S = 2 TU RH
log 2 = 0,3040300 log iî = 0,49714987 log R = 0,5500717 log H = 0,8162062
log S = 2,16445777 = log 146,0352
Résollat.
Volume du cylindre cU>Qt pQ comiait le rayon de la base et la hauteur.
Données.
Fonnule.
Résaltat.
logîC:
logR logR
lOgH:
log Y = 5,57584087 = log 37656,57
THÉORIE DES LOGARITHMIS. 8»
Dimensions du litre cylindrique pour les liquides.
Données. Formule. Hétultit.
U hauteur tx, double . 'fi Diamètre = 86 -«'"-
du diamètre base.
Le volume = 4 décim. cube.
! a:, double 'fi Diamètre = 86 -«'"-
re oj de la ^ == V ^ ^«"^"^ = ^^^ •"»"•»
Iog 2 =0,3040300 c» Iog' TU = 9,5028504 3
iog* 05»= 9,80388043
Iog* X = 9,93462674 = Iog' 0,860254
Donc en millimètres, le diamètre sera 86,0254, et la hauteur 472,0508, ou , en n'adoptant que les dixièmes, D= 86, H = 472.
Dimensions du litre cylindrique pour les matières sèches.
Données. Formule. Mtiltat.
La hauteur x = le diamètre ; ^ /T ^ ^g„j„. ^
Le volume =: 4 décimètre cube.
Iog 4 = 0,60205999 c» Iog 71=9,50285043
Iog 05»= 0,40494042
Iog œ = 0,03407004 = Iog 4 ,083852
Surface latérale du cône dont on connaît le rayon de la base et le côté.
Données.
Formule.
Résultat.
S=icRC
Iog K— 0,49744987 Iog' R= 8,75587486 Iog* C— 9,86805636
iog' S=3:9,42408409 = log' 0,4324 542
84 THÉORIE DES LOGARlTUftrES.
Volume du cône dont ou connaît le rayon de la base et la hauteur
DunnéM.
Formule.
KésoltaU
^ TîR'H
log;^— 0,49714987 logR — 0,1983821 logR— 0,1983821 log H =0,09551 80 cMog 3 p=9, 52287875
log V =0,51 231 082 =
inatt
Surface latérale du tronc de cône dont on con
le côté et les rayons
des bases.
Données.
Formule.
Késultm.
S=7:cfR+r)
S=1993"'ij027
log 7^—0,49714987 loge — 1,2682737 log (R + r)= 1,5340896
log 8=3,29961 31 7 =
= log
Volume du tronc de cône dont on connaît la hauteur et les rayons des bases.
Données. Formule. Résultat.
H=0,9572 V— !î!î5iri4-!^ 4- /^-Vl V=4'"S551572
Calcul de ^ : log' r= 9,7389390 c^log'R — M575456 log' -^ = 9,7964845 = log' 0,6258706
logY^y=.9,5929690=log'0,3917139
log [l + g+(5)'] = ^30483177
log «=0,49714987
log' R = 9,9424545
log' R = 9,9424545
log' H= 9,981 0027
c^log 3= 9,52287875
log' V= 0,1 9077209 =log'4, 654 572
THÉORIE DES LOGARITBMBS. 85
Surface de la sphère dont on connaît le rayon.
Donnée. Formule. Résultat.
R = 0^334 S=4iîR* S = 4"i,404854
log 4=0,60205999 jogiî =0,4974 4987 lQg'R=9,52374647 log' R= 9, 62374647
log S=0,44670280=log4,404854
Surface de la sphère dont on connaît le diamètre.
Donnée.
Formule.
Résultat.
S=7rD*
log 7: = 0,4974 4987 log D = 3,54 24 4 05 logD=3,5424405
log S= 7,524 37087=log 3324 7800
Rayon de la sphère dont on connaît la surface.
Donnée. Formule. Résultat.
log 8=3,944 3002 c» log 4 = 9,39794004 c» log;: = 9,50285043
log R* = 2,84209034
1(^ R = 4, 424 04547= log 26,36606
TnftoHii DIS LonAftinmis.
Rayon d'une sphère d'or valant 20 francs.
Données.
Si
prix de la sphère ; 34U^45=p^ix du kilog. d'or; : 19,26 = densité de for.
Fonnule.
