 100 est égale à 846. Mais
log 202 4 70,80 = 5,3o636;
la différence avec le 4f = (>67. Le taux est donc
4ï+gTg-^ = 4 47^03 pour 100.
L'erreur est inférieure à -âFoTô pour 100.
§ LX. — Formules générales pour trouybr le taux des rétersions.
Si, dans la formule (20), nous développons, au moyen du théorème du binôme, les deux puissances en deux suites de termes ordonnés d'après les puissances croissantes de ^, nous
— 17^ — aurons
r--=:(|-h/)--''=l-rf/-f-rf.;c/-+-l)--rf.(c/+l)[rf-+-2)-^
2 2aO
^-(cZ+A) __ i ^ f^j ^ n]t-{-{J-hn){d -^ n-h i) -
— (rf-+ll)(rf-f-/l-+-l)(rf-f-/l-|-2)7r«--
et» en soustrayant,
OU, en divisant parn/,
= I — (2rf4-/n- 1) --t-;3rf'-f- 3rf/i-h/i»-f-6rf-f-3/n-2)-T-
an ^ 2 ' ^ b
Si nous élevons maintenant les deux membres de cette équation à la puissance -1 ^—i nous obtiendrons, au moyen
du binôme,
anj ii(2tf-+-n-hi)
et, en supposant
^;jxa./ + /,-Hi
nous obtenons
équation du second degré, dont la racine approchée sera, d'après la note de la page 79,
, . , 12(2^4- n-h i) — ûf(/i»— i]
^ ' I2(2£^4- /t-h ij — 2^(/l*--l) ^
Exemple CXIX. — On demande de déterminer à quel taux d^ intérêt une annuité de 4ooo'', d'une durée de aS a/w, différée de 5 ans, serait achetée eut prix de 44 1 7 ^^'^tQO.
Ici,
a ==4000, d=5, /ir=25, n'— 1=624,
«71=: 100000, 2 Cf ^- 71 -f- I = 36.
loga/? = 5, logD = 4,6451461
log^ = 0,3548539
rj — 0,046439
log7 = 8,66689 log624 = 2, 795 18
I2(2rf -f- « -H 1) ^= 43^'» 2^.624=57,956, 43^ — 28,978 4^3,022
log<7 = 8,66689
Iog4o3,022 = 2,6o533
Ctlog374,o44 = 7,42708
8,69930 t = 5,oo38 pour 100 ( taux vrai 5 pour loo).
§ LXI. — FORMULB GORRECTIVE.
Toutes les fois qu'au moyen de nos Tables ou de la dernière formule on a obtenu une valeur approchée, on peut se servir de cette dernière valeur pour déterminer le taux avec toute Texactitude désirable.
Représentons par t cette valeur approchée du taux vrai t et posons
/ = T-hjr, p=i-f-T ei r = p-hx;
l'équation (ao) devient alors
- (t 4- x] = (p 4- Jc)-*'— (p -+- x)-f^+").
Si nous développons maintenant, au moyen du théorème du binôme, les puissances de {p -h x), en négligeant les termes dans lesquels entrent les puissances secondes, troisièmes, etc., de Xt comme de nulle vaieur en comparaison des autres, nous avons
d'où
(23) X ZL
oc
Dans l'exemple CXVII, nous avons trouvé, pour valeur approchée du taux, 4v*' P^'* conséquent nous avons, d*après la dernière formule,
l0pp-r 0,0174970814 p-«== 0,785-2073
le numérateur — - - o,oooo354
le dénominateur —
jf --
, oooo3 5 ( 12,021
/ = 0,041 10816G, valeur vraie.
§ LXII. — Annuités perpétuelles différées.
Lorsque l'annuité différée est une annuité perpétuelle , n est infini et l'équation générale (20) devient
(1*011 nous déduisons les formules suivantes :
ar^D/K '-"^^^
Exemple CXX. — Chercher la valeur actuelle de l'annuité perpétuelle de [\ i 800^'' par an, différée de 6 ans 5 mois, à 3 7 pour 100, V intérêt et V annuité étant payables par semestre.
Le taux vrai est de i ^ pour 100 par semestre; chaque payement semestriel est de 20900'''; par conséquent,
loga " 4,^201463 — logr — — log- --. — log^ - - 8,243o38o (Tab. 5^ -log/-'- - 0,0904130 (Tab. 53) - logr~ - - 0,0062787
logD= 5,9804166
ExEMBLE CXXI. — Une personne achète au prix de 00 000^' un simple fief réversible dans 3 ans 8 mois ; quelle rente trimestrielle doit-il produire pour rapporter à V acheteur t\ -j pour 1 00 de son argent ?
oc —
logO
log/
log/-^
(Tab.
logr'^ logP,
loga
par an ou 65o'%i5 par trimestre.
Exemple CXXII. — On cède, pour éteindre une dette de 2200o'^ la réversion d' u(ie propriété produisant 1 00^' par mois ;
dans combien de temps le créancier doit-il en prendre possession^ s'il lui est alloué 5 *- pour loo d'intérêt par an pour V argent qui lui est dû?
