LXV
Il serait inutile de répéter les calculs qui ont été l'objet du § XXXVII, dans les cas oii l'intérêt et l'annuité sont payables plusieurs fois par an.
Si l'annuité et l'intérêt sont payables tous les G mois, prenez la moitié de l'annuité et du taux, et doublez le nombre des payements.
D'une manière générale, quand tous deux sont payables aux mêmes termes, v fois par an et à v intervalles égaux, divisez l'annuité et le taux par le nombre v, et multipliez parv le nombre des payements. Le montant augmente à mesure que le nombre des payements annuels augmente, et il atteint son maximum lorsque v est infini, c'est-à-dire lorsqu'on suppose que les payements de l'annuité et de l'intérêt doivent être continus.
Ainsi, par exemple, nous avons pour le montant de i*^' par an, pendant aS ans, et à 5 pour loo, lorsque l'annuité
et rinlérêt sont payables.
Annuellement 4/ î7î*9'9
Tous les six mois 48,74^^17
Tous les trois moi.< 49*26809
Tous les mois 49j6258o
D'une manière continue 49,80686
Enfin, lorsque les termes pour les payements de Tannuilé et de l'intérêt ne coïncident pas, on doit se servir des indications données relativement aux annuités immédiates.
Si l'annuité se paye plus souvent que l'intérêt , calculez d'abordlemonlantde l'annuité, ensupposantl'annuité payable aux mêmes époques que l'intérêt, multipliez ensuite le résultat par le facteur constant P,
S:- : C/.r"oV.
Si, au contraire, l'annuité se paye moins souvent que l'intérêt, divisez le montant qui correspond au cas de l'annuité concordant avec l'intérêt par le rapport constant Q,
Exemple CXXVIII. — On met de côté, pendant 82 ans, une rente annuelle de 1 000000^^'; à quelle somme s'élèvera cette rente au taux de 5 *jpour 100 par an?
Ici,
ce : 1 000000, / : .5 1, n - 82, ;• -.-- I ,of)5.
log/ - 0,023^524 ^963371 II
logr'- 1 ,90670168996434 /•''- 80,66807436148
S--- l4485Io4^42f^936.
Exemple CXXIX. -- A quelle somme une rente semestrielle de aSgo*^* s élèvera-t-elle en '6-] ans, placée à intérêts composés,
à la fin de chaque semestre^ le taux étant de f\ ^ pour i oo payables par semestre?
Iog259o ■•-. 3,4182998
(Tab. 9) log^-= 1,5548446
\ogr'^ =--^ o,7i5o85{
logS--- 5,G83'2298
Exemple CXXX. — Calculer le montant d' une rente annuelle de 1800'"% pendant 5o ans; la rente se paye tous les six mois, et V intérêt, convertible par semestre, est de ^ pour loo.
logx -- 2,95^2425
logy : 1,5636484
logr'*".- i,o7>.3865
logS-- 5,5902774 S ^ 389293''", 70.
Quel serait le montant de la même annuité payable par trimestre ?
(Tab. 63) P, - 26892 logS — 5,5929666
S — 391 71 i^'",7o, montant cherche.
Exemple CXXXI. — A quelle somme une annuité de 54oo^', mise de côté pendant 28 ans, s'élèierait-ellej lorsqu'on la reçoit tous les mois et quon la place à intérêts composés par portions égales de 45o^'\ l'intérêt, convertible en capital deux fois par an, étant de 3 Ipour 100?
loga : 3,43i3638
(Tab. 6) logi- - 1,^862963
log/*' - 0,3711106
(Tab. 63) P, 0,0033676
logS ^--- 5,2921 383 S-^i959i6%85.
fialance entre les montants d'un capital et d'une annuité.
Exemple CXXXII. — 300000*^^' sont placés à 4 v pour 100 par an: à la fin de chaque année ^ on en tire 1 5 000*^ ; combien restera-t'il du capital après 21 ans?
Montant du capital,
log3ooooo — 5,477î2i3 logr"..^ 0.9.806432
logM = 5,7577645 M=- 572485^'',4o.
Montant dr V annuité.
Iogi5ooo = 4j 1760913
log/-'':^ 0,2806432
log7= 1 .189-7S8
logS^ 5,63()4633 Différence i365o8^'",7o.
Si nous appelons C le capital, a Tannuilé et x la différence entre les deux montants, nous avons [(ormule (24)]
ou
par conséquent,
X rr: 480OOO -4- SoOOOO — 4^0000) . I*"
X zzz r365o8'^'', 7c,
eonime ci-dessus.
Exemple CXXXIII. — De 'j3oo^'\ placés à intérêts composés.
à 4i pour 100 par an, on retire chaque année 200^ \ Que restera-t'il du capital au bout de 35 ans, l'intérêt et l'annuité étant payables tous les six mois?
