LXXIII
Le taux des annuités à dividende croissant s'obtient au moyen de l'interpolation, comme le taux des annuités immédiates.
Exemple CLI. — Quel est le taux d^une annuité de 680*^^, exigible pendant 21 ans, dont le premier payement aura lieu
dans lo mois ^ et qui a été achetée au prix de 874^^^,20.
A 5 pour 100. A. 5 f pour loo.
loga = 2,83a5i loga = a,83tt5i
log<p = 1 , 10793 logf = 1 , 10793
logr* = o,oo353 logr* = o,oo362 3,94397 3,93929
Différence 468
log874292o = 3,94162.
La différence avec le 5 pour 100 est égale à !235; par conséquent,
I 235 / = 5 -*-u'77nî = 5^ pour 100 par an, ou 2y pour 100 par semestre.
Exemple CLII. — Trouver le taux annuel pour une annuité de 2800^'f exigible pendant 3 1 ans ^ payable par trimestre y as^ec une entrée de deux mois^ et que Von apayée 44522^*^,90.
A 5 pour 100. A 5 |pour lOO.
loga = 3,44716 loga = 3,44716
logy = 1 1 19292 log^ = 1 ,18662
logr* = o,oo353 logr* = o,oo362
Différence 602
log 44^22, 90 == 4964858.
La différence avec le 5 pour 100 est égale à 3o2; par conséquent,
/ = 5-+- TT'TT — =5~pouriooparan, ou2| pour toopar semestre. § LXXIV. — Taux des rentes sur l'État.
Les dividendes semestriels des rentes se payent à des époques fixes :
Le S janvier et le S juillet.
- ao8 -
Les consolidés 3 pour loo, le 3 pour too de 1726, les nouvelles annuités 5 pour 100, et les annuités viagères transférées entre le 5 janvier et le 4 avril, ou entre le 5 juillet et le 9 octobre.
Le 5 avril et le 10 octobre : la rente de la Banque, le 3 pour 100 réduit, les annuités à longs termes, les annuités viagères transférées entre le 5 avril et le 4 juillet, ou entre le 10 octobre et le 4 janvier.
Par conséquent, au moment de l'achat des rentes, \e temps de Ventrée, c'est-à-dire le temps écoulé depuis le payement du dernier dividende, doit être pris en considération.
Par exemple, si Ton achète le 5 mars des consolidés 3 pour 100, nous ferons remarquer que, d'une part, l'intérêt de deux mois, environ |**S qui n'est payable que 4 vaoïs après, et, d'autre part, tous les payements sont avancés de a mois.
Soit donc C le prix entier de la rente 3 pour 100 [c'està-dire le prix de cette rente, y compris le courtage (')], avec
une entrée de y de semestre.
Soit / le taux semestriel vrai, nous aurons
Exemple CL\\\. — Trouver quel doit être le cours des consolidés 3 pour 100 au 17 mars, pour que r acheteur place son argent au taux deZ\ pour 100 payable par semestre.
Du 5 janvier au 5 juillet, il y a 181 jours, au 17 mars, 76 jours ; par conséquent,
y = -ô- et / == I -, pour 100.
(') Le droit de courta^^e pour la yente ou l'achat des rentes est de \ pour loo sur la quantité de la Rente, et ne peut jamais être moindre que i*, quelque faible que puisse être la somme transférée.
Les frais de courtage ne sont pas toujours les mêmes ; quelques agents de change demandent six pence pour chaque rente de lo*" ou au-dessous; d'autres i* pour 35^S i%6^ pour 5o'»*, a' pour 75^»* ou au-dessous, et a»,6<* au-dessus de 75*»*.
logii= 0,17609 Ctlog£= 1,78915
jlogr= 0,00294
logC» 1,96818 C = 92,810 Courtage 0,125
Total des frais * . . 9^,935
Pour trouver le taux d'une somme d'argent placée en rentes 3 pour 100, nous avons la formule
en la développant d'après le théorème du binôme, et en négligeant les puissances troisièmes et au-dessus de /, on a
3(" t 0(1 M 3 3/ 3/»/ i\ d'où
En laissant de côté, comme de peu de valeur, le dernier terme de cette équation, on a
Mais —r est Vintérét simple d'une rente de ioo^*S correspondant à t; de semestre; par conséquent, pour trouver,
par l'approximation du premier degré , le taux d'une rente 3 pour 100, calculez la valeur du dwidende proportionnel ou croissant^ depuis le terme d'échéance du dernier dividende jusqu'au jour donné; retranchez-la du prix donné de
i^ rente, afin de trouver le prix net et divisez par ce prix net le taux semestriel.
EXEMPLE CLIV. — Trouver le taux d'intérêt que l'on retire d'une somme d'argent placée en consolidés 3 pour loo^ à 94 j pour loo, au i^ janvier 1877.
Du 5 janvier au 5 juillet, il y a 181 jours; du 5 janvier au 19 janvier, i4 jours. Le dividende, pour 181 jours, étant de I |**S le dividende proportionnel sera de o^'^i 16; par conséquent,
ut Prix 94 i75o
Droit de'courtage o, ia5
Total des frais C = 94 ,875
Dividende proportionnel — 7 = 0,116
Prix net des rentes C j = 94 î759
abstraction faite du dividende, et i|*** divisé par ce dernier nombre donnera 1,38296 pour 100 par semestre ou 3, 1659 pour 100 par an.
Exemple CLV. — Quel est le taux d'intérêt des consolidés à 98 {pour 100, au 10 novembre i858?
Du 5 juillet au 5 janvier, il y a 184 jours; du 5 juillet au 10 novembre, 128 jours. Le dividende proportionnel sera
ht
Prix 98,250
Courtage o,i25
Total des frais C - 98,375
Dividende croissant i ,043478
Prix net C 7 = 97,33i5aa
i'**^ divisé par ce nombre donnera i,54ii25 pour 100. Le taux obtenu par la simple application du premier
terme de Téquation (3i) est toujours trop grand d'une quantité inférieure a la valeur du second terme fractionnaire; ainsiy si nous prenons pour valeur de t le résultat que nous venons d'obtenir, nous avons
logr» = 6,376 log^ = 9,842
log(i-j) =9,483
Cllog(c-^^ = 8,012
Ainsi le logarithme du second terme fractionnaire est 3,588.
Le nombre correspondant à ce logarithme est. . . . 0,00000039 En le retranchant de o,oi54ii25
Nous avons pour valeur corrigée de / 0,01 54 1086
taux vrai, au dernier chiffre près; par conséquent, le taux de l'intérêt est de 3,082172 pour 100 par an, payables par semestre (*).
(*) Ici 86 termine la partie théorique de rOuYrage deFédor Tlioman 8ur les intérêts composés et les annuités. Avant de présenter les Tables dont elle est la base, nous croyons utile de joindre au présent Traité un extrait d'un autre OuTrage du même auteur {^Tabla de logarithmes à i'] décimales pour les calculs de précision) , dans lequel on indique un procédé facile et simple pour trouver, au moyen de trois Tables, le logarithme d'un nombre donné ou le nombre correspondant à un logarithme donné, jusqu'à dix chiffres exacts. Les trois Taldes en question viendront à la suite de celles qui concernent les calculs d'intérêts composés et d'annuités et porteront les numéros VIII, IX, X.
