THÉORIE DIS LOGARITHMES

Toutefois , on peut insérer entre deux nombres donnés des moyens géométriques dont le nombre dépasse tel nombre donné qu'on voudra. 11 suffit pour cela que le degré de la racine à extraire soit une puissance exacte de 2, afin qu’on puisse trouver la raison par des extractions de racines carrées successives, et que cette puissance de 2 diminuée d’une unité, c’està-dire le nombre des moyens , dépasse le nombre donné.

17. Remarque. On pourrait n’avoir qu’un seul moyen géométrique à insérer entre deux nombres donnés, 2 et 32 par exemple; la raison est la racine carrée de 16 ou 4, et j’ai 2, 8, 32 pour la progression demandée.

Ce nombre 8, qui contient 2 autant de fois qu'il est contenu dans 32, est ce qu’on appelle la moyenne géométrique entre 2 et 32; or, f = ^-; multipliant le premier membre de l égalité par 8, puis le premier membre de la nouvelle égalité par 2, il vient 8’ = 32 X 2; par suite, 8 est la racine carrée du produit des deux nombres 2 et 32. Donc, la moyenne géométrique entre deux nombres donnés est égale à la racine carrée du produit de ces deux nombres.

10. Si, entre les termes consécutifs d’une progression géométrique on insère le même nombre de moyens géométriques, la raison est la même dans toutes les progressions partielles; par suite, ces progressions forment une seule et même progression géométrique.

En effet, pour l’obtenir, on extraira une même racine dy quotient de la division des termes consécutifs, quotient qui est le même dans toute l’étendue de la progression ; d’où il suit que toutes ces progressions partielles formeront une seule çl même progression, puisque le dernier terme de chacune pçr# en même temps le premier terme de la suivante.

Exemple. J’insère 3 moyens entre les termes consécutifs de la progression 7, 112, 1792, 28672, 458752,... et j’ai 7, 14, 28, 56, 112, 224, 448, 896, 1792, 3584 , 7168 , 14336, 28672, 57344, 114688, 229376, 458752,...

19. Il suit de là qu’en partant d’une progression géométrique donnée, on peut établir, soit exactement, soit approximativement, une nouvelle progression dont les termes consécutifs croissent d’une très-petite quantité. 11 suffit pour cela que le

nombre des moyens soit très-grand, car alors la nouvelle raison sera la racine de la raison primitive, mais d’un degré très-grand: cette racine différera donc très-peu de l’unité; par suite, chaque terme sera égal au précédent multiplié par une fraction très-peu différente de l’unité; et même, si l’on conçoit que le nombre des moyens à insérer dépasse tout degré possible de grandeur, la ditîérence des termes consécutifs dépassera tout degré de petitesse.

§ 2. Propriété» de» logarithme».

20. Si l’on compare les propriétés des progressions arithmétiques avec les propriétés des progressions géométriques , on est frappé d’une analogie remarquable :

Aux additions, soustractions , multiplications et divisions dans les premières, correspondent respectivement des multiplications, des divisions, des élévations de puissances et des extractions de racines dans les secondes. '

Ce rapprochement se présente avec plus de simplicité quand le premier terme de la progression arithmétique est zéro, et que le premier terme de la progression géométrique est l’unité. Alors chaque terme de la première est un multiple de la raison (4); chaque terme de la seconde est une puissance de la raison (13), et le degré de multiplicité, ainsi que le degré de la puissance, sont chacun déterminés par le nombre des termes qui précèdent. Si donc j’écris la progression arithmétique sous la progression géométrique, de manière que les termes de même rang se correspondent, le degré de la puissance sera égal au degré de multiplicité dans les deux termes correspondants.

Cela posé, si, d’une part, je multiplie deux termes quelconques de la progression géométrique , j’aurai une puissance de la raison qui la contiendra comme facteur autant de fois qu’il y a de termes en tout avant le premier et avant le second des termes multipliés; si, d’autre part, j'ajoute les deux termes correspondants de la progression, j’aurai un multiple de la raison qui la contiendra autant de fois qu’il y a de termes en tout avant le premier et avant le second des deux termes ajou-

lés ; par conséquent , celte puissance et ce multiple seront euxmêmes des termes correspondants dans les deux progressions.

De là cette propriété fondamentale :

21. Si deux progressions croissantes, l’une géométrique commençant par l'unité ., l’autre arithmétique commençant par zéro, se correspondent terme à terme , le produit de deux termes de la première, et la somme des deux termes correspondants de la seconde, sont eux-mêmes des termes qui se correspondent dans ces deux progressions.

Je vois donc que le produit de deux termes de la progression géométrique peut se trouver au moyen d’une simple addition ; il suffit pour cela de chercher dans la progression arithmétique les termes qui correspondent chacun à chacun aux deux facteurs du produit; de faire leur somme, ce qui donnera un terme de la progression arithmétique; de chercher dans la progression géométrique le terme correspondant à cette somme : le nombre ainsi trouvé sera le produit cherché.

