COROLLAIRE PREMIER

Si la puissance horizontale était constante et égale à la pression en a, et si la résultante des forces verticales était égale à la pesanteur de la portion de la voûte àiA , pour

lors l'on aurait -j- = j-^, d'où l'on tirera la valeur de jo ,

si la courbe est donnée, et de même l'expression de la courbe lorsque la loi de pesanteur p est d(mnée.

35a SUR LES MURS DE REYÊTEMENS

COROLLAIBE II.

Si Fépaisseur de la voûte {fig. 47) était finie^ les mêmes suppositions existantes que dans le corollaire précédent^ soit R le rayon de la développée au point M; soit z le joint Mm;

Ton aura MM! mm' — ^^^ ^ et par conséquent

dx A

dy f^ zds{2K

+i)^ dx Sr y

mais

R — -^^ et ^=^ainsi ^ Ton aura

A(dsy g(aR + g) • lUir* ~ aR ^

œ qui donné

R + z = (RR + ^J-ï)*,

équation générale pour une voûte quelconque^ dans le sya- ^me de la pesanteur.

EXEMPLE

Si la courbe intérieure aMB était un cercle dont le rayon fut 1 , et qu'on cherchât la valeur de z, il est clair que

ds MM' 1 ^'^ • . / . aA V c* i> ^

tt:= -TEi^ = — 9 ai^si l-h jÇ = { 1 -f- ; Ti) . Si Ton sup-

pose qu'au sommet de la courbe le joii)t Ga = 67 l'on aurfi pour lors cos5 = 1, et A= "^ t

PREMIÈRE REMARQUE

Par cette théorie , je pi'îii cherché qu'à remplir la première condition d'équilibre^ qui exige que toutes les forces qui

agissent sur une portion de voûte GaMm, aient leur résultante perpendiculaire au joint Mm; mais il est facile de prouver que l'on a satisfait en même temps à la deuxième condition^ qui demande que cette résultante tombe entre les points M et m; car, puisque la force constante A agit perpendiculairement au joint vertical Ga,en un point quelconque S, il s'ensuit que puisque,, par la condition d'équilibre que l'on vient de remplir, la ligne des résultantes doit couper tous les joints perpendiculairement, elle formera une courbe parallèle à la* ligne supérieure aB; ainsi, dans le cas où la force A serait appliquée en a, la ligne des pressions serait exactement la même que aMb.

Jacques Bernoulli {Op., vol. II, p. 1119), en cherchant la figure d'une voûte dont les voussoirs seraient égaux et très petits, trouve, par les di£Pérentes conditions d'équilibre, deux expressions di£Pérentes; mais une fausse estimation dans les angles de cotangence, a donné lieu à l'erreur de Bernoulli, et la remarque en a été déjà faite dans les notes, par les éditeurs de ses Ouvrages.

ir« REMARQUE.

Il suit encore de la formule générale

R + « = (RR + îi^^'

que toutes les fois que la voûte ^B forme au point B un

angle droit avec son axe EB, parallèle à l'horizon, le joint,

dans ce point, devient infini; ou que ce joint est l'asymptote

de la courbe extérieure CD; car puisque, dans l'équation

fondamentale, ds devient infini par rapport àc^, il suit

que R -4- js devient aussi une quantité infinie. Ce résultat

se trouve peu conforme avec ce que nous voyons exécuter tous les jours ^ puisque dans la pratique, les joints horizontaux , au lieu d'être infinis, sont souvent assez petits. Dans la théorie, en outre, la courbe intérieure étant donnée, la longueur du jointes! toujours une quantité donnée, quantité cependant que les architectes varient à l'infini dans l'exécution. Mais le frottement et l'adhérence conservent par leur résistance l'équilibre, que la force de la gravité tend à détruire. Nous chercherons dans la suite la manière de faire entrer dans l'expression des voûtes ces nouvelles forces cœrcitives; mais l'on peut, en attendant, inférer de cette remarque, que dans l'exécution, la théorie qui précède ne peut être, comme nous l'avons déjà dit, dans l'Introduction^ que d'une faible utilité.

eOROLIiAlRE III.

