Extraire la racine cinquième de
log 3,1416 = 0,4971509
log rac. = 0,0994302 = log 1,267274.
J*ai pris le cinquième du logarithme du nombre; j'ai eu 0,0994302, et le retour au nombre m'a donné 1,257274 pour la racine demandée.
61. Remarque. Pour que les calculs précédents puissent s'ef* fectuer, il y a des conditions è remplir :
Premièrement : Les nombres sur lesquels on opère doirent être plus grands que 1; autrement, ils n'auraient point de logarithme, puisque la progression géométrique croissante commence par l'unité, et ne peut, par conséquent, renfermer des nombres plus petits que l'unité.
Secondement : 11 faut qu'on puisse faire toutes les soustractions qui se présentent; sans cela, on ne pourrait pas faire par logarithmes toutes les divisions indiquées.
Il s'agit donc de voir, en premier lieu, comment on pourra appliquer les logarithmes dans le cas des nombres plus petits que l'unité , et, en second lieu, comment on pourra suppléer à rimpossibiUté de faire naturellement certaine soustraction.
§ 7. Manière d'appliquer le calcul log^arithiniqne aux nomlirés pins pettta qoe l'anité.
611. Ainsi que nous venons de le dire, un nombre plus petit que l'unité n'a pas de logarithme ; mais, si on le multiplie par un facteur connu suffisamment grand, on pourra avoir un produit plus grand que Tunité qui, par conséquent, aura un logarithme. Le plus simple est de le multiplier par 10, 100» 1000, etc. ;
on prendra le logarithme du produit, et en introduissoit dans le calcul ce logarithme, comme il appartiendra à un nom})r9 10« 100, 1000 fois trop, grand, on aura un résultat affecté d'une erreur facile à apprécier, et, par suite, facile à rectifier.
Exemple I. Soit le nombre 0,96205.
Je le multiplie par 10, et j'ai 9,6205, nombre qui a pour logarithme 0,9831976; mais ce logarithme est celui d'un nombre 10 fois plus grand que le proposé.
EXEMPLE H. Soit le nombre 0,096205.
Je le muiliplie par 100, et je trouve log 9,6205 = 0,9831976; mais ce logarithme est celui d'un nombre 100 fois plus grand, et ainsi des autres exemples.
63. Si Ton suivait cette marche , très-simple il est vrai , le nombre correspondant au logarithme obtenu serait, tantôt 10 fois trop grand, tantôt 100 fois, tantôt 1000 fois, etc. Pour éviter celte diversité pénible pour la mémoire,, on rend ttmj&urs h nombre t(f^ fois phs grand, ce qui suffit dans la pratique. Reprenons sous ce point de vue les nombres précédents :
l"" Soit 0,96205. Si d'abord je rends ce nombre seulement 10 fois plus grand, jai pour logarithme 0,9831976; mais pour le rendre 10*® fois plus grand, il faut, après l'avoir rendu 10 foif plus grand, le rendre encore 10^ fois plus grand, ce qui fait augmenter le logarithme précédent de 9^ unités ; j'ai donc 9,9831976 pour le logarithme du nombre proposé miiliipUi^ par 10'^
2° Soit 0,096205. Je le rends d'abord 100 fois phis grand, et j*ai log 9,6205 = 0,9831976 ; mai& il faut encore multiplier le nombre proposé par lO*, ou ajouter 8 au logarithme précédent; j^ai alors 8,9831976 pour le logarithme du nombre multiplié par 10*^ De môme, si je partais du nombre 0,0096205, je le rendrais d-abord 1000 fois plus grand, et comme, pour qu'il fttt multiplié par 10^*, il resterait encore à la rendre 10' fois plus grand, la caractéristique détiendrait 7, auquel cas le logarithme serait 7,9831976, et ainsi de suite.
64. On devra se rappeler parun signe particulier que le logarithme écrit est celui d'un nombre 10*° fois plus grand que le nombre proposé. On peut» par exemple, indiquer cette circon*
40 THÉOEIE DBS LOGARITHMBS.
stance par un accent placé un peu au-dessus du mot log, et écrire :
9,9831976 = log' 0,96205
8,9831076 = log' 0,096205
7,9831976 = log' 0,0096205 etc. etc.
Ainsi la notation log^ nous servira dorénavant à indiquer que l'on a le logarilhme d'un nombre 10*^ fois plus grand que le nombre proposé*.
Remarquons que la caractéristique de ces sortes de logarithme est l'excès de 10 sur le nombre qui exprime le rang de la première décimale à gauche dans lé nombre proposé, à partir de la virgule, et que la partie décimale s'obtient comme si la partie entière du nombre proposé rentrait dans les limites des tables.
Soit le nombre 0,0009869638.
La caractéristique est 6; je cherche la partie décimale comme si ce nombre était 98696,38, et je trouve 9943012, en sorte que 6,994301 2 = log' 0,0009869638.
es. Réciproquement, pour revenir d'un semblable logarithme au nombre, il faudrait faire le retour comme à Fordinaire, et diviser ensuite par 10*^; mais, à cause de la grandeur de la caractéristique , on aurait, en général, un assez grand nombre de zéros à la droite du nombre trouvé, et il faudrait ensuite mettre une virgule convenablement placée pour diviser par Itf*.
06. Pour simplifier, on supprime d'abord la caractéristique; si elle est 9, cette suppression dans le logarithme revient à diviser le nombre correspondant par 10*, et alors il ne reste plus qu'à le diviser par 10. Si la caractéristique est 8, on n'a plus qu'à diviser par 100 après le retour au nombre ; si elle est 7, on n'a plus qu'à diviser par 1000, et ainsi de suite. En général^ on supprime la caractéristique , puis , après le retour au nombre ^ on divise par une puissance de 10 d'un degré marqué par l'excès de 10 sur la caractéristique du logarithme que l'on considère.
* Cette précauUoD pourrait encore être exprimée en plaçant un point au \\m d'une virgule entre la caractéristique et le chiffre des dixièmes.
THÉORtK DES LOGARITHMBS. Ai
Exemple. Soit 7,9831976.
J'ôle 7, et j*ai 0,9831976; je cherche le nombre correspondant et je trouve 9,6205; enfin, je divise par 1000, et j*iaî 0,0096205 pour le nombre cherché; ainsi
7,9831976 = log' 0,0096205.
En résumé , l'introduction dans le calcul du log' revient toujours à opérer sur des nombres 10^ fois plus grands, ce qui exif^e une correction très-simple dans le résultat.
Voyons maintenant comment on peut suppléer à Timpossibilité de certaines soustractions.
07. Soit à chercher, par exemple, le quotient de la division de 348 par 56927.
Le logarithme de 348 est 2,5415792, celui de 56927 est 4,7553183; on ne peut évidemment soustraire le second logarithme du premier; en multipliant le dividende 348 par une puissance de 10, on peut le rendre plus grand que le diviseur: ici, il suffirait de le multiplier par 1000; mais, pour opérer d'une manière régidière et uniforme, on le multiplie par 10^®, ce qui revient à ajouter 10 au logarithme du dividende; reste à faire la soustraction des logarithmes, à revenir au nombre» et à diviser le résultat par 10*^
Voici le calcul :
