THEORIE

Le* numéros de reiiiroi relatifs k l’Arilbuétique se rapportent à notre seconde édition.

§ 1. Propriétés principales des progressions.

i. Définitions. Une progression arithmétique, ou progression par différence, est une suite de nombres tels, que chacun d'eux surpasse celui qui le précède ou en est surpassé d’une quantité constante. Celle quantité constante se nomme la raison de la progression, et les différents nombres dont la suite compose la progression s'appellent les termes de celte progression.

Exemple I. Les nombres 1 . 2, 3, 4, 5,... forment une progression dont la raison est I ; les termes de celle progression sont 1, 2, 3, 4,....

Exemple II. Les nombres 11, 15, 19, 23,... sont en progression arithmétique dont la raison est 4.

Exemple III. Les nombres 23, 19, 15, 11,... sont en progression arithmétique dont la raison est 4.

La progression est dite croissante ou décroissante, suivant que les termes vont en augmentant ou en diminuant; dans les exemples I et II, la progression est croissante, et l’on peut la prolonger indéfiniment; dans l’exemple III , la progression est décroissante , et l’on ne peut la prolonger qu uitant que la soustraction est possible.

Dans une progression croissante, la raison s’obtient en diminuant un terme de son précédent; dans une progression dé-

croissante , au contraire , la raison s’obtient en diminuant un terme de son suivant.

2. Connaissant le premier terme et la raison d’une progression arithmétique, chaque terme qui suit s’obtient en augmentant ou en diminuant le précédent de la raison , suivant que la progression est croissante ou décroissante : dans ce dernier cas, on s’arrête dès que la soustraction devient impossible.

5. D’après ce qui précède , dans une progression arithmétique croissante le second terme est égal au premier, plus la raison; le troisième est égal au second, plus la raison , et, par conséquent, au premier plus deux fois la raison; le quatrième est égal au troisième, plus la raison, et, par conséquent, au premier, plus trois fois la raison ; le cinquième est égal au premier, plus quatre fois la raison ; et, en général, un terme de rang quelconque , dans une progression arithmétique croissante, est égal au premier, plcs autant de fois la raison qu'il y a de termes avant celui que l'on considère.

Par un raisonnement semblable, on voit que, un terme de rang quelconque, dans une progression arithmétique décroissante, est égal au premier, moins autant de fois la raison qu’il y a de termes avant celui que l'on considère.

4. Si, dans une progression arithmétique croissante, le premier terme est zéro, chaque terme est un multiple de la raison dont le degré de multiplicité est marqué par le nombre des termes qui précèdent ; réciproquement, un multiple de la raison est un terme de la progression, car pour l’obtenir, il suffit de prendre dans la progression le terme qui a autant de terme» avant lui que le multiple donné contient de fois la raison.

iS. La loi de composition des termes d’une progression arithmétique permet de trouver un terme de cette progression sans passer par tous les termes intermédiaires, quand on connaît le premier terme et la raison.

Soit à trouver le 10' terme de la progression dont 3 est le 1" terme, et 4 la raison.

Je multiplie la raison 4 par le nombre 9 des termes qui précèdent celui que je veux obtenir; nu produit 36 j’ajoute le 1 er terme donné 3, et la somma 39 est le terme demandé. En

effet, si, d’après le n° S , je forme les termes successifs de la progression, j’obtiens 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, qui satisfait aux conditions de la question.

6. On peut encore trouver tous les termes intermédiaires d’une progression arithmétique dont on connaît le nombre total des termes 8, et les deux termes extrêmes 4 et 25.

Le nombre des termes intermédiaires inconnus est de 8 — 2 ou 6; il y a donc 6 + 1, ou 7 lermes avant le dernier 25 ; donc, le dernier terme 25 vaut le premier 4 plus 7 fois la raison ; par suite, 25 — 4 ou 21 vaut 7 fois la raison ; divisant 21 par 7, le quotient 3 est la valeur de la raison ; connaissant le premier terme et la raison, j’obtiens immédiatement 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 pour la progression demandée.