Ijt logr
loga= 3,07918 •
et logD- 5,65758
(Tab. 33) Ctlog/ ^ Ctlo-// =- 1 ,27984
(Tab. 63) logP,,- 0,0109.3
o,o'Ji683
log-: 8, 4*2862 logV- 8,34679
logr/— 0,081 83 rt -r i'^=',.2073 ou r^";5:î'""\
Exemple CXXIII . — Une rente perpétuelle ^ constituée sur une propriété dont le revenu net est de 54oo^*' par an, doit être divisée par réversion en trois parties égales; pendant combien de temps les partageants prendront-ils part à la rente, l'intérêt étant de 4 pour 1 00 par an?
Valeur de Tannuité perpétuelle 135000*^*"
Valeur de chaque portion 4^ 000
Si maintenant nous supposons que le premier partageant jouisse de la rente pendant ^/années, ia cède ensuite au second pour n années et celui-ci au troisième à perpétuité, nous aurons :
d'où
.f, 5|On . ., ,„ 5400 . .
45000 =1 ^ I — /•-'') el 4^000 r- -j-j- [ I — r-")
logi-; 0,17609 iog*i-;- 0,24573
logV =- 8,a3T3o logr/= 1 ,01443
loga - o,3oio3 log'a- 0,47861 logV- 8,2»3i3o
log/2 1,24731 n --• 17-"%G73.
Le premier jouira donc de la renie pendant io""'i23^'" \ après cet espace de lemps, le second en jouira pendant i7'*"*
'i4C^""'% après lesquels, c'est-à-dire dans 28*"''4^''"'^'t le troisième en jouira à perpétuité.
Exemple CXXIV. — On a payé 556 5!\y'y']j pour la réversion d'une annuité perpétuelle de 34700''", différée de 7 ans; quel intérêt l* acheteur retire-t-il de son argent ?
Valeur actuelle /r 4 î •
Io,:î5c= 4,54033
- logr =. —8,65321
— :ogr^= — o,i338i
56663of^
Valeur actuelle à 4 î •
loga^ 4,54o33
— log^r — 8,6fi5ii
— logr'^-- — 0,13745
La différence pour * pour 100 est égale a 199, i
- i8i - Par conséquent
, , I IOO,Q , ,
L'interpolation au moyen des parties proportionnelles donne toujours un taux un peu trop élevé; pour Tobtenir avec la plus grande exactitude, il faut se servir de la formule (p. 39) servant à l'interpolation du second degré; on peut d'ailleurs appliquer la formule corrective du § LXI pour les annuités en réversions.
Comme» dans ce cas, la réversion est une annuité perpétuelle, n devient infini, et la formule générale devient
^ LXIII. — Renouvellemekt des balx.
Le renouvellement des baux n'est qu'un cas particulier des renies différées. La question principale consiste à déterminer la somme [fine) qui doit être donnée pour le renouvellement d'un certain nombre d'années déjà écoulées dans un bail.
Le nombre d'années pour lesquelles les établissements, les compagnies et les corporations particulières concèdent leurs baux, est le plus ordinairement de 10, 20, 21, [\o et 5o ans.
La question revient donc à déterminer la valeur actuelle d'une annuité différée jusqu'au terme d'expiration du bail et dont la durée, a partir de ce temps, est égale au temps déjà écoulé.
Exemple CXXV. — Unfermier veut ajouter à la durée d un bail de 2 1 ans les 9 ans déjà passés dans ce bail; chercher la somme qu'il doit donner^ en supposant que le revenu net de la propriété est de 3ioo^% déduction faite de la rente réservée et de
toutes taxes et autres charges annuelles, l'intérêt étant de 4 pour loo.
loga = 3,49i36
(Tab. 23) logy- 0,87130
Ctlogr'^--- 9,79560
logD- 4,i382G
Exemple CXXVI. — Un fermier a la jouissance d'une propriété pour 4o ans y dont j^j sont écoulés; combien doit-il payer pour le renouvellement de son bail^ le rapport annuel de la propriété, toutes déductions faites ^ étant de 8200^', et le taux d^ intérêt, payable par semestre, étant de 5 \pour 100 par an?
ïog?(3o' 8,6594289
— Qï —o, 0029756
logD-: 3, 9997013 D= 9994, 27'>.
Exemple CXXVII. — On a payé 22 5oo*^' un bail de 33 ans produisant annuellement 1180^*'; quelle somme faut-il payer aux mêmes conditions pour renouveler les 1 4 ans expirés?
Ce problème exige deux calculs : le premier pour obtenir le taux du bail, le deuxième pour obtenir la valeur actuelle du bail pour les i4 ans surajoutés.
logi 180 — 3,07188 log 225oo — 4 î 352 \ 8
logrt^-: 8,71970
Il se trouve que ce logarithme, pour n •=:^ 33, correspond,
daus DOS Tables, exactement au taux de 3^ pour loo; par conséquent,
loga:^^ 3,07188
— logr'^-r —o, 29383 logD = 3,81266
D = 6496''', 20 (somme cherchée).
