I09 84587SM

Occupons-nOus maintenant de la troisième partie de la table.

ISS. Si les six premiers chiffres à gauche d'un nombre dont on cherche le logarithme forment eux-mêmes un nombre compris entre 100000 et 108000 , on peut se servir de la troisième partie de la table. On trouve alors , sans aucun calcul, les loga^ rithmes des nombres de 6 chiffres , et , à l'aide des parties pro-» porlionnelles» les logarithmes des nombres de 7 chiffres ou plus.

Kxiim» I. log 1059,73 r^ 3,02519523.

Exemple II. log 1059,7348 = 3,02519720. 9523

L'étude des divers exemples qui précèdent conduit à la règle générale suivante :

85. Règle. Pour trouver le logarithme d'un nombre darmé, on écrit â^ abord la caractéristique d'après U ordre des plus hautes uni-tés du nombre proposé. Si les 6 premiers chiffres à gauche font plus de 108000, on considère seulement le nombre formé par les 5 premiers; on en cherche le logarithme; on écrit à la droite de la caractéristique les 3 premières décimales du logarithme tabulaire, et les 4 autres à part ; on cherche, à la gauche de la tablB dêê parties proportionnelles, le &" chiffre du nombre donné; on écrit le nombre qui se trouve à côté, au-dessous des 4 déci' maies mises à part; on cherche de même, à la gauche de kt petite table, le 7' chiffre du nombre donnée et l*on n'écrit à part que les DIZAINES du nombre correspondant, en le forçant 9* il y a Heu; enfin, à la suite des S premières décimales isolées, on écrit la somme des 3 nombres mis à part.

Si les 6 premiers chiffres à gauche font moines de 108000, on a recours à la troisième partie de l'a table. Après avoir écrit la oaraotéristigue, on cherche le logarithme du nombre formé par l'en'semble des 6 premiers chiffres à gauche; on écrit les 4 premiers

chiffres à côté de la caractéristique, et les 4 autres à part; on place au-dessous de ces A chiffres le produit proportionnel au 7' chiffre du nombre^ et les dizaines seulement du produit correspondant au huitième chiffre; on fait la somme des trois nombres mis à part pour l'écrire à la suite des 4 chiffres.

Remarque I. Si le nombre proposé renfermait plus de 7 chiffires dans le premier cas, ou plus de 8 dans le secon4 , on pourrait multiplier la différence tabulaire la plus voisine par le nombre que forment les chiffres qui suivent, à partir de la gauche, le 5' ou le 6* chiffre du nombre proposé, après quoi on supprimerait à la droite du produit un pareil nombre de chiffres, pour avoir la différence à ajouter aux 4 chiffres mis à part.

On peut aussi, dans ce dernier cas, écrire successivement les produits partiels de la petite taUe correspondants aux 3 chiffres en excès, en ayant soin de reculer le 2* d*une place vers la droite, et le 3* de deux places. Le résultat est un peu moins sûr. Cela tient à ce que la proportionnalité sur laquelle on s'appuie n'est qu'approchée.

Remarque IL Quand il y a plus de 3 chiffres en excès , par rapport à la table, il est inutile de tenir compte du 4* et des suivants.

Trouver le nombre correspondant à un logarithme donné.

84. 1" Cas. Trouver le nombre correspondant à un logarithme qui se trouve dans la table.

Exemple. Trouver le nombre qui a pour logarithme 4,6774792.

Je cherche dans les tables, en dehors du cadre, l'indication L677, qui correspond aux 3 premières décimales du logarithme proposé ; je ne la trouve pas , mais je trouve L676, qui est trop faible y et à la page suivante L68], qui est trop fort; à la page dont rindication est L 675 , et parmi les nombres isolés de la colonne 0, je trouve 677; je cherche dans les nombres de 4 chiffres de la même colonne, et à partir de 677 en descendant, la deuxième partie décimale 4792 du logarithme donné; je trouve un nombre plus petit , 4244, et un nombre plus grand ,