Si la courbe extérieure, de même que la courbe intérieure, étaient données, l'on pourrait déterminer, dans le cas d'équilibre, la direction des joints de la manière suivante.

Fig. 48. Soit supposé, comme plus haut, le' joint aG vertical , prolongé indéfiniment en /; soit çM le joint en M, qui, prolongé, rencontre la verticale aZ en Cj soit ç le centre de gravité de la partie aGMq j soit sp la direction de la force horizontale constante A qui rencontre en p une verticale passant par le centre de gravité ^; la résultante de toutes les forces sera exprimée par une ligne j972, qui {art. i) doit être perpendiculaire au. joint Mq et passer entre les points M et 9 ; soit tiré PM parallèle à Taxe AB, et soit nommé h l'angle PMC. La courbe aMB étant donnée , de même que la courbe G^D, la pesanteur de la masse GaM^ sera exprimée par une fonction de PM et de h) mais les deux

triangles semblables pm, PCM y dout les cotés du premier sont proportionnels aux forces qui agissent sur la portion de voûte GrcMqy donnent l'analogie suivante : P pesanteur

de la portion de la voûte GdMq : A : : cos A : sin ^, ou P = -j^j--

Nous verrons dans la suite quels sont les points ^ entre a et G , où l'on peut appliquer la pression A , quantité déterminée par l'équation précédente, pour satisfaire à la deuxième condition d'équilibre, c'est-à-dire pour que la résultante p/z passe toujours entre les points M et q.

EXEMPLE

Si l'on voulait déterminer la direction des joints d'une plate-bande d'une épaisseur constante et donnée; que aGB6 {fis* 49) représente cette voûte comprise entre deux lignes droites parallèles. La direction du joint vertical aG, de même que la direction du dernier joint Bô, par lequel la voûte s'appuie sur le mur BLKO, étant données, l'on cherchera direction de tous les autres joints Mm; soit aG=a, aM=a;, que la direction du joint Mm rencontre la verticale aG

en C, l'on aura GaMi7z=P=;aa?-|-2-^^. Substituant cette

asinA *

valeur de P dans l'équation fondamentale f^^ = P ^ il en résulte ctx= (A — t^^?^. Pour avoir la valeur de la constante A, soit supposé que lorsque x = àR — b, ^^ égale G»

on trouvera A = — — — ; et par conséquent x = ^^.^^ ;

d'où l'on conclut que tous les joints d'une plate-bande passent par le même point C, ce qui donne une construction très facile.

Pour satisfaire, dans cet exemple^ à la deuxième condi-

tion de V article i y qui exige que la résultante des forces qui tiennent en équilibre la portion de voûte GàM.m, passe entre les points Met m; soit ^rune ligne verticale passant par le centre de gravité de la masse totale GaB6. Si sur le joint &B Ton élève au point B une perpendiculaire B/i , qui rencontre la verticale (pr en 7^, et si, par ce point n, on tire une ligne horizontale tw, le points où le joint vertical Ga sera rencontré par cette ligne , sera le point le plus bas sur le joint Ga, où l'on puisse appliquer la force A, sans que la plate bande se rompe. Ainsi , si la direction du joint Bô était telle, que la ligne B/z rencontrât la verticale çr, en un point n , au-dessus de la ligne Gô , il n'y aurait aucun point sur le joint Ga où l'on pût appliquer la force A, pour conserver l'équilibre , et la plate - bande se briserait nécessairement. Il est très facile , d'après ces remarques , de déterminer la limite de l'inclinaison B6, lorsque Fépaisseur Ga est donnée.

Je crois inutile d'avertir que si la résultante B/z, pourk masse totale, passe par le point B, la résultante, pour une masse particulière GdMm , passera nécessairement entre M et m y puisque la quantité A restant constante, les masses GaMm diminuent. Ainsi, dès que l'on a satisfait à la deuxième condition d'équilibre pour le point B, l'on a nécessairement satis&it à cette même condition pour un point quelconque M.

De V équilibre des voûtes, en ayant égard au frottement et

à la cohésion.