Les nouveaux termes 7, 10, 13, 16, 19, 22 sont ce qu’on appelle des moyens arithmétiques insérés entre 4 et 25. En général, insérer un certain nombre de moyens arithmétiques entre deux nombres donnés, c'est trouver des nombres qui, placés entre ces deux nombres, forment avec eux une progression arithmétique; par conséquent,

Règle. Pour insérer un certain nombre de moyens arithmétiques entre deux nombres donnés, on divise la différence de cet deux nombres par le nombre plus un des moyens à insérer ; le quotient de cette division est la raison; on forme la progression en partant du premier des deux nombres et de ta raison.

7. Remarque. On pourrait n’avoir qu’un seul moyen à insérer entre deux nombres donnés ,11 et 25 par exemple. On retranche 11 de 25; le reste est 14; on divise 14 par 1 plus 1, ou par 2 ; le quotient, ou la raison, est 7, et l’on a 11 , 18, 25 pour la progression demandée.

Ce nombre 18, qui surpasse 11 d’autant qu’il est surpassé par 25, est ce qu’on appelle la moyenne arithmétique entre 11 et 25; or, 18 vaut 11 plus la raison, d’une part, et 25 moins la raison, d’aulre part; donc deux fois 18 valent 11 plus 25, et une fois 18 vaut la moitié de 11 plus 25 : ainsi 18 est la demisomme des deux nombres 11 et 25; par conséquent, la moyenne arithmétique entre deux nombres ( ou le nombre qui surpasse l’un d'autant qu’il est surpassé par l’autre) est égale à la demi -

THEORIE DBS LOGARITHMES.

somme de ces nombres. C’est ce que nous avons déjà eu l’occasion d’établir en arithmétique au n° 341.

8. Si, entre les termes consécutifs d’une progression arithmétique on insère un même nombre de moyens arithmétiques, la raison est lu même dans toutes les progressions partielles; par suite, ces progressions forment une seule et même progression arithmétique.

En effet, pour obtenir la nouvelle raison, on divise par le même nombre (celui des moyens à insérer, plus un) la différence de deux termes consécutifs; or, cette différence est la même dans toute l’étendue de la progression ; donc ces progressions partielles forment une seule et même progression , puisque le dernier terme de chacune est en même temps le premier terme de la suivante.

Exemple. J’insère 3 moyens entre les termes consécutifs de la progression 11, 19, 27, 35, 43,... et j’obtiens la nouvelle progression 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35

0. Il suit de là qu’en partant d’une progression arithmétique donnée, on peut établir une nouvelle progression dont les termes consécutifs diffèrent entre eux d’une très-petite quantité. Il suffit pour cela que le nombre des moyens soit trèsgrand , car alors la nouvelle raison sera le quotient de la division de la raison primitive par un très-grand nombre; et même, si l’on conçoit que le nombre des moyens à insérer dépasse tout degré possible de grandeur, la différence des termes consécutifs dépassera tout degré possible de petitesse.

10. Définition. Une progression géométrique ou progression par quotient est une suite de nombres tels, que le rapport de chacun d'eux au précédent est un nombre constant.

Ce nombre constant se nomme la raison de la progression , et les différents nombres dont la suite compose la progression, s’appellent les termes de la progression.

Exemple I. Les nombres 1, 10, 100, 1000,... forment une progression géométrique dont la raison est 10.

Exemple II. Les nombres 16, 8, 4, 2, 1, {,... forment une

progression géométrique dont la raison est J.

La progression est croissante ou décroissante suivant que les termes vont en augmentant ou en diminuant: dans le premier cas, la raison est plus grande que l'unité-, dans le second, elle est plus petite qtie l’unité.

11. Connaissant le premier terme et la raison d’une progression géométrique , chaque terme qui suit s’obtient en multipliant le précédent par la raison.