THÉORfS DBS LOGARITHMES. 29

5157 ; diaprés la disposition même de la table , le premier logarithme, 4,6774244, correspond à 47580, et le second, 4,6775157, correspond à 47590 : le nombre cherché tombe donc entre 47580 et 47590; ainsi, il se compose de 47580 et d*un nombre d'unités simples au plus égal à 9 ; d'ailleurs, d'après la disposition même de la table , les nombres qui ne diiïèrent que par le chiffre des unités simples ont leurs logarithmes siu* la même ligne; je cherche donc horizontalement, à partir de 4244, les 4 derniers chiffres du nombre proposé ; je lis successivement : 4336, 4427,, .. , et , enfin, 4792 dans la colonne qui porte le chiffre 6 en tête; le nombre cherché est donc 47586; ce nombre s'obtient, comme on voit , en prenant les 4 premiers chiffres 4758 déjà trouvés dans la colonne N, avec le chiffre 6, qui est en tête de la colonne où Ton rencontre la seconde partie 4792 du logarithme proposé.

tt8. 2* Cas. Trouver le nombre correspondant à un logarithme qui ne se trouve pas dans la table.

Exemple I. Trouver le nombre qui a poui* logarithme 4;7 139649.

Je cherche ce logarithme comme s'il était dans la table, en me conforjtnant à ce qui vient d'être dit dans le cas précédent. A la page qui porte l'indice L 712, je trouve d'abord, dans la première partie de la colonne 0, les 3 chiffres 713 ; dans la seconde partie de celte même colonne, je trouve 9104, qui est trop faible, et 9943, qui est trop fort; je cherche 9649 dans la ligne horizontale qui commence par 9104 ; je ne trouve pas ce nombre, mais je trouve 9607, qui est trop faible, et 9691 , qui est trop fort: or, les logarithmes 4,7139607 et 4,7139691, qui comprennent entre eux le logarithme proposé 4,7139649, correspondent, Tun à 51756, et Tautre à 51757 ; le nombre cherché tombe donc entre ces deux derniers nombres.

Cela posé , la différence des logarithmes extrêmes est 84 ; la différence entre le premier de ces logarithmes et le logarithme donné est 42 : or, ce rapport i| est ^ ; donc , à cause de la proportionnalité admise , l'excès du nombre cherché sur le plus petit des deux nombres 51756 devra être la moitié de la différence entre les deux nombres extrêmes, c'est-à-dire la moitié de 1 ou ^, ou mieux 0,5; j'ai ainsi 51756,5 pour le nombre cor-

30 TfliOBlS DU LOGÀRITlIin.

respondant au logarithme propoëé. La table deft parties pro» portionnellea me donne Immédiatement ces 0,5 additioniielB. En effet, la petite table la plus voisine porte en tête la diffé* renée 84, qui répond à une différence d'une unité entre les nombres; je ne m'y arrête pas, ^et je cherche dans la eolonne des produits proportionnels le nombre 42; je le trouve vis-4* vis de 5 : la différence 49 entre les logarithmes répond done iciàime différence de 0,5 entre les nombres, ce qui me donne 51756,5^ comme auparavant.

ExEUPLs 11. Trouver le nombre qui correspond ai^ logaiithme 4,7895634.

Ce logarithme tombe entre 4,7895590, qui correspond à 61597, et 4,7895666 qui correspond à 61698; d'une part, je retranche 6596 de 5634, et j'ai 38 unités du T ordre; d^a^jitre part, je retranche 5596 de 5666, et j'ai 70 : celle différence correspond i la différence 1 entre les nombres. Si la différence entre le plus petit des logarithmes extrêmes et le logarithme proposé n'était que de l partie au lieu de 70, la différence entre le plus petit des logarithmes extrêmes et le nombre cherché ne serait que le 70* de 1, ou ^; pour 2 parties, ce serait ^ ; pour 3 parties , ^, etc, ; donc , pour les 38 parties de différence, ce sera^. Réduisant en décimales jusqu'aux cenr tièmes^ et pas ^u delà , vu que la proportionnalité admise n*e$t pas complètement rigoureuse, j'obtiens 0,54, et par suite 61597,64 pour le nombre correspondant au logarithme proposé.