Résultat.
log 5 = 0,6^897000
c'iog 3: = 9,5028504 3
cMog S = 6,46288040
cMog 6,42 = 9,49246497
log'»» = 6,85746520
log' a; = 8,64 905507 = log' 0,044 59633
( L*unité de la formule est le décimètre. )
Volume de la sphère dont on connaît le rayon.
Donnée.
Formale.
Réraltat.
log 4== 0,60205999
log TU = 0,49744987
log'R— 9,4576985
2 log' R— 48,3453970
c»log3= 9,52287875
log'V— 8,09548444-
= log' 0,04245042
Volume de la sphère dont on connaît le diamèlre.
Donnée.
Formule.
log 7c:
log'D
C* log 6 :
Résultat.
log'V= 9,49072469 =Iogf 0,4554403
THÉORIE DES LOOAItîlTMEft.
Rayon d'une sphère dont ota cotifiatt te volume.
Donnée.
Formule.
-en
log 3 = 0,47742425 log V= 2,8484909 c» log 4 = 9, 39794004 c» log TU =9, 5028504 3
log R» = 2,4 964 0229
Iog R= 0,7320344 =log 5,39553
Hésuluu
R = 5-,ae663
Surface de la zone, connaiuant sa hauteur et le rayon de la sphère.
Données.
Formale.
Réfultii.
B = 29cRH
log 2 = 0,30403000 log 7c = 0,4974 4987 log R = 4, 94224 65
log' H = 9,2447748
log 8 = 4,98546847 =
= log d6,64950
Volume engendré par un secteur circulaire autour d'un diamètre.
Données.
Formule.
Résultat.
27rR«H
log 2 = 0,30403000 log « = 0,49744987 log R = 0,6607925 iog R— -0,6607925 log' H = 8,7628286 c»iog 3 = 9,52287875
log V = 0,40647222 =
= log 2,543737
Rayon d*une sphère équivalente à une sphère creuse.
Données.
Formule.
/rV\
KéÀuliBLi,
ou
Calcul d
log r = 0,4 122362 c} log R = 9,8874955
log 4 = 9,9997317 K
Calcul de 1— f^j: /^^y= 0,9981 482
Calcul principal de x : log R = 0,1125045
2 log R = 0,2250090
log'jl-^^yj = 7,2675941
log' 0?» = 7,6051 076
log' 0? = 9,20170253 = log' 0,1591118
Remarque. Tous les résultats que nous avons calculés sont vrais, quelle que soit l'unité de longueur dont on se sert, pourvu que Ton prenne pour unité de surface et pour unité de volume, le carré et le cube qui ont respectivement pour côté et pour arête Funité de longueur. Ainsi , lorsque l'unité de longueur est le mètre , le mètre carré est Tunité de surface , et le mètre cube Tunité de volume.
De Pemplol de« petites tables de parties proportionnelles
dans les calculs de lofparltbnies.
KxEMPLE 1. Trouver le logarilhme de 102&C83.
r Je me sers de la 3* partie de la table :
log 1025688= 6.0U0I3I6 j 'JJÎ^.iiff. ,3b. ^0.3
2« Je me sers de la 2* partie de la table :
^9780 log 1025683=6,01101317 ] 339 =diff.x0,8
V 127 =difT.X 0,03
Dans ce dernier calcul, j*al trouvé que la différence la plus voisine de 1025 était 424, qui ne contient pas de parties proportionnelles; mais 423 et 425 en renferment : pour avoir le produit de 424 par 0,8, je remarque que les petites taltles donnent 423x0,8=338, et que 425x0,8=340; puis, comme 340 — 338=2, je dois prendre pour produit, d'après les instructions de Callet*, 338 + 1 =339.
Pour avoir 424x0,3, je remarque de la même manière que 423x0,3=127, et que 425x0,3= 128; puis, comme 128 — 1 27 = 1 , je prends 127 pour second produit : faisant la somme , je trouve le logarithme avec 8 décimales, et ce logarithme ne diffère de celui que donne directement la 3* partie de la table , que d'une unité du 8* ordre. Si je ne veux conserver que 7 figures, je force la 7% et j'ai
log 1025683 = 6,0110132.
Si, au lieu de prendre 424, j'avais pris 423, voici ce que j'aurais eu :
/ 9780 log 1025683=6,01101307 \ 338
résulut trop faible de 9 unités du 8* ordre.
