r + n-fy + f'-°) = g+ *~^ + C (n+p); ( D

puis , éliminant le contre-poids n entre cette dernière équation et l'équation ( B ) , résolvant la résultante par rapport aux diverses indéterminées du problème , et mettant pour ( p 1 + p' T ) sa valeur r , on obtient les formules suivantes :

Vmmm JL (< + ')* - (i)

ar=m.*-« -X-^— *•)(« + p )

-îqr7[(«+')r+/"+*(»+r)], <*)

E.u.«=art>. (4)

Les quantités k 1 et k™ contenues dans ces équations représentent les expressions suivantes :

*ro = *" 4-tog ' ~ ^ "^ * -

et Ton en trouvera les valeurs toutes calculées dans une Table que nous donnerons un peu plus loin. Si l'on n'a pas cette Table sous les yeux , on se souviendra que les logarithmes de ces expressions sont des logarithmes hyperboliques, qu'on obtient en multipliant les logarithmes ordinaires des Tables par le nombre 2.302888.

Ces formules donnent la solution des problèmes qui peuvent se présenter , car toutes les quantités qui figurent dans le second membre sont connues par la nature

même des questions proposées. Il faut cependant en excepter la quantité — , qui

n'est pas ordinairement une des données originales du problème , mais qui résulte du contre-poids , lequel est seul donné a priori. Il faut donc avoir un moyen de déterminer immédiatement celte quantité en fonction des données réelles du pro~

blême. Pour cela , il suffit de recourir aux équations générales ( B ) , ( D ) , qui donnent

<-* , + c JP ., » + f-(* + ')(«— f' + n)-r (E)

On pourra donc , au moyen de l'une ou de l'autre de ces équations , connaître immédiatement la quantité — , et , par conséquent , la substituer dans les formules

précédentes , comme si elle était une donnée primitive du problème. Pour le cas

du maximum d'effet utile , où Ton ne connaît à priori ni la charge ni la vitesse

pi de la machine , la valeur de — sera déterminée directement , comme on le verra

dans un instant»

Pour résoudre numériquement la première des deux équations (E), (E T ) qu'on vient de présenter, il faudra procéder, comme il a été indiqué relativement aux machines de Wajt à simple action , c'est-à-dire qu'il faudra faire une supposition sur r f , en conclure k m au moyen de la Table n°. IV, qu'on donnera un peu plus loin, puis effectuer le produit

$i ce produit est plus grand ou plus petit que la valeur du second membre de -1 équation, on fera une supposition un peu différente sur — , et on continuera ainsi

à faire varier -y dans le sens qui rapprochera les résultats , jusqu'à ce qu'on parvienne à la solution cherchée. Il est nécessaire d'ajouter que ce calcul est extrêmement facile et n'exige que trois ou quatre essais.

$ III. De la charge ou de la vitesse qui produisent le maximum d'effet utile pour une clôture du robinet d'injection et une détente ou un contre-poids fixés.

D'après les formules qu'on vient d'obtenir, on voit que, pour chaque charge

donnée à la machine , sans rien changer aux quantités -j et y , il se produit une

certaine vitesse, et, par conséquent, un certain effet utile correspondant. La question est donc maintenant de reconnaître, parmi toutes les charges ou les vitesses qu'on peut supposer à la machine, celle qui rendra son effet utile un maximum

pour des valeurs données de -y- et — , c'est-à-dire pour une clôture du robinet d'injection et une détente fixées.

Pour cela, il faut d'abord former l'expression de l'effet utile avec une charge ou une vitesse quelconques. Or, en multipliant les deux termes de l'équation (2) par v, on obtient

arv = mkiS-j^l[l + *)r + r + *(» + ?)]

— au — '- ' ~ y l

c'est donc la valeur de l'effet utile cherché. Mais, en observant cette expression,

on reconnaît que la variable v n'entre que dans des termes négatifs, puisque ,

est toujours plus grand que k\ comme il est facile de s'en assurer en jetant un coup d'œil sur la Table des valeurs de ces quantités. Donc , le maximum d'effet utile sera donné par la plus petite valeur de v. D'autre part, en se rapportant à l'équation générale (G) , qui donne

— p-(» + P f ) pW^ + P)

on voit que la plus petite valeur possible de v sera donnée par la plus grande valeur de P 1 , qui est P' = P. Donc, en introduisant cette condition dans la valeur de v , qu'on vient d'obtenir , on aura la vitesse qui produit le] maximum d'effet utile de la machine , savoir :

v — a'P+c f ^ l—pt+c • (5)'

