LXIV

Pour trouver le montant d'une annuité placée à la fin de chaque année et augmentée de ses intérêts composés, on n'ii qu'à déterminer le montant de l'annuité de chaque année, en supposant que chacune a fructifié à intérêts composés depuis le terme de son échéance.

Soient donc

a l'annuité ou renie annuelle;

n le nombre d'années ou le nombre d'annuités;

S le montant des annuités.

Le premier payement de a'' ayant du avoir lieu [n — i), le second [n — 2;, le troisième {n — 3) années auparavant, et ainsi de suite, le montant de ces payements sera :

Pour le premier xr*''

Pour le deuxième oLr*'^

Pour le troisième a/"~'

et ainsi de suite jusqu'au dernier ou w""**, dont le montant sera ot^% puisqu'il est à son terme d'échéance. La somme de toutes ces valeurs pour n années sera le montant de l'annuité pendant n années ou

d'où

En retranchant la première équation de la seconde, on a

rS — S, ou S ^ r — I ; , OU /S -- a r" — a ;

d'où

et

La formule f24) peut aussi s'écrire comme il suit :

et, si l'on exprime par y la valeur actuelle de /i annuités de i*"^ (p. 3o)

la formule ci-dessus deviendra

(:>.6) S~ixr''o,

montant de n annuités de a^^ placées à la fin de chaque année. Si l'on désigne par S' la somme de (n h- i) annuités arriérées, on obtient

Mais

par conséquent

on a donc

rb — - :

S' — rS ==: -: - r - i - OL ei S' -- rS -t- a,

c'est-à-dire que le montant de (/iH- i) annuités arriérées est égal au montant de n annuités arriérées, augmenté de l'intérêt de ce montant pour un an et d'une annuité.