Telle est l’origine des logarithmes.

22. Définition. On appelle logarithmes une suite de nombres en progression arithmétique, dont le premier terme est 0, correspondants terme pour terme à une suite de nombres en progression géométrique, dont le premier terme est 1. Chaque terme de la première est le logarithme du nombre correspondant dans la seconde.

Au moyen de celte définition , le principe fondamental du n° 2 1 se traduira :

23. Le logarithme du produit de deux nombres est la somme des logarithmes de ces nombres.

La multiplication ne dépendrait, comme on le voit, que d’une simple addition; mais cette abréviation serait restreinte aux termes de la progression géométrique considérée.

Pour que le principe pût a\oir un avantage pratique général, il faudrait que tous les nombres, entiers ou fractionnaires, pussent faire partie de celte progression géométrique.

24. Concevons deux progressions croissantes, l’une géométrique et l’autre arithmétique, commençant, la première par l’unité, la seconde par zéro; imaginons que l’on insère entre les termes de la première un très-grand nombre de moyens

géométriques, et entre les termes de la seconde un pareil nombre de moyens arithmétiques; nous obtiendrons deux nouvelles progressions (8) et (18), et les différences entre les termes consécutifs de la nouvelle progression géométrique seront très-petites? par conséquent, il arrivera de deux choses l’une ; ou les nombres sur lesquels on veut opérer se trouveront parmi les termes de la nouvelle progression géométrique, ou chacun de ces nombres tombera entre deux termes consécutifs très-peu différents l’un de l'autre. Dans ce dernier cas, l’un des deux termes pourra représenler le nombre compris avec un très-grand degré d’approximation ; le terme correspondant de la nouvelle progression arithmétique sera donc , en général, le logarithme d’un nombre très-peu différent du nombre que l’on considère; par conséquent, en appliquant le principe fondamental des logarithmes, l’erreur commise sera très- petite, puisqu’au fond le calcul se rapportera à des nombres très-peu différents de ceux sur lesquels on devait opérer. En conséquence, nous dirons que : le logarithme du produit de deux nombres quelconques (plus grands chacun que l’unité) est la somme des logarithmes de ces nombres.

Cette propriété s’étend à un produit d’autant de facteurs qu’on voudra. En effet, un produit de trois facteurs s’obtient en multipliant le produit effectué des deux premiers par le troisième; or, le logarithme de ce produit de deux facteurs est la somme des logarithmes des deux facteurs; donc, le logarithme du produit final est la somme de celui-lè et du logarithme du troisième facteur, et, par conséquent, la somme des logarithmes des trois facteurs. De même, le logarithme du produit de quatre facteurs est la somme <jes logarithmes des trois premiers facteurs, augmentée du logarithme du quatrième, et, par conséquent, la somme des quatre logarithmes, et ainsi de suite; donc, le logarithme du produit d’autant de nombres qu'on voudra (et plus grands chacun que l’unité) est la somme des logarithmes de ces facteurs.

28. Si tous les facteurs du produit sont égaux entre eux, le produit est une puissance de l’un d’eux , et la somme des logarithmes des facteurs est le produit de l’un de ces logarithmes par leur nombre; donc, le logarithme de la puissance d’un nom-

bre (plus grand que l’unité) est le produit du logarithme de ce nombre par le degré de la puissance.

26. Dans toute division, le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient complet; par suite, le logarithme du dividende est égal au logarithme du diviseur augmenté du logarilhme du quotient; donc, réciproquement, le logarithme d’un quotient (plus grand que l'unité) est égal au logarithme du dividende diminué du logarithme du diviseur.

27. La racine d’un nombre élevé à une puissance d’un degré marqué pnr l'indice de la racine, reproduit le nombre proposé; donc le logarilhme de ce nombre est égal au logarithme de la racine multiplié par son indice; donc, réciproquement, le logarithme d’une racine d'un nombre ( plus grand que l’unité) est le quotient de la division du logarilhme de ce nombre par l'indice de la racine à extraire.

28. Remarque. A l’aide des quatre principes précédents, la multiplication, la puissance, la division et V extraction des racines se trouvent dépendre respectivement de l'addition, de la multiplication, de la soustraction et de la division, c’est-à-dire d’une opération où la difficulté est moindre. Mais, pour réaliser cette conception, il faudrait avoir deux progressions renfermant un nombre immense de termes; heureusement on peut simplifier, à l’aide de considérations, tirées elles-mêmes des propriétés des logarithmes.

§ S. Table de logarithmes.

20. Toutes les opérations numériques ont pu dépendre jusqu'à présent du calcul des nombres entiers ; par conséquent, les opérations faites à l’aide des logarithmes pourront ne dépendre que des logarithmes de ces nombres. 11 suffirait pour cela d’avoir deux progressions telles, que la progression géométrique renfermât, du moins approximativement, tous les nombres entiers sur lesquels on aurait à opérer.