Puis, en substituant cette valeur dans l'expression générale de r donnée par l'équation (2), on obtiendra, pour la charge correspondante de la machine, ou pour la charge qui produit le maximum d'effet utile ,

ar'

=a— f- *'(* + P) — jZTt 1 * ( n +P)

-^jW+^)r+r+Hn+?)l (6)

Ainsi , ces deux équations feront connaître la charge et la vitesse qui , pour une clôture donnée du robinet d'injection ou de la soupape d'éduction, et une détente

%%i - CHAPITRE TREIZIÈME,

donnée de la vapeur, c'est-à-dire pour des valeurs fixées de -y et dé «y-, feront produire à la machine son maximum d'effet utile.

Il faut ajouter, relativement à ce problème que, quand le contre-poids de la maehine est fixé à priori, avec la condition du maximum d'effet, c'est-à-dire quand

on cherche le maximum d'effet utile que peut produire la machine avec un contre-

p poids donné , la détente — se trouve déterminée en même temps. En effet, en in-

traduisant dans l'équation (A) la condition P' =P, on obtient

£-fc w + y + f' + Z 1 — n l n-l-P 5

et cette relation fixe invariablement la valeur de -y- , puisque tout est constant et

connu dans le second membre. Ainsi , dans ce cas , la charge la plus avantageuse pour le contre-poids donné est indiquée par l'équation (6) , dans laquelle

-j- a nécessairement la valeur tirée de l'équation (A); et cette quantité -j- ne

peut plus être déterminée par aucune autre condition.

Mais , il y a un cas plus général , c'est celui où , au lieu de fixer d'avance le contrepoids à employer., on ae réserve 4 au contraire , de le déterminer d'après la condition que l'effet utile de la machine devienne le plus grand possible : alors , on

F doit chercher directement la valeur de -y qui remplit la condition voulue, et l'équation (A) ne sert plus qu'à en déduire la valeur du contre-poids. C'est ce que l'on reconnaîtra bientôt quand nous traiterons cette question.

$ IV. Détermination du frottement de la machine non chargée , et de son frottement additionnel par unité de la charge supportée par le piston.

Dans les machines atmosphériques , aussi bien que dans toutes les machines déjà Usitées , la recherche qui précède fournit le moyen de déterminer le frottement propre de la machine , et son frottement additionnel par unité de la charge que supporte le piston.

En effet , si Ton fait travailler la machine sans aucune charge , mais , en baissant la pression de la vapeur dans la chaudière jusqu'à ce que tout ce que peut faire la machine soit de pousser le piston jusqu'au bout de sa course , en surmontant son frottement seulement , et qu'on ait soin de refermer la soupape d'éduetion , ou le robinet d'injection , assez à temps pour empêcher tout choc du balancier à la fin de la course descendante, il est clair que le frottement de la machine sera devenu une charge maximum pour la pression dans la chaudière. En appelant

MACftmes ATuograteiQiEs. MS

donc P ,! la preasion alors observée dans la chaudière, au moyen du manomètre f tes équations générales (A) et (B) auront lieu, en y faisant à la fois P f = P 11 et p f = 0, />" = 0. Ainsi , on aura

/l'^n-f? — n— lzi*|JLi(n + p)*'" — *n.

Donc, en mesurant en même temps sur la machine les quantités / T et /", c'est-àdire les points où il a fallu fermer les soupapes d'admission et d'éduction pour foire travailler la machine sans choc , prenant par observation la pression p de condensation dans le cylindre et négligeant le terme *n , on aura toutes les quantités contenues dans le second membre des équations , et , par conséquent , mettes feront connaître p et f".

Pour avoir la valeur de la quantité $, on procédera d'une manière semblable . On fera travailler la machine avec une charge quelconque , mais connue , />", es ayant «oin de ne laisser produire aucun choc à la fin de la course descendante ; on mesurera en même temps la pression p de condensation dans le cylindre, «I -alors l'équation (B) se trouvant satisfaite, on aura, pour déterminer *, la formule

*4-f~r- t ~* +c (»+p)* m i^ ÎSSSÎ

Par conséquent , cette équation fera connaître * , puisque la quantité f" est supposée connue par la recherche précédente , et que f" est donnée. Comme cependant la valeur de f n n'a été trouvée plus haut qu'en négligeant * , il est clair qu'on pourra , si on le juge nécessaire , profiter de la valeur de * qu'on vient d'obtenir, pour refaire le calcul précédent et arriver à une évaluation plus approchée de la quantité p*.

