VC2 + D
les deux constantes arbitraires G et D se trouvent remplacées par les deux
constantes arbitraires Rv, A,.
Les coefficients
Rn
a — xJb ’ æ — 4 ’ ’ a — n2n2b
demi-courses des diverses oscillations élémentaires.
représentent les
Les formes générales (!'s), (17) ou (V9) expriment simultanément «, /3, z, c’est-à-dire chacun des trois mouvements de : de galop, de roulis et d’oscension. En chacun de ces trois cas, les coefficients constants a et b , et la fonction f(t), ont des valeurs différentes, savoir :
dans le galop ; « = 6 = SR2y, =
dans le roulis : a — ^ (jr j , £ = SR2X, /(*) = j^;
dans l’ascension
ion: *=S, /(<)=?.
Reste à analyser les actions de la vapeur, les inerties, etc., de façon à développer a, pL, f sous la forme (1'6). — Auparavant, établissons une première discussion des résultats précédents au moyen des remarques suivantes :
1° L’équation (\\) renferme simplement f[t) au premier degré sous le signe J. Si donc /(/) est la somme d’un certain nombre, fini ou infini, de fonctions, /j (£), fs ( t ), etc., l’intégrale u de l’équation
au + hJ^=f{t) (1 ' bis)
sera la somme des intégrales uv m2, uv etc., des équations :
au + b jp = fi(t) >
î i cpu eu\
au + bjp—fAt),
au + b —fM, etc.
Autrement dit : si f(t) = fx(t) -f- /J(f) -f-
on aura : u — ux-\- u2- 1- ...
Gela exprime la superposition des mouvements .
2° Les séries (\r7) ou (1'9) se composent de deux parties :
Dsin (/^ j.
#) Les termes de la fin : C cos ( ( V/ r ) 4- D sin ( t\ ou bien (sous l'autre forme) : R, cos (
représentent les oscillations de la locomotive en tant que véhicule, oscillations dont l’amplitude est indéterminée a priori — (car elle résulte seulement des irrégularités de la voie) — et dont la durée : 0 = 2?ry/^, est indépendante de la vitesse &> et des autres conditions de fonctionnement ou d’établissement du mécanisme;
b) L’ensemble de tous les autres termes des séries (t'7) ou (I'g) représente les oscillations de la locomotive en tant que machine, Oscillations dont les amplitudes et les durées sont déterminées par la vitesse » et par les autres conditions de fonctionnement ou d’établissement du mécanisme.
3° Les divers coefficients A0, At, Bj, A?...An, Bn, etc., de l’équation (I'e) représentant deux espèces de forces : actions de la vapeur et inerties , peuvent en général s’écrire sous la forme : A'n .+ A"nw2, B'n + BV; les parties A'n, B'n ne dépendant que des circonstances de la distribution, et les parties A**, B"n ne dépendant que de la masse et de la figure des organes. — La série (I'g) peut donc se dédoubler en deux autres : la première, ayant pour coefficient : A'„, A'n B'n A'2, etc., ne peut prendre évidemment que des valeurs limitées. Au contraire, la seconde série avant pour coefficients : A"0w2, A'VA B>2, A"2&>2, etc., prendra des valeurs croissantes jusqu’à l’infini en môme temps que &>2.
Ainsi les réactions p, pn ? se composent, chacune, de deux termes : le premier, provenant des actions de la vapeur, et ne prenant que des valeurs finies; le second, croissant à l’infini en meme temps que &>2.
4° De même, la série (l'7), abstraction faite des deux derniers termes qui expriment les oscillations de la locomotive en tant que véhicule, peut se dédoubler en deux autres.
La première ayant pour coefficients :
a — ur b ’
peut
s’écrire ainsi :
A'n cos (nul) -f- B'n sin {n<àt) a — ri*orb
Les amplitudes (autrement dit les demi-courses) des oscillations élémen-
ta ires auront pour valeur : — — —
1 a — nWb
donc elles convergeront rapidement vers zéro, quand » tendra vers l’infini.
La deuxieme sérié ayant pour coefficients : , , , . ..
peut s’écrire :
&>2 A"n cos (n«f) -f- w2B'/n sin (nwf) a — n*v*b
Les amplitudes des oscillations élémentaires auront pour valeur :
v/w4A "i -f- co4B"n a — n2u2b
donc elles convergeront rapidement vers la limite, finie :
quand w tendra vers l’infini.
