LVIII

Jusqu'ici nous avons supposé l'intérêt et l'annuité payables une fois par an seulement; il sera facile d'appliquer à un

autre cas quelconque la formule D = -^^ c'est-à-dire de trouver la valeur actuelle de la même annuité immédiate d'après les règles énoncées dans le § XXXVI, et de la diviser ensuite par le montant de i^^ à l'époque de la réversion.

Si l'intérêt et l'annuité sont payables aux mêmes époques V fois par an, l'annuité sera égale à la rente annuelle dont le taux d'intérêt et l'annuité sont v fois plus petits, et les inteivalles des payements v fois plus grands, c'est-à-dire des années entières.

Enfin, quand les époques pour les payements de l'intérêt et de l'annuité ne coïncident pas, on multiplie ou l'on divise la valeur de l'annuité dont les payements annuels correspondent à ceux de l'intérêt par un facteur constant indépendant du nombre d'années, et dont les logarithmes ont été donnés dans la Table 63 pour les cas ordinaires.

Ainsi, d'après le § XXXVII, lorsque l'annuité se paye plus souvent que l'intérêt, la rente annuelle diminue^ tandis que le prix d'achat augmente; il faut donc soustraire du logarithme de l'annuité le logarithme P du rapport constant.

Si, au contraire, on paye l'annuité moins souvent que l'in térêt, l'annuité augmente, tandis que le prix d'achat diminue; il faut donc ajouter au logarithme de la rente annuelle le logarithme Q du rapport constant.

Exemple CXIV. — Quelle annuité, d'une durée de 3o ans y doit-on donner pour 8800^*", si l'intérêt, de ^-^ pour 100, et l'annuité sont payables par semestre, et si le premier payement semestriel ne doit avoir lieu que dans 7 ans?

Si la rente était immédiate, le premier payement semestriel aurait lieu dans 6 mois, par conséquent la rente est différée de 6-| ans; elle est égale à une rente annuelle d'une durée de 60 ans, différée de i3 ans, au taux annuel de i -} pour loo.

Par conséquent,

^ ao Dr'' 8800. r'»

D=-^j ou a = y «= •

Iog88oo = 3,94448

log = logâ = 8,432:12

logr** = 0,09795 log a = 2,474^5

de rente semestrielle, ou 596,60 de rente annuelle.

Exemple CXV. — Quelle serait V annuité dans V exemple précèdent f si elle était payable tous les mois?

Ici Tannuité se paye six fois plus souvent que Tintérét; l'annuité est donc moindre que dans le cas précédent, et il faut retrancher du logarithme de Tannuité le logarithme V^.

loga = 2,47465 -P,= -3i4

Ioga'= 2, 4715 1

par semestre ou 49'%36 par mois.

Exemple CXVI. — Valeur actuelle d'une réversion de 79000''' par an, d^une durée de 33 ans^ payable par trimestre et dont le premier payement doit avoir lieu dans 5 ans, le taux d'intérêt payable annuellement étant de 5 \pour 100.

Iog79ooo ~ 4,8976271

ÎOg?i33)= 1,1782593

Cl log/-' = 9,9069902

CtlogrJ = 9,9825607

D = 5,9742o56 D = 952335,70, valeur cherchée.

CALCUL DU TAUX DES BÉYER8I0HS.

§ LIX. — Evaluation du Taux au moyen de l'intebpolation.

Il est toujours très-facile, à Taide de nos Tables, de trouver le taux avec une trës-grande approximation. On n'a qu'à calculer le prix d'achat pour deux taux entre lesquels est compris le taux en question, et Ton trouve alors ce dernier au moyen de l'interpolation. Le logarithme de l'annuité est suffisant; il n'est pas nécessaire d'en chercher la valeur numérique.

Si l'on a recours a l'interpolation simple du premier degré, le taux est trop grand> mais d'une assez faible quantité.

Exemple CXVII. — Une annuité de 2^00^^, d'une durée de 37 ans et différée de 6 a/w, est achetée au prix de 37000'^. Quel est le taux de V intérêt produit par le prix d'achat?

A 4 pour 100 :

A 4i pour 100