On peut encore déterminer les deux frottemens p et f* , sans changer la charge habituelle de la machine , en se conformant seulement à la condition de faire travailler le piston sans choc , et de baisser la pression dans la chaudière jusqu'à ce que la charge de la machine devienne une charge maximum pour sa pression. En effet, en appelant P t la pression observée dans la chaudière, l'équation générale (A) donnera

Comme on connaît la charge p } de la course montante , cette équation donnera la valeur de p , et, ensuite, en tenant compte de la charge des pompes de service mises

en jeu dans une course et dans l'autre , on pourra en déduire celle de T\ ainsi que nous en avons donné un exemple pour les machines de Watt et de Cornwall à simple action.

$ Y. De la clôture du robinet dC injection la plus avantageuse pour une détente

ou un contre-poids donnés.

D'après les formules que nous avons obtenues dans l'avant-dernier paragraphe, il est clair que la charge et la vitesse de la machine , et , par suite , son effet utile ,

varient à mesure qu'on fait varier les quantités — et — , c'est-à-dire à mesure

qu'on change la clôture du robinet d'injection et la détente de la vapeur. Il y a donc deux questions que l'on doit se proposer maintenant , et que nous allons traiter successivement : c'est de chercher comment on pourrait disposer de ces quantités pour accroître , autant que possible , l'effet utile de la machine.

Pour reconnaître d'abord quelle est la clôture du robinet d'injection ou de la soupape du condenseur, qui est la plus favorable pour une détente donnée , il faut former l'expression de l'effet utile de la machine travaillant avec une clôture quelconque du robinet d'injection et avec la charge la plus favorable pour cette clôture , selon qu'il a été indiqué par la recherche précédente; puis, chercher la valeur

Z" de — capable de donner à cette expression sa plus grande valeur possible.

L'effet utile de la machine, avec une clôture quelconque du robinet d'injection et la charge la plus favorable pour cette clôture, s'obtient évidemment en multipliant l'une par l'autre les deux équations (5) et (6) , et a pour valeur

P + c ,, l — V' + c k™ n + p (1 + *)P + r+*( n + t) nr»»' - mS l ' '1+j'n + P (1+J)(n + P)

La question est donc de trouver quelle est la valeur de — qui rendra cette ex-

pression un maximum. Or, en y remplaçant A f|f par sa valeur, savoir :

* -/*»+ c + Io g 1 »

puis , prenant la différentielle du résultat par rapport à /" considérée comme variable , et égalant à zéro le coefficient différentiel , on obtient

Cette équation fera connaître , par conséquent , la valeur de , qui satisfait à la

eondition désirée. Pour la résoudre numériquement , il faudra y substituer pour & v et pour les constantes leur valeur connue ; par cette première opération, le second

fl!

membre , ainsi que le coefficent de — dans le premier membre , se trouveront rem-

placés par deux nombres , et l'équation se réduira à la forme très-simple

Ay + log -J—^fi.

Alors , pour en déduire la valeur cherchée de y , il faudra procéder par tà-

tonnemens , c'est-à-dire essayer diverses valeurs de — jusqu'à ce qu'on trouve

celle qui rend le premier membre de l'équation égal au second ; mais , on ne doit pas croire que cette recherche offre la moindre difficulté, car il suffit toujours de trois ou quatre essais très-faciles pour parvenir à la solution cherchée. Nous avons , du reste , déjà dit ailleurs que le logarithme exprimé dans cette formule est un logarithme hyperbolique dont on trouve une Table dans les Tables de logarithmes de Callet, et dont , au besoin , on aurait également la valeur en multipliant le logarithme ordinaire correspondant par le nombre 2.302585 , ou approximativement, par le nombre 2.303.

La valeur de -y, déduite de l'équation précédente , fera connaître le point de la course où il faut fermer le robinet d'injection ou la soupape d'éduclion, pour que la machine produise le plus grand effet utile dont elle est capable avec la valeur donnée de y- -, et comme , de plus , nous verrons bientôt que , quand cette

p quantité — est fixée pour la production du maximum d'effet utile , le contre-poids

de la machine l'est également , et, vice versa , il s'ensuit que la valeur de — déterminée par la recherche précédente , sera en même temps la clôture du robinet d'injection la plus avantageuse pour un contre-poids fixé.