12. Le second terme d’une progression géométrique est égal au premier multiplié par la raison ; le troisième est égal au second multiplié par la raison; donc ce troisième est égal au premier multiplié par le carré de la raison ; le quatrième esl égal au troisième multiplié par la raison , et par conséquent au premier multiplié par le cube de la raison; le cinquième est égal au premier multiplié par la quatrième puissance de la raison : en général , un terme de rang quelconque d’une progression géométrique est égal au premier multiplié par la raison élevée à une puissance d'un degré marqué par le nombre des termes qui précèdent celui que l’on considère.

15 . Si le premier terme d’une progression géométrique esl l’unité , chaque terme est une puissance de la raison dont le degré est marqué par le nombre des termes qui précèdent; réciproquement, une puissance de la raison est un terme de la progression , car, pour l’obtenir, il suffit de prendre dans la progression le terme qui a autant de termes avant lui qu’il y a d’unités dans le degré de la puissance donnée.

14 . La loi de composition des termes d’une progression par quotient permet de trouver un terme quelconque d’une progression géométrique sans passer par tous les termes intermédiaires quand on cannait te premier terme et la raison.

Soit il trouver le 5 e terme de la progression géométrique dont 2 est le premier terme, et 3 la raison.

Avant le 5* terme cherché, il y a 4 termes; je forme la 4' puissance de 3, et j’ai 81 ; je multiplie 81 par le premier terme 2, et j’ai 162 pour le nombre demandé. En effet, si d’après le n° 14, je forme les termes successifs de la progression, j’obtiens 2, 6, 18, 54, 162.

18. On peut encore trouver tous les termes intermédiaires d'une progression géométrique dont on connaît le nombre 5 des termes, et les deux termes extrêmes 25 et 15625.

Le nombre des termes intermédiaires cherchés est 5 — 2 ou 3 ; le nombre des termes qui précèdent le dernier 15625 est donc 3+1 ou 4; mais 15625 vaut le premier 25 multiplié par la 4 e puissance de la raison (12), donc , ou 625 , vaut la 4* puissance de la raison; par conséquent, j’aurai la raison en extrayant la racine 4* de 625 ; or, une racine 4' s’obtient par deux racines carrées successives {Arithm., n“ 567); la racine carrée de 625 est 25; la racine carrée de 25 est 5; connaissant la raison 5 et le premier terme 25, j’obtiens 25, 125,625, 3125, 15625 pour la progression demandée.

Les nouveaux termes 125, 625 et 3125 sont ce qu’on appelle des moyens géométriques insérés entre 25 et 15G25. En général , insérer un certain nombre de moyens géométriques entre deux nombres donnés, c’est trouver des nombres qui, placés entre ces deux nombres, forment avec eux une progression géométrique; donc,

16. Règle. Pour insérer un certain nombre de moyens géométriques entre deux nombres donnés, on divise le dernier nombre par le premier; on extrait de ce quotient une racine d’un degré marqué par le nombre plus un des moyens à insérer, puis on forme la progression en partant du premier terme, et en prenant pour la raison la racine obtenue.

Exemple I. Insérer 5 moyens géométriques entre 2 et 1458- Je divise 1458 par 2, et j’ai 729 pour quotient; j’extrais la racine sixième de 729, en extrayant d’abord sa racine carrée, ce qui donne 27, puis la racine cubique de 27 qui est 3 {Arithm., n° 367); connaissant le premier terme 2, et la raison 3, j’ai 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458 pour la progression demandée.

Remarque. L’insertion des moyens géométriques est nonseulement plus compliquée que l’insertion des moyens arithmétiques, mais elle peut amener des racines que nous ne savons pas extraire. Qu’il s’agisse, par exemple, d’insérer quatre moyens géomélriques entre deux nombres donnés : il faudra extraire la racine 5* du quotient de la division de l’un des nombres par l’autre , ce que nous ignorons quant à présent.