RsifARQi5s. La différence entre deux logarithmes conséoutife n'est pas toujours celle de la petite iable , ainsi que cela a eu lieu dans l'exemple I. Cela tient à ce que le plus petit des logarithmes peut être inscrit par excès, et le plus grand par défaut, et qu'en outre la différence tabulaire peut être forcée. Il y a plus : la différence entre le logarithme proposé et le logarithme qui en approche le plus par défaut , ne se trouve pas toujours juste parmi les produits- de la table des parties proportionnelles. Ces deux circonstances se ^sentent dans l'exemple II quand on fait usage des parties proportionnelles. En effet , la diffé^ renée tabulaire la plus voisine est 71 , tandis que la différence des deux logarithmes consécutifs n'est que de 70. Je prends 71 , qui , <l*après la renuirque précédente , doit inspirer plus de con-

TlÉOftll DSS LOOàRITHMIS. 3t

fiance ; le nombre de la table le plus rapproché de 38 est 36 , qai répond à 5 dixièmes ; j*écriB 5 à la droite du nombre trouvé, ce qui donne 61597,5 ; je retranche 36 de 38 ; le reste est i. Pour avoir les centièmes du nombre cherché, je convertis le reste 2 en parties 10 fois plus petites, en mettant un à sa droite, et j'ai 20: le nombre de la petite table qui diffère le moins de 20 est 21 ; ce nombre répond à 3 dixièmes; mais comme les parties de la différence des logarithmes sont 10 fois plus petites, les parties de la différence des nombres sont elles-mêmes 10 fois plus petites; elles devront donc exprimer des centièmes et non pas des dixièmes ; j'écris 3 à la droite du chiffre des dixièmes, et j^ai finalement 61597,53 au lieu de 61597,54 comme auparavant.

Type du caltul.

4,7895634 = log 61597,53

Pour bien faire comprendre la marche et le progrès de Topéniti<m précédente , Je la détaille ainsi qu'il $uit :

J'écris d'abord 4,7895634 = log ;

piÂs je dis :je trouve 7895596 qui répand à 61597; j'écris 5596 au-dessous de 5634, et 61597 suivi d'une virgule à la suite du mot log; ce qui donne

4,7895634 = log 61597,

eu répétant soigneusement 5596 et 61597.

Je retranche 5596 de 5634 ; le reste est 38 :

4,7895634 = log 61597

32 T^ÉOBIE DES LOGARITBBIES.

et je dis : la différence la plus voisine est 36 pour 5 dixièmes; j^écris 36 sous 38, et 5 à la droite de 61597 suivi d'une virgule, en répétant 36 pour ô :

4,7895634 = Iog 61597,5

Je soustrais 36 de 38 , et j'ai 2 pour reste ; je mets un à la droite de 2, ce qui me donne 20, et je dis : la différence la plus voisine de 20 est 21 pour 3; j'écris 3 à la droite de 5 :

4,7896634 = log 61597,53

et le calcul est terminé.

Nous insisterons de nouveau sur la nécessité de toujours lire et écrire les logarithmes de la même manière, afin de matérialiser le plus possible l'opération.

Remarque I. Si dans le calcul précédent on avait besoin de 3 décimales au lieu de 2, il faudrait diviser la différence 38 par la différence tabulaire 71 ; on trouverait ainsi dl597,535. Mais la 3*" décimale laisse en général de Fincertitude.

Voici d'autres exemples qui donnent lieu à quelques observations importantes.

Exemple I. Trouver le nombre qui a pour logarithme 4,7879997.

4,7879997 = log 61376,15

Parvenu au nombre de la table 9561 , au lieu de trouver un

TU£0R1£ DES LOGAHITUIISS. 33

nombre, plus fort au-dessous de ce dernier dans la colonne 0, comme dans les exemples précédents, je trouve un nombre plus faible, 0269, ce qui tient à ce que 0269 doit être considéré avec 788 au lieu de 787 ; dnns ce cas, je suis la ligne qui commence à 9561 , et j'arrive à 9986 ; les 4 chiffres de la colonne suivante sont C057, qui doivent être comptés avec 788 au lieu de 787, et forment ainsi le logarithme immédiatement rapérieur; puis le calcul s'achève comme précédemment.

