H ^"î"* ) =pc^''i

e étant la base du système des logarithmes hyperboliques (*) égal à 2,71811818.

§ VIL — Exemples d'intérêt payable par semestre, trimestre, etc.

Exemple Vill. — 4 combien s^élèveront 89855'', placés à intérêts composés à 6 pour joo pendant 7 ansy V intérêt étant convertible par trimestre?

Ce montant sera exactement le même que celui du même capital pendant 28 ans, à i |pour 100; par conséquent,

logM = Iog/> + log r'»^ logSgSSSn- logr*^.

log 39855 = 4,6004828 (Tab. 3) logr» = 0,181049a

(*} Quand on développe» d'après le principe du théorème du binôme, l'expression ( ' "*" ï ) ' °° obtient

+ ('-î) (■-?) (--ï) {'-DoTs-^-'

Si k est infiniment grand, c'est-à-dire si A = oc , la formule deviendra

(iH ) =l-f-H 1

ou, en décimales, 2,71 8281 8?8459o.'|5.

Ce nombre, dont le logarithme vulgaire est 0,4343944819» est exprimé par la lettre e.

log 0,434^94 48 19 = 9,6377843.

Si Ton demandait de déterminer la valeur de M = ( i + t ) 1 dans Tbypothèse A = 00 , nous l'aurions en substituant mt k k^ m étant pareillement égal à 00 ,

— lO —

Exemple IX. — QueUe somme s' élèvera à looooo^' en :i3 ans^ l'intérêt convertible par semestre étant de l\\ pour i oo ?

y- = -ï- = o,o225 = 2j et /f/i = 2 Xa3 = 46,

logp = logM — logr" = log looooo — logr**.

looooo = 5 (Tab. 8) logr*« = o,4445i

log M = 4,55549 M = 35932'% 5o.

Exemple X. — Quel est, au bout deS'j ans^ le montant de 1 00'^, placés à intérêts composés^ au taux de g pour 1 00, r intérêt étant annuel, semestriel, trimestriel et continu ?

i" Annuel (9 pour 100) :

logM = \ogp -h logr*'.

log p = 1 (Tab. 46) logA*'=3,a56io53

logM= 5,256io53 M == i8o34"-,55.

a® Semestriel (41 pour 100, kn = 1^4 = ïoo -4- 74) :

logM= log;?4- Iogr'»*-f- logr".

log;? = 2 (Tab. 27) logr'"= i ,9116290 logr'*= i,4i46o55

logM = 5,3262345

3® Trimestriel (2-j pour 100, /r/i = 348) ;

logM = log/> 4- (log r»*) X 10 -h logr".

log/? = 2 iologr**= 2,8989950 log /^•= 0,4638392

logM = 5,3628342 M = 23o586,70.

— 1 1 — 4* Coniinu (log«= 0,43419448, 71 = 87, / = -ph eiM=:;>. e"»)

logM = log» -f- log e X — — - • ' 100

log/j = a

?^^^i9ioge=3,4oo5a58 100 °

logM = â,4ooâa58 M = 25149a, go.

§ VIII. — Montant d'un capital quelconque pendant

DES FRACTIONS d'aNN^E.

Nous avons déjà montré que le montant du capital varie et augmente, quand TintérêJ, au lieu d'être payable annuellement, est convertible un nombre déterminé de fois chaque année et que, réciproquement, l'intérêt d'un capital quelconque, placé à intérêts composés, pendant une fraction d'année, est toujours moindre que la fraction correspondante de l'intérêt annuel.

Ainsi, si l'on devait recevoir à la fin d'un semestre :2^pour l'intérêt de 100^ placés à intérêts composés, on ne tardera pas à s'apercevoir que le taux de l'intérêt ne serait pas 4 pour 100 par an, mais 4t6 • ^^ réciproquement, si le taux est de 4 pour 100 par an, l'intérêt pour6moisserait inférieur a ripour 100.

Supposons donc que le taux soit tel que le montant de i'' k l'expiration de la première année devienne (i -f- /), et désignons par a? l'intérêt de i'^ pour v de l'année, le montant de ce franc sera

Au premier terme de conversion i h- x

Au second » » (i-hjt)'

Au troisième » » ( n- j:)^

Au «**"• » » (iH- j:)"

et enfin à l'expiration de la ^^^ période, c'est-à-dire à la fin de l'année, (i + â? )^; mais cette dernière valeur doit être égale

à (i +/); on a donc d'où

I + j: = V I -h / OU

12 if me

et, par conséquent, le montant du capital à la fin de la —p-