Montant du capital,
3,8633ji29 0,6399.4^9
4 , 5o'25r)78 3i8oo''",3o.
Montant (te l'annuité.
Reste du capitaL . . . 16009^', 95.
Exemple CXXXIV. — 1 5ono^' sont placés à intérêts composés à 4 pour 1 00 par an; à la fin de chaque année on y ajoute 400^', qui fructifient aussi au même taux; quel sera le montant total au bout de *i2 ans?
Montant du capital.
Montant de ^annuité.
par conséquent, 47024^S3o est le total demandé.
Calcul de la rente annuelle et du temps.
Ë3CEMPLE CXXXV. — Quelle est la rente annuelle qui, au taux de 5 ~ pour loo, s'élèvera dans a8 ans à 360000^*"?
d'où
a :^ lin ~ •
logS-5,5563o
logo-- 8,83858
Ctlog/-"-9^78
loga 3,77!iG() a— 5924'^<io (renie annuelle).
EXEMPLE CXXXYI. — Combien faut-il placer à la fin de chaque trimestre pour obtenir ^Sooo*^** dans i[\ ans, le taux étant de l\ J) pour 100, convertible tous les six mois?
logS^ = 4 j 87506
(Tab. 10) logr/ 8,54578
CLlogr^» = : 9,51069
loga= 2,92898 a = 849^^ i5 par semestre, ou 1698'' , 3o par an.
Exemple CXXXVII. — Dans combien d'années une annuité de 3i2(/^ s' élèvera-t-elle à 200000'"*, au taux deZ^ pour 100?
Ici nous nous servons de la formule (25) /'"= i
Iog53i = 2,72509 logi56 -= 2,19312
logr"-= 0,53197
o,53i97 lo-r
logo, 53197- 9,72589 logV: 8,sio38o
log/î = 1 ,52209 // - 33"" ,273 ou 33''"''iooi''"".
Exemple CXXXVIII. — Une annuité de a25o^' par an, payable tous les trois mois, s'élève à icoooo'^', à ^\ pour 100 par an. Quel est le nombre d'années de V annuité?
Ici nous pouvons employer la formule (26)
/S S/ 17 aP a 9
1 Sï
'°°aP
aP
lo^9.,85()5 log/*
log;
log'-
logV-
log« ^-
n = 25="'', 243 ou /î = 25*"* Sgï'"".
§ LXYI. — Montant des annuités augmentant ou diminuant
EN PEOGRESSION ARITHMÉTIQUE.
Soient a rannuilé placée à Texpiration de la première année, el d l'accroissement annuel de cette annuité; le mon-
tant sera
S =rr ar^'^ [oc -h rf)r"+»-h . . . -f- a -I- (n — i)d
=rr" -H —H 1 \ ^~ -'- .
Lr r* r* r" J
Mais nous avoDS déjà trouvé [formule (19)] que cette dernière suite de termes est égale à f a -+- /irfH- - J <p — --; par conséquent,
S:- (a -f- na -4- - j r"9 -;
et, comme r"(p = -(r" — 1),
Si l'annuité va en diminuant, le signe de d demande à être changé dans cette dernière équation.
Exemple CXXXIX. — Déterminons le montant de 21 annuités , placées à 4 pour 100 par an^ à la fin de chaque année, dont la première est de ZM^ ; V annuité augmente de i '*" chaque année.
a = 36o, d=-i, n=:iîf 1=10,0^, S — i525or"— aoSoo.
Jogi525o= 4,1832968
fr 34751,21
2o5oo
montant de l'annuité.
§ LXVII. — Taux d'intérêt.
On trouve le taux par Tinterpolation de nos Tables de logarithmes qui donnent une exactitude plus que suffisante
dans les cas les plus pratiques; on pourra faire usage aussi de la formule que nous établissons plus bas.
Exemple CXL. — On a reçu 7 1 o443''» 60 pour 37 annuités de 1 5 000''» payables à la fin de chaque année. Quel est le taux?
S Ici nous pouvons nous servir de la formule - = r^y .
logS= 5,85i53 loga=r 4,17609
log/-»<ï>=^ 1,67544
Mais \o%r"(f devient
A 4 pour 100. A /| 7 pour loo.
logr"= 0,45990 log/^ = 0,47398
logf = 1,21298 logy— 1,20692
Différence 802
La différence entre le 4 pour 100 et le logarithme obtenu est égale à 256; le taux est donc
4 4-7T-7T- ~4 ,0399 pour 100 par an.
Le taux ainsi obtenu par simple interpolation est toujours un peu trop faible; ainsi, dans l'exemple précédent, sa valeur vraie est de 4 > 04 pour 100. Mais 4» o4 pour 100 correspond exactement à 2 pour 100 par semestre ou à 4 pour 100 par an, rintérét étant convertible tous les six mois.
§ LXVIIL — FORMDLB GÉNÉRALB POUR TROUVER LE TAUX