Exemple H. Trouver le nombre qui a pour logarithme 4,7880033.

4,7880033 = log 61376,65

Ce cas est celui où Ton ne trouve i)as , dans la table , les trois premiers chiffres du logarithme. En effet, le plus petit logarithme d6 la table qui commence par 788 est 7880057, nombre supérieur au logarithme proposé; il faut donc prendre le logarithme précédent, qui est le même que tout à Theure. Ainsi, je prends les trois' premiers chiffres avec une unité de moins, et le plus fort des nombres de quatre chiffres compris dans la ligne horizontale qui précède immédiatement 788; j'ai ainsi 7879986 pour le logarithme le plus approché par défaut, et le reste se termine comme à l'ordinaire , à celte exception près, qu*ici on écrit aussi le dernier des trois premiers chiffres de la partie décimale du logarithme le plus approché.

Jusqu'à présent, la caractéristique du logarithme donné a été de 4 unités. Voici des exemples où elle est plus grande ou plus petite.

Exemple I. Trouver le nombre qui a pour logarithme 6,7895634.

Je cherche le logarithme comme si la caractéristique était 4 ; je trouve

4,7895634 = log 61597,53 ;

donc 6,7895634 — log 6159753.

34 TÈÉOlllB DKS LOGARITHMES.

EtÈM^tt II. Trouver le nombre qui a pour logarithme 10,7896634 ; je trouve 61597530000.

ExBMHB IIL Trouver le nombre qui a pour logarithme 2|^805634. Le nombre correspondant à 4,7895634 est 61597,53; donc

3^7898634 ri^ log 6l 5,9753.

Exemple IV. 0,78(95634 = log 6,159753.

tlEMÀiQUE II. Par exception, l'emploi de la petite table pourrait donner exactement cette 3*; décimale; mais lors même que Ton ne cherdiç que deux chiffres, la division ne donne pas toujours identiquement les deux mêmes décimales que la table. Cela tient à ce que les deux nombres tabulaires qui comprennent le logarithme proposé, peuvent être forcés dans le même sens ou en sens contraire. La même observation s'applique aux différences.

Remarque IIL Quand les quatre premiers diiffres du logarithme donnent un nombre inférieur à 0334, auquel cas ce logarithme est inférieur à celui de 108000, on peut se servir de la dernière des trois parties de la table , soit que la partie décimale du logarithme proposé ait 8 chiffres, soit qu'elle n'en ait que 7; dans le dernier cas , on remplace la 8' décimale par un zéro> On a ainsi, 4atis le premier cas, l'avantage de trouver le nombre chen^ avec 8 figures au lieu dé 7 ; dans le second cas, c'est-à-dire si on a remplacé la 8* décimale par un zéro, il ne faut pas compter sur l'exactitude du 8« chiffre du nombre, car dire qu'un logarithme n'est connu qu'avec 7 décimales « eèla ne signifie pas que la 8« décimale est un zéro, mais qu'dle est inconnue : ainsi le zéro par lequel on la remplace est uh chiffre probablement faux , et, par suite, le 8' chiffî*e trouvé pour le nombre ne peut être juste que par hasard .

Les indications hôrâ du cadre offrent 4 chiffres au liôU de 3; d'ailleurs, on opère de la même manière que dans les Cad ordinaires et domme si la caractéristique était S.

Voici quelques exemples.

Exemple I. Trouver le nombre qui a pour logarithme 4,02960696. (Rép.: 10705,5.)

THiOllIE DBS LOGARITËMES. 35

EîiifpLÉ n. ' Trouver le nombre qui a pour logarithme 4,02951848.

4,02951848 = log 10703,319

Exemple III. Trouver le nombre qui a pour logarithme 3;ai960197.

3,02960197 = log 1070,6377 3,02959884

RAurqub IV. On a pu se demander de quelle utilité était la iarre verticale qui se trouve placée entre la colonne 5 et la colonne 4. Cette barre a pour objet do faciliter la recherche du logarithme correspondant à un nombre donné , ou réciproquement. Cela tient à ce que l'on a ô colonnes de nombres de 4 chiffres avant et après , de manière qu'avec un peu d'habitude on peut apprécier le rang de la colonne, et| par suite, le chiffre qui est soit en haut, soit en bas, et cela sans y regarder.

