Recherche du kombre
Lorsque le logarithme donné est une fraction décimale, positii'e ou négative, dont la première moitié au moins est composée exclusivement de zéros, le nombre correspondant est
égal à Tunité, plus le logarithme divisé par le module; ainsi^
si \ogx = 6j on aura
et, si logo? = — 0, on aura
Or, puisque k = 0,43429. . . , on a
par conséquent, le nombre cherché est un peu plus grand que l'unité augmentée du double du logarithme.
Par exemple^ si logo; = 0,00001 . . . , on a
X ^= i ,000028026, et si logo; = — 0,00001 = 9,9999,
La colonne j de la Table IX contient les loo premiers multiples dey > et donne, soit directement, soit à l'aide d'une
simple addition, les nombres à (3/1 — 1) chiffres de tous les logarithmes, positifs ou négatifs, commençant par n zéros. On prendra les chiffres deux à deux, en écrivant au-dessous le produit qui est toujours un peu plus grand que le double du nombre exprimé par les deux chiffres. La somme de tous ces produits partiels augmentée de l'unité sera le nombre cherché.
Par exemple, soit logo? = 0,0000001 5 1868, on trouvera (Tab. IX) :
Pour i5 345388
Pour 18 41447
Pour 68 i566
Pour j: 1 ,000000349689
Pour tout autre logarithme, le calcul du nombre corres-
pondant est très-simple : Du logarithme donnée on retranche celui de la Table /X, qui ien approche le plus par défaut; on agit de même pour tous les restes obtenus successii^ement^ en retranchant les plus grands logarithmes de la Table X contenus dans les restes; puis on cherche le produit des nombres correspondant aux logarithmes soustraits.
Il n'est pas nécessaire de continuer le calcul jusqu'à ce que tous les chiffres significatifs soient supprimés. Pour obtenir le nombre exact à (an — i) chiffres, on peut cesser la soustraction des logarithmes dès qu'on sera arrivé à un reste commençant par n zéros, et dont on trouve directement le nombre correspondant par simple addition. Eu résumé, si Ton désigne par x le nombre cherché , par logN, log(i -»- a), log(i + 6], ... les logarithmes soustraits du logarithme donné, et par Q le reste, de manière que
log^ = logN-h log(i -ha) -T-log[i + 6) -*-. . .-I- 6, le nombre cherché sera
Il ne faut pas oublier que, pour calculer un nombre avec n chiffres exacts, il faut connaître son logarithme avec [n -+- 1) décimales.
Exemple IX. — Calculer avec lo décimales le nombre dont le logarithme est 0,49714987269.
Le plus grand logarithme de la Table IX (colonne logéi), contenu dans le logarithme donné, est celui de 3i ; on retranche du reste les plus grands logarithmes de la Table X [colonne log(n-5)],jusqu'àceque le dernier reste contienne au moins six zéros consécutifs. Ce reste, 0,0*86108, est le logarithme de 1,0*19827; et ce dernier nombre, multiplié par les nombres dont on a soustrait les logarithmes, donne pour produit
:r = 3,iX i,oiXi,o'3Xi,o'3X 1,0*8 X 1,0» 198270,
ou
x:=^3, i4i59 26535, exact au dernier chiflre. Voici tout le calcul :
o,497«4 987269 = log.r 49i36 169333 = log3i 578817886 432 13737 8 = logi ,01 i46 68o5o8
1 3009330 2= logi,o'3 16587206
1 3 02688 i = lcgi,o*3 3 56o32 5
347421 7= logi, 0^8 86108
I ,oo338 3i 534 7 X 1 ,01 I 3 383i5 3
1,01 341 69850 o X 3i 3o,4o25o955oo
3,1415926535 = o: (valeur de tt).
Exemple X. — Étant donné loga? = 5,99999922549 > chercher x.
Lorsque la mantisse d'un logarithme donné commence par plusieurs chiffres 9, on abrège considérablement le calcul en ajoutant à ce logarithme le plus petit logarithme de la Table X, qui excède le complément de la mantisse. En effet, ajouter le complément d*un logarithme revient à retrancher le logarithme lui-même; par conséquent, l'addition en question n'est autre chose que la soustraction du plus grand logarithme tabulaire. Ainsi, dans cet exemple, le complément de
la mantisse est 0^0*77 ... : on prendra (Tab.X) le plus petit logarilhme qui contienne ce complément ; ce sera
o,o»86. . . ~ Cl logo, 99998,
ËQ ajoutant ce dernier complément au logarithme donné, on obtient pour somme 0,0^9408, de manière qu'au moyen d'une seule addition on a supprimé les sept premiers chifires de la mantisse.
log x =^ 99999 92254 9
86859 = Cllogi,o*2
Exemple XI. — On place chaque année dix milUons de francs; combien produiront-ils au bout de 99 ans, à 5 pour 100?
^^t^"— i), / = o,o5, rr=i,o5, «—99,
logr
: log r*
= log 12
i3oo933o2
1,0* 841289 X i,oMxi,o'5
montant de i^** au bout de 99 ans; de là on déduit
~(r"-i)--^24847858637fS
produit du placement de dix millionsdefrancspendantQgans.
TABLES LOGARITHMIQUES