Conclusion. — En chacun des trois genres de mouvements : galop , roulis, ascension , il y a deux espèces d’oscillations dues au mécanisme. Les unes, engendrées par les actions de la vapeur, convergent rapidement vers zéro ; les autres, engendrées par les inerties, convergent rapidement vers des limites finies et généralement assez faibles. En sorte qu’au delà de certaines vitesses, fréquemment dépassées dans la pratique, les amplitudes des diverses oscillations de la locomotive en tant que machine peuvent être considérées comme constantes et très-peu étendues. Mais, à mesure que la vitesse augmente, ces oscillations se produisent en des temps de plus en plus courts et correspondent, par conséquent, à des réactions intérieures ou extérieures de plus en plus énergiques, sèches, et pour ainsi dire instantanées; qui sont effectivement proportionnelles à w2 comme nous l’avons vu tout à l’heure (3°). Donc, ce qu’il faut redouter, ce ne sont point les oscillations régulières de la locomotive en tant que machine , ce sont les réactions correspondantes que subissent les organes et la voie. Ce qu’il faut redouter encore, ce sont les oscillations de la locomotive en tant que véhicule , oscillations dont les durées sont constantes, mais dont les amplitudes sont déterminées par les chocs, réguliers ou accidentels, des bandages contre les rails, chocs dont la violence augmente très- rapidement, et presque sans limite, quand w s’accroît. Nous reviendrons plus tard sur ce point important.
5° Les allures d’une locomotive ressemblent parfaitement aux allures d’un cheval ou d’un -piéton. A mesure que l’homme ou l’animal se transporte avec plus de vitesse, ses mouvements oscillatoires ont des amplitudes moins étendues et qui convergent rapidement vers des limites fort petites (ces faits se constatent aisément, soit à simple vue, soit par expérience) ; mais au contraire, les réactions intérieures qui causent la fatigue du sujet, et les réactions extérieures des pieds contre le sol acquièrent promptement une grande énergie. Ainsi, plus un cheval galope vile et plus il fait jaillir d’étincelles •contre le pavé.
De même, à mesure que la vitesse d’une locomotive augmente, les amplitudes des mouvements oscillatoires convergent rapidement vers des limites finies et très-faibles; mais, pendant ce temps-là, les réactions intérieures du mécanisme, et les réactions extérieures des bandages contre les rails s’accroissent indéfiniment.
Toutefois, la machine vivante possède en raison de son intelligence (ou instinct) et de sa volonté (ou ses appétits) certains avantages qui manquent à la machine artificielle. Exemple ; l’homme, ou l’animal, peut modifier en certaine mesure la rigidité de ses ressorts naturels, muscles ou tendons. Au contraire, les ressorts de suspension d’une locomotive sont invariables. En second lieu, l’homme, ou l’animal, sait régler sa direction et sa démarche de façon à éviter, jusqu’à certain point, les obstacles accidentels; tandis que la locomotive suit passivement la voie.
6° Si « = o, les équations (I'e) ou (1'8) et, d’autre part, (1'7), (t'9) ou (I'10) fourniront la réaction f(t) et le déplacement u qui correspondent à une vitesse nulle ou insignifiante de la locomotive.
7° Si a = oo ce qui revient à supposer des ressorts infiniment rigides, autrement dit des appuis invariables, la réaction f ( t ) ne contenant pas a garde la même valeur; mais le déplacement u s’annule. Or c’est précisément ce qui se passe eu égard au lacet : mouvement qui serait exactement nul si le montage était parfait, mais qui toutefois tend à se produire sous l’influence d’une action de même nature que p, ^ et y.
Pourquoi n’a-t-on pas encore songé à régulariser le mouvement de lacet des locomotives, voitures, trucks américains ou Bissel, etc., au moyen de ressorts spéciaux qui joueraient horizontalement entre le châssis et la partie suspendue (caisse ou chaudière)? — C’est par suite d’un oubli que les projets de la locomotive à mouvements opposés ne présentent pas l’exemple de ces dispositions.
8° Cas remarquables. — Lorsqu’on a : a — —o, ou bien a — 4 = o,
ou en général a — nWb — o, le terme d’indice n, de l’intégrale, semble prendre une valeur infinie. — Ce qui signifierait que les oscillations acquièrent une amplitude infinie, entraînant la rupture des ressorts, et la projection de la locomotive dans les espaces? — C’est qu’effectivement la relation
exprime que parmi les diverses oscillations
dues au mécanisme, celles de la catégorie représentée par le terme d’indice n ont la même durée que les oscillations de la locomotive en tant que véhicule. Dès lors, chaque oscillation du véhicule se trouvant accrue par une impulsion nouvelle, l’amplitude des mouvements grandira jusqu’à l’infini. — De même que dans un pendule qui, à chacun de ses passages sur la verticale, reçoit une impulsion nouvelle. — De même que dans un pont suspendu sur lequel passe une troupe d’infanterie ou une voiture au galop. Si telle catégorie d’oscillations du tablier se trouve correspondre au pas
cadencé des hommes ou des chevaux, les amplitudes des mouvements s’accroîtront sans limite : parfois jusqu’à la rupture.
Telle fut peut-être la raison de la catastrophe du pont d’Angers, il y a quelque vingt-cinq ans.
De même si l’on fait osciller une pièce élastique, et qu’à chaque retour on accroisse le mouvement par une impulsion nouvelle, on accroîtra indéfiniment et souvent jusqu’à rupture, l’amplitude des oscillations. Les enfants s’y prennent de la sorte pour casser les branches d’arbre, et pour se balancer dans une escarpolette, une voiture ou un bateau.