Remarque Y. L'emploi des tables de logarithmes présente souvent de légères anomalies dont il ne faut point s'étonner. Pour s'en rendre compte , il faut concevoir que l'on ait d'abord trouvé les logarithmes^ les différences et les parties proportion^ nelles avec un plus grand nombre de décimales ; puis , qu'on a effacé toutes les décimales non écrites dans la table , en augmentant d'une unité la dernière décimale conservée , toutes leè fois que la partie supprimée dépassait une demi-unité de cet ordre , ce qui peut altérer les différences ou les parties proportionnelles. Mais comme la loi générale de la table est la constance de la différence entre les logarithmes pour des nombres équidifférents , peu différents les uns des autres, d'où

36 TBéORlE DBS LOGARITHMBS.

résulte la proportionnalité approchée; il vaut mieux, dans l'emploi des parties proportionnelles , s'en rapporter aux lois générales de la table qu'à une irrégularité accidentelle dont je viens de faire connaître l'origine. Ces anomalies peuvent , par exemple , être assez sensibles lorsqu'on cherche le logarithme d'un nombre dans les premières pages qui suivent immédiatement la Chiliade I, à cause de la confusion apparente des petites tables proportionnelles.

Je terminerai la solution du problème inverse par l'énoncé de la règle générale suivante :

86. Règle. P(nÊf trouver le nombre correspondant à un logarithme donné : après avoir écrit ce logarithme, on met à la suite le s{jfne = suivi de l'initiale log ; on cherche, dans la seconde partie de la table, le logarithme qui approche le plus par défaut du logO' ritkme proposé; on écrit les 4 derniers chiffres du logarithme tabu» laire au-dessous des A derniers chiffres du logarithme proposé; à la droite du mot log, on écrit le nombre entier de 5 chiffres correspondant au logarithme tabulaire; on soustrait le nombre de 4 chiffres inscrits sous le logarithme proposé, du nombre formé par les 4 chiffres qui se trouvent au-dessus ; dans la table des parties proportionnelles la plus voisine, on cherche dans la colonne à droite le nombre qui approche le plus, par défaut , du reste de la soustraction; çn écrit ce nombre sous le reste, et le chiffre qui y correspond à la suite des 5 chiffres déjà écrits après le mot log; on retranche du reste précédent le nombre mis au-dessotùs; on met un Oà la droite du nouveau reste, et on le cherche encore par défaut dans la table des parties proportionnelles; on écrit le chiffre cor^ respondant à la suite de six autres ; enfin , on place une virgule dans le nombre^ trouvé, ou bien des zéros à sa droite, de manière que les plus hautes unités du nombre obtenu soient d'un ordre correspondant à la caractéristique , c'est-à-dire que le rang de ses plus hautes unités par rapport au chiffre des unités' simples, sera marqué par le nombre d'unités de la caractéristique, à gaucJie si la caractéristique est positive, à droite si elle est négative.

Si la partie décimale du logarithme proposé est inférieure à 03342376 {qui est le logarithme de 108000, abstraction faite de la caractéristique), on se servira de la troisième partie de la table j

THÉORIE DBS LOGARITHMES. .*)/

comme de la seconde^ en mettant^ s'il le fàuty un à la droite du logarithme donné, pour qu'il ait 8 chiffres.

Si l'on voulait trouver dans le prernier cas plus de 7 chiffres, dans le second plus de 8 chiffres ; après avoir mis trois zéros à la droite du l""" reste, on diviserait par la différence libulaire la plus voisine, et Ton écrirait les 3 chiffres obtenus an qtiotient à la suite du nombre déjà écrit après le mot log; mais on ne peut compter sur Tcxactilude du 3' que lorsque le !•' chiffre du nombre est fort petit, comme je l'ai dit n*»îl; à plus forte raison, on ne peut compter sur l'exactitude du 4* chiffre , qu'on obtiendrait en mettant un zéro de plus au dividende.

Occupons-nous maintenant des applications de ce qui précède.

§ O. Élémeiito du c»lciil lograrl^HMltie.