RÉCIPROQUES APPROCHÉS
Puisqu'on connaît directement le logarithme de (i ±.0), lorsque est suffisamment petit, il est évident que l'on connaît le logarithme de tout autre nomhre, lorsque, en le multipliant par un ou plusieurs facteurs compris dans les Tahles, on obtient un produit de la forme (1 ±1 6), On y arrive facilement au moyen des réciproques approchés.
Deux nombres sont réciproques l'un de Taulre lorsque leur produit est égal à l'unité; ainsi,
6,4 et o,i5625
soDt réciproques; car,
Soit a une quantité moindre que Tunité; il résulte de la relation
que
donc
^,^a){i-a^^^=i et (, ^ a) (. + a+ ^)^ ..
On voit que la somme d'un nombre et de son réciproque est toujours plus grande que 2; mais elle n'en diffère que d'une quantité à peu près égale au carré de a, lorsque celui-ci est petit. Par conséquent, si a est suffisamment petit, et si d est une quantité moindre que a, (i + a) sera le réciproque approché de(i — a-hrf) et (i — a) sera le réciproque approché de (r -f a -h d).
Désignons le nombre par N et son réciproque par R, de manière queNR = i; et soit, par exemple, a = o,ooo3; le réciproque de i,oo3 sera plus grand que 0,9997 ; mais il n'en diffère que d'une quantité moindre que 0,00000009; ^^ ^^^^ on a
N 1= I ,ooo3, donc
R>o>9997» R — 0.999700089973 et N h- K ^a^o'Sgg^S.
Le produit d'un nombre par son réciproque étant égal à l'unité, il s'ensuit que, si l'on multiplie un nombre par son réciproque augmenté ou diminué d'une petite quantité, le produit sera plus grand ou plus petit que l'unité, qu'il sera de la forme (i ±^), et que la quantité sera d'autant plus petite que la différence entre le réciproque approché et le réciproque exact sera moindre.
Ainsi, par exemple, le réciproque de 5,3 est o, 1 88679. . . et leur produit est égal à l'unité; si, au lieu d'employer pour
facteur le réciproque exact 0,188679... on multiplie 5,3 par 0,19, valeur approchée àixTécii^voquef on obtient pour produit 1,007.
De même, le réciproque de i,ooo8oo6543 est plus grand que 0,9991993/157, et si Ton multiplie ce nombre par 0,9992
ou i,o'8, on obtient pour produit 1,0^1 38.
Enfin, comme nous allons le démontrer plus loin, tout nombre peut, à Taide d*une ou de plusieurs multiplications par des réciproques approchés, être amené à un produit de la forme {i ±.6) dont on trouve directement le logarithme dans la Table X.
La question de la recherche des logarithmes se réduit donc à choisir des réciproques approchés qui soient tous compris dans la Table. Il est facile de remplir cette condition à l'aide des considérations suivantes :
f . — Tout nombre multiplié par son réciproque forcé au second chiffre donne pour produit l'unité suivie immédiatement d'un zéro au moins.
En effet, si Ton s'arrête au second chiffre du réciproque, en l'augmentant d'une unité, il est évident qu'on l'aura augmenté de moins d'un dixième de sa valeur; par conséquent, en multipliant le nombre par son réciproque forcé, on aura un produit plus grand que i, mais plus petit que 1,1; donc le premier chiffre décimal du produit sera nécessairement un zéro.
Exemple: le réciproque de 77 est 1 298701 ; si l'on multiplie 77 par i3, on obtient pour produit 100 1.
La Table VIII (colonne - j donne les réciproques de tous les
nombresnaturelsde i à 100; pour connaître le réciproque forcé
d'un nombre, on prendra dans la colonne intitulée - deux
nombres consécutifs, l'un plus grand, l'autre plus petit que le nombre donné, abstraction faite de la virgule décimale; puis on multipliera par le plus grand des deux réciproques.
Ainsi, par exemple, élant donné le nombre 27803345, on trouve dans la Table que ce nombre esi compris entre 2857, réciproque de 35, et 3778, réciproque de 36 ; donc le réciproque de 2780 est compris entre 35 et 36, et, en le mullipliant par 36, on doit obtenir un produit plus grand que l'unité, mais moindre que 1,1 ; en effet, •
II. — Lorsquun nombre est composé de U unité suivie (V une fraction décimale dont les premiers chiffres sont des zéros et quon le multiplie par r unité diminuée de la valeur du premier chiffre significatif, on obtient toujours un produit plus approché de V unité que le nombre donné.
