PROBLÈME

18. Dans une voûte (fig. 5o)^ la courbe intérieure aB^ la courbe extérieure Gb étant données, les joints Mm^ perpen-diculaires aux élémens de la courbe intérieure, seront aussi donnés ; Von demande les limites de la pression fwrizontale en f, qui soutiendra cette voûte, en supposant qn'plle soit sollicitée par sa propre pesanteur, et retenue par la cohésion et le frottement des joints.

Soit prise une portion de cette voûte, telle que GàfSibn, soit prolongé wM jusqu^en R; soit nommé l'angle R, A; soit la force de pression appliquée en jT sur le joint vertical aG, exprimée par A.

Je suppose d'abord la portion GaMm solide, en sorte qu'elle ne puisse se diviser que suivant Mt/î. Il faut donc , pour que cette portion de voûte «oit en équilibre , que la force A soit telle, qu'elle l'empêche de glisser suivant Mm; mais la force dépendante de A, décomposée suivant Mfn, et dirigée suivant

cette même ligne, est Asin^.

La force parallèle à mM, dépendante de 9 ^cosh.

La force perpendiculaire à mM , dépendante de A. .A cos/z. La force perpendiculaire à nul, dépendante de 9. . 9 sin/z.

Ainsi, l'on aura, en ayant égard au frottement et à l'adhérence,

A cosA — A siah — ^^ ^ J^ • Mm ,

pour exprimer l'effort que fait cette portion de voûte pour

56o SUR LES MURS DE REVÉTEMEPÎS

A p.g'q^J^.zz. Ainsi ^ d'après l'équation

mq ^

il faut déterminer la constante B , telle qu'elle représente

le minimum de ^'^^"^ — ^— ; et B', déterminé d'après cette

considération , donnera pour B . mq une quantité égale à ^.qg' -hj'^^zz, dans un point seulement, et plus petite dans tous les autres points m, et par conséquent B exprimera la plus grande force que l'on puisse supposer agir en f; d'où l'on conclut que pour remplir la deuxième condition , la force appliqué en f ne peut point être plus petite que B, ni plus grande que B'. Par conséquent, pour joindre les deux conditions ensemble, si A^ ou B/ étaient plus grands que A' ou B', l'équilibre ne pourrait point avoir lieu, et la voûte, dont les dimensions seraient données, se romprait nécessairement.

Pour avoir actuellement les vraies limites, il suffit de prendre entre A, et B, la quantité la plus grande , et entre

A' et B' la quantité la plus petite, en sorte que si B^ était plus grand que A^, et B' plus petit que A', B, et Baseraient les véritables limites des forces que l'on pourrait appliquer ' en/* sans rompre la voûte.

PREMIÈRE REMARQUE

Le frottement est souvent assez considérable dans les jnatériaux que l'on emploie à la construction des voûtes, pour que les différens voussoirs ne puissent point glisser l'un contre l'autre; en ce cas, l'on peut négliger la première condition d'équilibre ; et il n'est plus nécessaire que la résultante des forces qui agît sur une portion quelconque

ET L'ÉQUILIBRE DES VOUTES. 36i

de voûte soit perpendiculaire aux joints qui la terminent, mais qu'elle tombe seulement sur ces joints. [Ainsi , en négligeant la cohésion des joints; ce qui doit se faire dans les voûtes nouvellement construites, il suffit de chercher le

maximum de ^^, pour déterminer la force B,, et le minimum de ^^, pour déterminer B'; Ton doit en outre supposer que la force B agit en G, sommet du joint, pour rendre la force B/ aussi petite qu'elle puisse être. Il faut cependant remarquer que lorsqu'on cherche à fixer l'étal d'équilibre par cette seconde condition, en supposant les forces passant par les points 6 et M, il faut supposer que ces points sont assez éloignés de l'extrémité des joints, pour que l'adhérence des voussoirs ne permette pas à ces forces d'en rompre les angles; ce qui se détermine par les méthodes que nous avon& employées en cherchant la force d'un pilier.

KEMARQUE IL

Dans la pratique, il sera toujours plus simple de déterminer les limites de la force B par tâtonnement , que par des moyens exacts. Je suppose, par exemple, que l'on prenne la portion GaM de la voûte, telle que le joint Mm. fasse un angle de 45 degrés avec une ligne horizontale ; l'on calculera la force B^ dans cette supposition; l'on cherchera ensuite cette même force par rapport à un second joint, peu distant du pvemier, en s'approchant de la clef; si cette deuxième force est plus grande que la première, l'on sera sûr que l'angle de rupture de la voûte est entre la clef et le premier joint ; ainsi, en remontant, par cette même opération, vers cette clef, l'on déterminera facilement la vraie force By. Ce calcul ne

saurait jamais être bien long, parce que d'après la propriété

36a SUR LES MURS DE REVÊTEMENS

de mcucimis et minimis, il y aura^ vers un point M, où l'on trouve la limite cherchée B,, très peu de variations sur un assez grand développement de la courbe ; et qu'ainsi , pour déterminer cette force B; , il ne sera nécessaire que d'avoir à peu près le point de rupture M ; l'on déterminera par les mêmes moyens la plus grande force B' que puisse soutenir une voûte sans se rompre. Par conséquent, si les dimensions de la voûte étaient données, comme nous le supposons ici , de même que la hauteur du pied-droit BE, sur lequel elle porte, l'on déterminera facilement quelle doit être l'épaisseur B6 de ce pied-droit, pour que la résultante de la force B^, qui agit en G, et de la pesanteur totale de la voûte , et de son pied-droit, pa^e entre E et e, ou passe par le point e, ce qui satisfera à la deuxième condition de solidité.

La destination de ce Mémoire, peut-être déjà trop long, ne me permet pas d'étendre cette théorie , ni de l'appliquer à toutes les espèces de voûtes; ainsi, je me contenterai d'avoir essayé de donner des moyens exacts, et tels que je les crois absolument nécessaires pour constater l'état de solidité.

En comparant les principes qui précèdent avec les difiFérentes méthodes d'approximation usitées dans la pratique, l'on s'apercevra facilement que leurs auteurs n'ont point assez distingué les deux conditions d'équilibre nécessaires pour l'état de repos. Dans celle, par exemple, que Ton attribue à La Hire, rapportée par Bélidor et pratiquée par presque tous les artistes, l'on divise la voûte en trois parties, et l'on calcule la pression de la partie supérieure, en se conformant à la première condition d'équilibre, et l'on détermine ensuite les dimensions des pieds-droits, par la deuxième condition d'équilibre. Or, pour peu que Ton y

fasse attention , Ton verra que si l'on divise la partie supérieure vers la clef, et que l'on suppose que cette vcrôte se rompe en quatre parties, au lieu de se rompre en trois , la force de pression des parties supérieures sera souvent, dans les voûtes plates, beaucoup plus grande que celle qui se détermine par la méthode de La Hire , et que les dimensions des pieds^roits , fixés par cette méthode, seront souvent insuffisantes.