En ces divers exemples : pendule, pont suspendu, planche, etc., voiture ou machine, si les oscillations ne s’accroissent pas toujours au point d’amener bouleversement ou rupture, c’est que la théorie comporte des limites et des imperfections : l’isochronisme ne constitue point une loi rigoureuse; les frottements, souvent considérables, ont été négligés; enfin, dans les locomotives, il doit arriver rarement que l’égalité entre la durée des oscillations dues au mécanisme et la durée des oscillations du véhicule se soutienne longtemps (*).
Néanmoins, on peut trouver ici la raison de certaines ruptures d’essieux, rails ou bandages survenues à de faibles vitesses, et sans cause apparente, en des organes sains et bien montés.
Expliquons maintenant les faits par l’analyse. Reprenons la question à l’origine en supposant que dans la série (1'6) le terme d’indice n se réduise, en vertu de l’hypothèse : a — n2w?b = o,
à: An cos + Bn si»
D’après une remarque antérieure (n° 1), l’intégration des autres termes de la série (1'6) ne devra être modifiée en rien, et conduira aux divers termes similaires actuellement écrits dans la série (1'7). Donc il suffit pour éclaircir la difficulté présente de substituer dans la formule (1'6) le binôme
O'u) A. cos + B» sin (yj~b
à la fonction f(t) et d’effectuer les opérations. — On obtient (**) ;
— B nt cos
2 s'âTô ’
(*) Ces phénomènes se verraient sans doute plus clairement sur les locomotives fonctionnant comme machines fixes , mais alors on a généralement soin d’enlever ou de caler les ressorts.
A nt sin
(**) H va sans dire que tous les termes en cos et en sin qu’on peut
obtenir, sont ù effacer ; puisqu’ils doivent être fusionnés avec deux termes semblables ayant pour coefûcients deux constantes arbitraires, soient G et H, introduites par la présente intégration. Et après la substitution du résultat dans la formule (l'7) les deux constantes arbitraires G, H, doivent, elles-mêmes, être fusionnées respectivement dans les deux constantes arbitraires C, D.
Kt sin \\^t + An) ou, si l’on veut : .
%\Iab
Telle est la nouvelle et véritable valeur du terme d’indice n qui apparaissait sous forme de oo. Tous les autres termes de la série (1'7) demeurent ce qu’ils sont. Au reste, on parvient encore directement à l’expression (I'16) en cherchant la limite vers laquelle tend An cos (ntùt) + Bn sin (nwt) a — n2w2ô
lorsque tend vers y Ce calcul est simple, mais exige quelques précautions.
La fonction (I'15) représente une courbe sinueuse où les ondulations sont isochrones, mais possèdent une amplitude proportionnelle à t et ainsi croissant à l’infini avec t.
On confirme donc l’existence d’une série de vitesses :
pour lesquelles le mouvement u devient infini. Et comme u désigne arbitrairement le galop, le roulis, ou l’ascension, on voit qu’il existe en chacun de ces trois mouvements une série particulière de vitesses critiques. Mais
dans les trois cas la vitesse w =
est en général seule à considérer,
car les autres vitesses correspondent à des termes fort petits des séries , très-convergentes, (V6) et (1'7). Il est à remarquer que plus les trois quantités a seront faibles, autrement dit, plus on emploiera des ressorts doux, et plus les vitesses critiques s’abaisseront (*).
(*) Dans la machine, déjà citée, de la Cie P.-L.-M. (voir la note page 4), machine oü l’on a :
pour chaque ressort AV :
pour chaque ressort Mil :
x as — 0m, 1 5 ,
pour chaque ressort iR. :
et où les roues motrices ont lm,05 de rayon, on trouve que les vitesses critiques sont respectivement :
1» relativement au galop :
2° relativement au roulis : ta =d= i / ■ ■ ■■ = 10,6, d’où : ± 4Qk,lom,3,
5° relativement à l’ascension ; w =
= 17,1, d’où
wU = ±G4kilotn,G
13,5, d’où ; <*>R = ± 51kUflm,7,
En pratique, il convient de déterminer les ressorts de telle sorle que
chacune des trois vitesses critiques sJ ~ soit notablement inférieure à la vitesse « du fonctionnement habituel de la locomotive.
9° La fonction f(t) peut être discontinue. Cette hypothèse se trouve généralement conforme à la réalité; car chaque fois que le piston arrive à fond de course, le sens de la pression de la vapeur change brusquement. Mais la discontinuité de f(t) n’empêche nullement la continuité de l’intégrale u. Chaque point de rebroussement de f(t) correspond simplement à un brusque changement de courbure (*) de l’intégrale u.
4 0° On sait aujourd’hui que les équations différentielles linéaires (telles que (L bis) n’admettent pas à’ intégrale singulière , ou dans un langage plus moderne : de solution particulière. Donc les équations (1'3) ou (V5) comprennent toutes les solutions possibles des équations (1'2).