Ainsi, par exemple, si les premiers chiffres du nombre donné sont 1,0004..., on le multiplie par son réciproque approché au cinquième chiffre i,o'4.
Comme le réciproque de i,oM ou de o, 9996 est
il s'ensuit que, si le nombre donné est plus grand que ce réciproque, c'est-à-dire s'il est compris entre 1,00049999 et 1,00040016, le produit sera plus grand que l'unilé, mais il
sera toujours plus petit que i,ooo5 x 1,0*4= 1,00009980; par conséquent, le produit aura toujours au moins un zéro de plus après la virgule décimale. On aura, par exemple :
I , o'4oo 1 7 X I , o'4 - - ï > o' I .
Enfin, si le nombre donné est moindre que le réciproque
de i,o'4, c'est-à-dire s'il est compris entre 1,0004.0016 et 1,0004.0000, le produit sera moindre que l'unité, mais plus
grand que i ,o'4 X i ,o"4 — 0,99999984 ; par conséquent.
nuée.
les zéros seront remplacés par un nombre au moins double de chiffres 9. Ainsi Ton aura
I ,o»4oo 1 5 X I , o»4 = o , 99999999, I ,o»4ooo3 X I ,o»4 = 0,99999987.
Désignons, en général, para la valeur absolue du premier chiiTre significatif et par d la valeur de la fraction décimale qui le suit : le nombre sera ( i -h a -i- rf), et si Ton effectue la multiplication par le réciproque approché (i — a), le produit sera
par conséquent, le premier chiffre de la fraction décimale sera supprimé, et la fraction décimale qui le suit sera dimi-
Mais le réciproque de (i — a) est ( i H- a H — ;^-j -, donc,
si d est plus grand que ? le nombre (i h- a -hû?) est plus
grand que le réciproque de (i — a), et le produit sera plus grand que l'unité; mais il aura au moins un zéro de plus que ( I -h a -f- rf), attendu qu'il sera moindre que (i -h d). Exemple :
Si d est moindre que -3—5 le nombre (i + a H- rf) sera
plus petit que le réciproque de (i — a) ; donc le produit sera compris entre Tunité et (i + a) (i — a) = i — a^.
Or a est un nombre entier du n*^* ordre décimal, compris entre i et 9; donc son carré à^ sera du 2/1*^"** ordre décimal et compris entre i et 81 , et si (i -h a) contient [n — r) zéros après la virgule décimale, (i — a-) contiendra un nombre de 9 au moins double. Exempte
— aai —
III. — Lorsqu'un nombre commence par plusieurs chiffres 9 et qu'on le multiplie par l'unité augmentée du complément arithmétique du premier chiffre décimal à la suite des 9, on obtient toujours un produit plus rapproché de l'unité que le nombre donné.
Ainsi, par exemple, soit le nombre donné 0,9996...; on le multipliera par i,o'4- Comme le réciproque de i,o'4 est 9996001599... il s'ensuit que, si le nombre donné est plus grand que ce réciproque, c'est-à-dire s'il est compris entre ^'999^9999 ^^ 0,99960016, le produit sera plus grand que l'unité, mais il sera plus petit que
par conséquent, on obtiendra pour produit l'unité suivie d'un nombre de zéros plus considérable que le nombre des 9 par lesquels commençait le nombre proposé. Ainsi, par exemple, on aura avec 8 décimales :
0,99965696 X 1 ,0*4 = 1 ,0*5682, 0,99960694 X I ,o'4 — 1 ,0*678, 0199960094 X 1,0*4= «iO«78, 0,99960024 X I ,o»4 = « ,o'8, 0,99960016 X I,0'4= !•
Enfin, si le nombre donné est moindre que le réciproque de i,o'4» c'est-à-dire s'il est compris entre 0,99960016 et 0,99960000, le produit sera moindre que l'unité, mais plus
grand que 1,0*4 x *»o'4 = o>99999984; par conséquent, on aura, après la virgule décimale, un nombre de 9 au moins double; par exemple,
En général, désignons par a le complément du premier cbifiTre après les 9, et par d la valeur de la fraction décimale qui suit; le nombre sera (i — a -t- rf), et, si l'on effectue la multiplication par le réciproque approché (i -+- a), le produit
sera j -^ d — a{a— d). Mais le réciproque de (î h- a) est
I — a H — - — I ; (lono, si rf > — — le nombre (i — a -+- é/j
sera plus grand que le réciproque de (i -ha) cl le produit sera plus grand que Tunité; en outre» puisque ce produit est moindre que (i + ^), il aura au moins un zéro de plus que le nombre n'avait de 9,
Par conséquent, tous les 9 et le premier cbifTre de la fraction décimale a seront supprimés, et la fraction décimale qui les suit sera diminuée de a (a — d). Exemple :
Si rf< ? le nombre (i — a -^- d) sera moindre que le
réciproque de (i -f-a), et le produit sera moindre que Tunité, mais plus grand que (i — a) (i -f- a) = \ — a^.
