CHAPITRE QUATRIEME

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Nous rappellerons avant tout que, dans le $ VI du chap. Il, nous avons démontré que pendant toute son action dans la machine, la vapeur l'este continuellement à l’état de vapeur au maximum de densité pour sa température; et nous en avons tiré cette déduction, que quand la vapeur passe, dans une machine, d'un certain volume connu M' à un autre volume également connu M, et que sa pression varie en conséquence, et passe de la pression connue p à une autre pression inconnue p, cette pression p peut se déterminer par la formule suivante :

dans laquelle la constante n a, selon le cas, les valeurs indiquées g IV, chap. II.

Cela posé, d'après ce que l’on sait déjà de la théorie proposée, la relation que nous cherchons entre les diverses données du problème se déduira de deux conditions générales : la première exprimant que la machine est arrivée au mouvement uniforme, et par conséquent, que la quantité de travail appliquée par la puissance est égale à la quantité d’action développée par la résistance; la seconde, qu’il y a nécessairement égalité entre la masse de vapeur dépensée par le cylindre et la masse de vapeur produite dans la chaudière.

Soient P la pression absolue de la vapeur dans la chaudière, et P' la pression moyenne qu’aura cette vapeur pendant son arrivée dans le cylindre, pression qui sera toujours moindre que P, excepté dans un cas particulier que nous traiterons plus loin; nous disons la pression moyenne, parce que durant son admission dans le cylindre, la vapeur subira une certaine dilatation qui fera varier sa pression, celle-ci étant plus considérable au moment de l’ouverture du régulateur pour l’admission de la vapeur, qu’au moment de la clôture du même régulateur pour le commencement de la détente proprement dite. La vapeur pénétrera donc dans le cylindre à la pression P', et elle continuera d’affluer avec cette pression et de produire un effet correspondant, jusqu'à ce que la communication entre la chaudière et le cylindre soit interceptée.

DES EFFETS DES MACHINES

Alors il cessera d’arriver de la vapeur nouvelle dans le cylindre, mais celle qui y est déjà parvenue commencera à se dilater pendant le reste de la course du piston, eu produisant par sa détente une certaine quantité de travail qui s’ajoutera à celle déjà produite pendant la période d'admission de la vapeur.

P étant la pression de la vapeur dans la chaudière, et P' la pression qu’elle prendra à son arrivée dans le cylindre avant la détente, soit tt la pression de cette vapeur en un point quelconque de la détente. Soient en même temps / la longueur totale de la course du piston, /' la course d’admission, ou portion de course parcourue pendant l’admission de la vapeur dans le cylindre, et A la portion qui correspond au point où la vapeur a acquis la pressions. Enfin, soient encore « l’aire du piston, et c la liberté du cylindre, c'est-à-dire l’espace libre qui existe à chaque bout du cylindre, au delà de la portion parcourue par le piston, et qui se remplit nécessairement de vapeur à chaque course; cet espace, y compris les passages aboutissants, étant supposé représenté par une longueur équivalente du cylindre.

Si l'on prend le piston au moment où la longueur de course parcourue est A, et la pression tt, on verra que si le piston parcourt, en outre, un espace élémentaire r/A, le travail élémentaire produit dans ce mouvement sera toc/a; car f/A étant l’espace parcouru, et 1 t la pression par unité de surface, ira sera la pression exercée sur toute la surface du piston, et j»ar conséquent ira x ti A sera le travail correspondant.

Mais, d’un autre côté, puisque, dans l’instant que nous considérons, l’espace parcouru par le piston est exprimé par A, il s’ensuit que, dans ce même instant, le volume « (/' -t- c), occupé par la vapeur avant la détente, «t devenu a (A -t- c). Donc, d’après l’équation (c) précédemment indiquée, il existe entre les deux pressions correspondantes P' et t, la relation

a 1 8 chapitre quatrième.

Or, en multipliant les deux membres de cette équation par adx, on en déduit

iradK — a {V c) (n -4- ly) — nadk.

Cette expression donnera donc la quantité de travail élémentaire produit par la détente, pendant que le piston parcourt l’espace et si l’on en prend l’intégrale entre les limites l' et /, on aura l’effet total produit par la détente de la vapeur, depuis le moment où elle est interceptée jusqu’à la fin de la course, savoir:

a (/' + t) (n + P') log — ^ — na (/ — /'),

expression où le logarithme indiqué est un logarithme hyperbolique.

Cette quantité exprimant le travail effectué pendant la portion de course durant laquelle il y a eu détente, en y ajoutant l’effet PW', produit pendant la partie antérieure l de cette course, ou avant le commencement de la détente, on aura pour le travail total développé par la vapeur durant toute la course du piston,

à (/' + c)(« + iy) ~ n(,i-

Mais la machine étant supposée parvenue au mouvement uniforme, le travail développé par le moteur doit être égal à celui qui est développé par la résistance. En représentant par R la pression totale exercée sur l’unité de surface du piston en vertu de cette résistance, ou plutôt en vertu de toutes les résistances diverses qui ont lieu dans la machine, le travail qu’elle aura développé pendant une course aura pour expression

aRl.

Donc on doit avoir la relation

a (/' + c) (n H- Iy) + log - nal = «R/, (A)

qui est la première relation générale entre les diverses doiuiées du problème.

DES EFFETS DES MACHINES

Il 9

Cette équation exprimant que le travail développé par la puissance se retrouve en entier dans l'effet produit, on remarquera que, pour qu’elle ait lieu, il n’est pas nécessaire que le mouvement de la machine soit strictement uniforme. Il peut également être composé d'oscillations égales, partant chaque fois d’une vitesse nulle pour revenir à une vitesse nulle, pourvu que les oscillations successives aient lieu en temps égaux, et que les changements de vitesse se fassent par degrés insensibles, de manière à éviter la perte de force vive.

On doit observer également que si, dans cette expression, on fait /' = /, ce qui revient à supposer que la machine travaille sans détente, l’équation se réduit à P' = R: c’est-à-dire que, dans ce cas, la pression de la vapeur dans le cylindre sera égale à la pression de la résistance contre le piston; et c’est, en effet, ce qu’on doit reconnaître à priori, car la seule force motrice appliquée par la vapeur, consistant alors dans sa pression constante sur le piston, il faut que cette force soit «•gale à la résistance, puisque sans cela le mouvement ne pourrait rester uniforme.

Nous venons d’obtenir la première relation générale entre les données et les inconnues du problème. Maintenant il s’agit d’obtenir une seconde relation résultant de l’égalité entre la production et la dépense de vapeur. Pour cela, si l’on exprime par S le volume d’eau vaporisé par la chaudière dans l’unité de temps, et transmis au cylindre, ce volume, en arrivant dans le cylindre, transformé en vapeur à la pression P’, y deviendra, d’après la relation déjà énoncée (a),

(le sera tlonc le volume de vapeur, à la pression P\ fourni par la chaudière dans l’unité de temps, ou dans une minute, par exemple. D’autre part, a (/' -h c) étant le volume de cette vapeur qui se dépense par coup de pistou, s’il y a K coups de piston par minute, la dépense par minute sera

Ka (/' -+- c).