S VI. De la détente ou du contre-poids qui produisent le maximum absolu

d'effet utile.

Les divers problèmes que nous avons résolus jusqu'ici l'ont été en supposant qu'on interrompt l'arrivée de la vapeur dans le cylindre, après une certaine portion de la course exprimée par — et que nous avons supposée fixée d'une manière

quelconque à priori. Mais, il est clair qu'à mesure qu'on donnera à celte quantité différentes valeurs , il s'ensuivra, pour la charge et la vitesse du piston ,des valeurs différentes, et, par conséquent, aussi des valeurs différentes pour Fefifet utile de la machine. On peut donc se proposer maintenant de reconnaître , parmi

toutes les valeurs qu'il est possible de donner à — , et chacune d'elles étant sup-

posée accompagnée de la clôture du robinet d'injection et de la charge le phia favorables , quelle est celle qui rendra l'effet utile de la machine un maximum ; et comme cette condition fixera la dernière des variables du problème , il est clair qu'elle déterminera le maximum absolu d'effet utile dont est capable la machine.

Pour résoudre cette question d'une manière directe , il faudrait d'abord , dans la valeur de ar'v* donnée dans le paragraphe précédent , remplacer /" et A m par leur valeur en fonction de T, d'après l'équation (7); et alors, en différentiant le ré* sultat par rapport à F considérée comme variable 9 on pourrait arriver à la solution cherchée. Mais, comme la forme de l'équation (7) ne permet pas qu'on en déduise facilement la valeur de /" , nous procéderons , dans le problème dont il est question, par la voie des approximations.

Pour cela , nous considérerons d'abord l'expression de ar f t? ! telle qu'elle est donnée un peu plus haut , savoir ,

P + c l — F + c k™ n + p (i-f t)p + pi + 3(n + f)

<*V - inf?- l l '* + *'» + » (l + *)(n + P) .

P + c l-l« + c n+p / / *»-fP

et nous ferons observer qu'en y supposant pour un moment /" = / , ce qui donne

elle se réduit à la suivante :

fl+c 1 n-f p (1 + *)p + pi-\-*(n-{- f)

Q / Hfl'n+P (1+*)(n + P)

D'autre part , en prenant la différentielle de cette expression par rapport à / ! considérée comme variable, et égalant le coefficient différentiel à zéro, on obtient la relation

*jl* * + *,, ' + c * »+P+(*+*)/» + r + *(»+f) ,m

T + 7 # ^+p l0 «/qr-c=rp ^jrp ^ (•)

Cette équation exprime donc la condition cherchée ; et comme le terme

c n -f- p JHhjL 7' n+p ** *»+o

est toujours une quantité très-petite, on peut la remplacer par la suivante :

F 1 n + p+tl + ^r + r + Jttt + f) r9 M

et celle-ci pourra suffire dans la plupart des recherches pratiques.

On remarquera que la solution donnée par la dernière équation, et même par l'équation ( 9 ) , n'est qu'approximative , puisque nous avons , dans les formules , supposé /" = /, ce qui n'est pas tout à fait exact. Si Ton a besoin d'une solution précise, on devra donc, après avoir calculé l'effet utile de la machine avec cette détente , le calculer de nouveau avec une détente un peu plus grande ou un peu plus petite; et si l'on trouve que l'effet utile augmente en conséquence, on continuera de faire varier la délente dans le même sens jusqu'à ce qu'on voie quel'effet utile cesse de croître : alors, on sera parvenu au maximum cherché. Il faut ajouter que ce tâtonnement n'offre pas de difficulté, parce que ce sont toujours les mêmes nombres qui se représentent dans le calcul, et qu'ainsi on n'a que de très-légers changemens a faire pour passer d'un premier calcul au suivant. Du reste,

comme, en continuant le calcul que nous venons d'indiquer, on trouve que la

F véritable valeur de -r- , qui produit le maximum d'effet utile, est plus petite que

eelle déduite de l'équation (9 bis), et que, cependant', celle-ci se trouve déjà trop petite pour être admise dans la pratique, on n'aura que bien rarement besoin de pousser les recherches au delà de la solution donnée par 1 équation (9 bù).