Donc, si a est un nombre entier du n*^""* ordre décimal, compris entre i et 9, son carré a^ sera du 2n**"* ordre décimal, et compris entre i et 81, et, lorsque (i~a) contient (n — i) chiffres 9 après la virgule décimale, (i — a}) contiendra un nombre de 9 au moins double. Exemple :
La Table X contient les logarithmes des nombres de la forme ( I -h —A » depuis n = i jusqu'à n =6.
En résumé, d'après ce que je viens de démontrer, toute la recherche du logarithme d'un nombre donné se réduit à multiplier successivement le nombre par des réciproques approchés au second chiffre significatif, jusqu'à ce qu'on soit arrivé à un produit de la forme {1 :±lO) dont on trouve le logarithme par simple addition.
On multiplie d'abord le nombre donné par son réciproque
forcé au second chiffre; le produit sera un nombre composé de Tunité et d'une fraction décimale commençant par un ou plusieurs zéros; ensuite ce produit multiplié par l'unité diminuée de la valeur du premier chiffre significatif (c'est-à-dire ^^v ^on réciproque approché ^\x deuxième chiffre) donnera un nouveau produit ayant après la virgule décimale au moins un zéro de plus.
En continuant de procéder ainsi, on finira par obtenir un produit de la forme (i -4- d)et dont le logarithme est égal a AS.
Soient
Nie nombre donné; p son réciproque forcé;
(i — a), (f — b), (i — c), ... les autres facteurs;
f — a), ( — 6), ( — 7), ... leurs logarithmes respectifs;
(i -h C) le produit final.
On aura
Np(i — a)(i — fcj (i — c)... r=: 1-4-6;
d'où
JogN H- \o%p — ( a -h 6 -h y -f . . . ) = **6 et
logN=Cllog/?4- (a -h 6 4- y 4- . . .) 4- A*6.
OrlaTableYIII (colonne-) contient les compléments des
logarithmes des 100 premiers nombres naturels; la Table X [colonne — log(i — 5)] contient les compléments des logarithmes des nombres de la forme (i —\\ et la colonne Aô
de la Table YIII contient les multiples de A.
Par conséquent, au moyen de ces deux Tables, il sera toujours facile de trouver le logarithme de tout nombre donné.
Exemple VI. — Cakuler avec dix décimales exactes
Iog5882365432.
En multipliant le nombre donné par son réciproque
— aa4 —
forcé 17, on obtient pour produit i,o'2 12344* dout ou trouve, Table YIII, le logarithme au moyen d'une simple multiplication par le module. Voici tout le calcul :
«91 76955 1 07862 = et log 1 7 ( Tab. Vffl )
logN = 9,76955 200082
Exemple VIL — Calculer avec dix décimales exactes le logarithme de 1,96471598.
On voit (Table VIII) que le réciproque du nombre donné est moindre que 5i; en multipliant le nombre par 5i, on obtient pour produit i,oo2oo5... qui, multiplié lui-même par
son réciproque approché p^g^S on 1,0^2, donnera pour produit final 1,0^11395 dont on trouve directement le logarithme (Table VIII, colonne >tô).
Voici tout le calcul :
1 ,0020051498 X 2 4oio3
^log(n-
:-10gl,
= Ctlog5i
o»2 (Tab.X)
(Tab. Vm)
o , 29329 97775 =r logN .
Exemple VIII. — Calculer le logarithme de i , ooo4o o 1 2 1 3 wec i o chiffres exacts . ,
1, 00040 oi2i3o X i,o''4 4 i6oo5
-i683.^1og(i — ô) 0,0^ 17375255 = et logi,o"4 (Tab. X)
0,0001737357a -- logN.
Dans cet exemple, le produit du nombre donné par son
réciproque approché i,o^4 est moindre que l'unité; par conséquent, son logarithme est négatif.
Exemple IX. — Déterminer avec 10 décimales
log99982 345678.
0,9998a 345678 X I jo'a
a 47 1,0^ 34aioo -- 1 -f- 147660
868598 = et lOg 1,0* 2
99991 3i4979 = Ctlog I ,o=»2 I ï )99992 332149 =" ïogN.
