II. — Rbchbrchb du logarithme par la hétbode des réciproques
APPROGBÊS.
Dans tout logarithme vulgaire, on distingue deux parties: le nombre entier ou caractéristique, et la partie décimale ou mantisse,
La caractéristique renferme toujours autant d'unités moins une qu'il y a de chiffres à la partie entière.
La mantisse^ seule partie du logarithme que Ton inscrive dans les Tables, est aussi la seule qu'il faut calculer et dont nous ayons à nous occuper. Elle est complètement indépendante de la position de la virgule décimale dans le nombre; on pourra donc considérer les nombres indépendamment de la
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position de la virgule; il en sera de même des facteurs auxiliaires par lesquels nous aurons à les multiplier: par conséquent, dans les calculs qui vont suivre, on placera la virgule décimale du nombre dont on cherche le logarithme, ainsi que celle des facteurs, de la manière qui semblera la plus commode, soit pour le raisonnement, soit pour le calcul.
Notation. — Pour faire usage de nos Tables, nous emploierons une notation qui facilite considérablement le calcul, et qui ne peut donner lieu à aucune équivoque; pour la faire comprendre immédiatement, il suffit d'en donner quelques exemples avec la traduction en regard. Ainsi,
o,o'8 signifie 0,0008
Les nombres donnés sous celte forme servent de multiplicateurs; mais les multiplications sont très-faciles.
Pour effectuer la mulliplication d'un nombre décimal quelconque par un nombre de la forme ( i ±: — -\^ on sépare d'abord du multiplicande les n derniers chiffres, ce qui équivaut à la division par 10"; puis on multiplie les chiffres qui restent par le facteur a; le résultat de la multiplication ajouté ou soustrait, suivant le signe de a, donne le produit demandé.
Exemple I. — Soit à multiplier 1,00006. 55 1 77 /?ar 1,0002.
1 ,00006 55177 X I ,o'a tï i3i
Produit 1 ,00026 553o8
Exemple II. — Multiplier o,ggc)g'j o3/\^6n par i,oooo3.
o 1 99997 034567 X 1,0*3 a 9999" Produit i,o« 34478
Exemple III. — Multiplier 1,000000471a 5x683i par <>i9999996-
Produit 1,0' 71a 5i4946
LOGARITHMB DE (idld).
Désignons par e la base des logarithmes naturels :
e=iOL-\ 1 --i ^-y-f-.. . = 2,71808 18284-
et par ^ son logarithme vulgaire,
k -- loge = 0,43429- • •>
le nombre k s'appelle le module des logarithmes vulgaires.
Lorsqu'un nombre diflere peu de l'unité, soit en plus, soit en moins, de manière que les n premiers chiffres après la virpfule décimale soient tous des zéros, ou tous des 9, son logarithme a 2/1 chiffres est égal au module multiplié par la fraction décimale qui est la différence entre ce nombre et l'unité,
ou
log(i + ô) = /t9,
log(i — 0) = — /r0.
Ainsi, on trouve avec dix décimales exactes .
log 1,000004= 0,0000017372 ^
Jogo ,999996 = — 0,00000 17372 = 9,99999 82628
La colonne A-9 de la Table VIII contient les 100 premiers multiples de k, et donne, soit directement, soit à l'aide d'une simple addition, les logarithmes à 2/1 décimales de tous les nombres composés de l'unité suivie de /^ zéros au moins, et de tous les nombres commençant par n chiffres 9.
On prendra les chiffres de la fraction décimale deux à deux, et Von écrira au-dessous le produit par le module, produit qui sera toujours un peu moindre que la moitié du nombre exprimé par les deux chiffres.
— ai6 — EXEMPLE IV. — On demande avec 1 1 décimales
log I y oûoao ^49^«
Ce logarithme est égal à
Donc log 1,0*34969 = 0,0*1 5 187
Exemple V. — On demande avec 1 1 décimales
Jog 9999996503 1.
On a
donc son logarithme sera égal à
ou, d'après l'exemple précédent, égal a
— 0,0*15187; d'où
'og 999999^503 1 — 10,99999984813.