Ce calcul fixe donc la détente qui , étant accompagnée de la clôture du robinet d'injection la plus avantageuse pour cette détente , et en même temps de la charge la plus favorable pour cette clôture et cette détente réunies , fera produire , à la machine, le maximum absolu d'effet utile dont elle est capable. Actuellement , il semble que le contre-poids de la machine reste encore indéterminé , et qu'on pourrait également chercher à le fixer de manière à le faire concourir encore à l'augmentation de l'effet utile. Mais si l'on observe que, dans tous les cas, nous supposons la charge réglée de manière à faire produire à la machine son maximum d'effet utile , ce qui suppose P f = P, on reconnaîtra que cette condition fixe d'elle-même le contre-poids de la machine en fonction de la détente ; de sorte que celle-ci étant déterminée, comme nous venons de le faire , le contre-poids l'est également.

En effet, en introduisant la condition P 1 = P dans l'équation générale (À) , on obtient

Cette relation donne done immédiatement la valeur du contre-poids que doit avoir

la machine pour que les effets voulus soient produits, puisque toutes les quantités

contenues dans le second membre ont des valeurs connues. Et Ton remarquera en

même temps que , si Ton avait fixé d'avance le contre-poids , cette même équation ,

p résolue par rapport à — , ferait aussi connaître la détente la plus favorable pour le

contre-poids fixé.

Ainsi , en définitive , en réglant la machine à la détente donnée par l'équation (9), ou, ce qui revient au même, en lui donnant le contre-poids indiqué par

p Adéquation (8), dans laquelle on aura mis pour -- sa valeur déduite de 1 équation

*.(9); puis ensuite, en fixant la clôture du robinet d'injection ou de la soupape du -condenseur au point marqué par l'équation (7); et, enfin, en donnant au piston la -charge de 1 équation (6), on fera produire à la machine le maximum absolu d'effet utile dont elle est capable.

On remarquera que, dans quelques cas, l'équation (8) pourra donner, pour la quantité n, une valeur négative; c'est-à-dire que le contre-poids le plus avantageux pour l'action de la machine devrait alors être appliqué en faveur de la pression atmosphérique, et non dans le sens d'action de la vapeur. Ce n'est pas qu'on ne puisse , dans ce cas , employer un contre-poids différent et l'appliquer dans le sens ordinaire, mais il produira un moindre effet utile. En effet, on trouvera toujours alors que, pour régler la machine avec ce contre-poids, on la soumettra à l'une des quatre pertes d'effet suivantes : ou bien il faudra faire baisser la pression dans la chaudière , au moyen du registre de la cheminée , pour éviter le choc qui aurait lieu à la fin de chaque course montante par la trop grande prépondérance du contre-poids en faveur de la vapeur ; ou bien il faudra n'ouvrir le régulateur que partiellement pour arriver au même résultat; ou bien à la fin de chaque course montante , il faudra ouvrir, le robinet d'injection avant que le piston soit arrivé au sommet de sa course ; ou , enfin , il faudra laisser frapper le balancier contre les gardes du mouvement. Dans les trois premiers cas , on perdra une partie de l'effet du à la détente de la vapeur, puisque cette détente n'aura plus lieu qu'à partir d'une pression moins élevée, ou sera supprimée avant la fin de la course; et, dans le dernier cas , il y aura , contre les ressorts , un choc représenté par la chute d'un poids égal à la trop grande prépondérance du contre-poids. Ainsi que nous l'avons dit plus haut, on aura donc toujours une perte d'effet utile; mais, comme l'application du contre-poids supposé pourra mieux convenir à certaines conditions particulières du travail, il pourra arriver, en définitive, qu'il devienne préférable dans l'application.

En résumé , nous devons répéter , d'une manière générale , que si la détente de la vapeur, le contre-poids, la clôture du robinet d'injection ou la charge de la

machine qui sont propres à produire le maximum d'effet utile , offrent des inconvéniens ou des impossibilités dans la pratique, on devra se borner à choisir, parmi les valeurs possibles de ces quantités , celles qui s'écarteront le moins des résultats du calcul. Elles donneront alors la vraie solution du problème, puisqu'elles seront les plus avantageuses que l'application puisse permettre.

§ VIL Tables pour la solution numérique des formules pour les machines

atmosphériques.

Comme les formules qui précèdent contiennent les expressions logarithmiques k* et k m dont le calcul peut présenter quelque longueur , nous donnons ici des Tables qui en feront connaître la valeur à simple vue.

TABLE POUR LA SOLUTION NUMÉRIQUE DES FORMULES. — ( machines ATMOsrataïQm ).

No. IV.