Si j'avais pris 425 au lieu de 424, les calculs seraient les suivants :
( 9780 log 1025683 = 6,0110328 | 340
résultat trop fort de 12 unités du 8* ordre*
* Il y a une faute dans linstruction de Callet, page n, ligne 22 : au lien de table précédente ^ lisez tabU suieantey puloque Ipb nombre» croiABant en progreRsion arithmétique , les différence8 décroisRent.
Ainsi, dans les deux hypothèses, on commellrait une erreur qui pourrait aller à une unité du 7* ordre, et peut-être un peu plus; mais, d'après le premier calcul y elle sera réduite de presque la moitié.
Exemple II. Trouver le logarithme de 1034954.
f 8984 • r log 1034964 = 6,01492108 ] 210 =diff. 420X0,5
( 168 c:^dlff.X 0,04
Ici, j'ai pris les produits de 419 par 0,5 et 0,4, parce que lis différences de ces parties avec celles qui vieimeiit ito 421 sont au plus égalas à 1.
419X0,5 donne 210; 421X0,5 donne 211; 211—210=1; 420X0,5 = 210; 419X0,4 >» 168; 421X0,4 » 168; 168— 168 = 0; 420X0,4= 168.
Exemple III. Trouver le logarithme de 1073996.
)og 1073996=6,03100266 |
9638 > log 1078996 s 6,03100262 { 364 =^404X0,9
403X0,9=363; 405x0,9=865; 365—363=2} donc 404X0,9=864, 403X0,6=242; 405X0,6=243; 243—242 = 1; » 404X0,6=±:24l
J'ai pris 404 pour différence, quoique j'eusse pu prendre 405^ les nombres 404 et 405 étant à égale distance de la ligne sur laquelle se trouve 1073. . Pour 405, voici le calcul:
Ç 9638 log 1073996 = 6,03100273 ] 365 =405x0>9
Ainsi, en prenant 404, j'ai un déficient de 4 unités du 8* ordre; en prenant 405, j'ai un excédant de 7 unités du 8* ordre: la première valeur est donc plus approchée, et cela doit être, car les différences des nombres étant constantes, les différences des logarithmes décroissent, en même temps que les nombres croissent ; en sorte que si je considérais les nombres
1072000, 1073000, 1074000, et leurs logarithmes L, L', L",
j'aurais L'^— L'< L'— L'^; on sera donc plus près de la vérité en prenant la différence qui est au-dessous de la ligne lorsqu'il y a incertitude, en appliquant toutefois la règle de Gallet (p. 17) et en tenant compte de la eorrection qui a été indiquée.
KxEMPLE IV. Trouver le logarithme de 1256498.
345x0,9=an; 847x0,9=312; 312 — 311 = 1; 345x0,9=311, 346X0,8=276; 347X0,8=278; 278 — 276=2; 345x0,8=277.
Exemple V. Trouver le logarithme de 1726892.
log 1726892=6,2372651 J 226= 251 X 0,9
Comme il y avait incertitude, vu que la ligM de 1726 est à égale distance des différences 252 et 251, j'ai pris 2&1.
Conclusion. Lorsqu'il y aura incertitude sur la différence à prendre , on choisira celle qui est inférieure à la ligne correspondante aux quatre pre* mières figures du nombre.... (le reste comme dans Callet^ p. 17, sauf la modiûcation ).
Retour du logarithme au nombre.
6,01894287 = log a;, log X = 6,01894287 = log 1032625,6
log ff = 6,01394287 = log 1032625,6
Comme , par la proportion , on trouve un nombre correspondant trop grand lorsque le logarithme donné diffère peu d'une moyenne arithmétique enlre les logarithmes de deux nombres entiers consécutifs , il est convenable de tendre à diminuer le 4' terme , ce qui aura lieu en prenant un premier terme trop grand; doûc, lorsqu'il y aura incertitude à regard de la difTérenea, il sera convenable de prendre la plus grande des deux^ ce qui peut d'ailleurs donner les mêmes trois premiers chiffres , ainsi que le montre l'exemple cidessus. Donc, règle générale, lonque la ligne des quatre premières figures est à égale distance de deux différences, on prend la différence iupérieure.
