Théorie des nombres

Après avoir dégagé le second -membre du facteur constant b, on fait voir comment la résolution de cette équation se déduit des développements donnés dans le $ précédent, ibid.

Exemples divers, 4 i~4fl

§ VI. Démonstration d'une propriété relative aux diviseurs quadratiques de la formule t' + au',a étant un nombre premier 8n + i , 5o

Après quelques propositions subsidiaires, on prouve que l'équation.... U'=PY' + aQYZ +R Z ' , dans laquelle P R — Q ' = a, n'est susceptible que de deux solutions , lesquelles se réduisent à une seule lorsque l'équation proposée est de la forme U * = a/' -+- %yi ■+- \ (a -f- 1) *' , 54

De là on conclut que le nombre des diviseurs quadratiques jn+ t de la formule t1 +au' , surpasse toujours d'une unité le nombre des diviseurs cjusdratitiues iin + 3 de la même formule, 56

$ VII. Démonstration du théorème contenant la loi de récipro-

cité qui existe entre deux nombres premiers quelconques ,

$ \ III. D'une loi très-remarquable observée dans l'énurné ra-

tion des nombres premiers,

Comparaison de la formule avec les tables ,

ibid.

Valeur moyenne et probable de la différence entre deux nombres premiers

consécutifs ,

Sommation de quelques suites qui dépendent de la loi des nombres premiers,

Fssai sur la démonstration de la formule trouvée par induction,

DU TOME II. vij

§ IX. Démonstration de divers théorèmes sur les progressions arithmétiques ,

Si on désigne par ir le terme de rang k — i dans la suite des nombres premiers 3,5,7, 1 1 > etc-> ie 1UC sur 15 termes consécutifs d'une progression arithmétique quelconque, il y en aura toujours au moins un qui ne sera divisible par aucun terme pris dans une suite de k nombres premiers quelconques, 76

Il en résulte que toute progression arithmétique dont le premier tenue ci la raison sont premiers entre eux, contient une infinité de nombres premiers, -7

S X , où l'on prouve que tout diviseur quadratique de la formule t' + Nu', contient au moins un nombre premier à N et plus petit que N , Hu

S XI. Méthodes pour trouver combien, dans une progression arithmétique quelconque , if y a de termes qui ne sont divisibles par aucun des nombres premiers compris dans une suite d 0/1 née , 8k

Formule générale qui satisfait dan» tous les cas, 88

Algorithme pour simplifier le calcul de la formule générale,

Formules pour la comparaison des diverses progressions,

Une progression quelconque et la simple progression des nombres impairs

peuvent être disposées terme à terme, de manière que les ternies c-orres-

pomiants soient tous deux premiers ou tous deux non-premiers à uu

même produit Çl ,

On peut déterminer combien il y a de nombres premiers dans une progres-

sion arithmétique prolongée jusqu'au n"' ternie,

On peut déterminer pareillement combien un diviseur quadratique donné

de la formule t'-i-nu' contient d« nombres premiers moindres qu'une

limite donnée N ,

§ XII. Méthodes pour compléter la résolution en nombres en-

tiers des équations indéterminées du second degré,

lOft

On ramène généralement l'équation ay* -\-byz-\-cz% +dj -+- fz-\-g~n à la forme a/*-\- by z' -\- c z'* —H ;on donne ensuite une méthode générale et exempte de tâtonnement pour déduire des valeurs de y' et s' celles de y tx z en nombres entiers, 10;

viij TABLE DES MATIERES

Page»

Le succès de la méthode précédente étant fondé sur ce que les Tractions à faire disparaître ont pour dénominateur b* — 4aei on *e propose plus généralement de déterminer l'exposant n tel qu'en faisant (y-f-wW^ A)*~ F

G y" A, la quantité ^.F-j-piG-f-v soit divisible par un nombre premier

quelconque m , 10H

On détermine ensuite directement la valeur du même exposant telle que XF-f- p. G -f-v soit divisible par une puissance donnée de «, no

S XHI. De l'équation x' ay'ashz1, m»

I i i- solution connue de cette équation en fait connaître une seconde, celle-ci une troisième et ainsi à l'infini; chaque solution est composée en général d'un nombre Je chiffres quatre lois plus grand que celui de la solution précédente, ibid.

Par une analyse inverse on peut, à partir d'une solution donnée dans l'ordre ascendant, calculer les solutions inférieures dans l'ordre descendant, i i(i

O problème donne lieu de remarquer qu'il y a des équations du 3* degré qui se résolvent par une formule différente de celle de Cardan et notablement plus simple. On donne le type général de ces équations, i i H

Théorème sur les équations du troisième degré dont les trois racines sont rationnelles , i ao

§ XIV. Méthode pour la résolution de l'équation y* = a + bx 4-c x' + d x1 + c x4 en nombres rationnels, tai

Si l'équation proposée est telle que a ou e soit un carré parfait, on donne

le moyen d'avoir successivement d'autres solutions , ibid. Application a deux problèmes particuliers, ia5-ta6

S W. Développement du produit ( i — x) ( i — x') ( i — x3) , etc. continué à [infini , 128

On trouve que ce produit est 1 — x — x' -+-x4 + x~ — x'1 — x,s + etc. , c'est-à-dire qu'il ne contient de puissances de x que celles dont les ex-

posants sont de la forme , . i3a

Conséquences qui en résultent pour la partition des nombres, ibid.

S XVI. Des Jonctions semblables qui étant multipliées entre elles donnent des produits semblables , 134

Formules pour les fonctions homogènes de deux dimensions et à deux variables, 1 3 5-i 36

DU TOME II. ix

Page*

Formules pour le» fotictions homogènes de trois dimensions et a trois variables , ' i j~ - 1 jtë

Ces formules fournissent le moyen de résoudre généralement l'équation indéterminée X'+aX'Y-MXV+c Y3= V3, i iy

On peut étendre la même théorie à des fonctions homogènes de tous les degrés, i4'

§ XVII. De quelques questions guise rapportent, plus ou moins directement , à L'analyse indéterminée , iji

On donne pour exemples deux problèmes difficiles dont la solution est due à En 1er,

Méthodes pour déterminer les nombres qui sont une partie aliquote de la somme de leurs diviseurs , problèmes dont les géomètres se sont occupes du temps de Fermât et de Descartes, i45-i5o

§ XVIII. D'un autre problème remarquable par l'espèce d'analyse employée pour sa solution , 01

USAGE DE L'ANALYSE INDÉTERMINÉE DANS LA RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION ■r* — i = o , n ÉTANT IN NOMBRE PREMIER, iMi

S I. Contenant les bases de cette nouvelle théorie, ibid.

Théorèmes préliminaires , 168-169

Si l'on fait .r" — î — (jr — 1 X , le polynôme X , dans lequel n est toujours supposé un nombre premier, ne peut se décomposer en deux facteurs rationnels , 1 71)

Proposition très-générale dans laquelle consiste la théorie qu'on se propose de développer, d'après M. G miss, 17»

Relation qui existe entre les racines de l'équation X=o, et celles de l'équation indéterminée z*~ ' — i=3TL(«) : toute valeur z—g qui satisfait à cette dernière, et qu'on appelle racine primitive de n} est telle que toutes les racines de l'équation X=o peuvent être exprimées par les puissances

successives r,r', r8 , . . .r**~~',ou, suivant une notation abrégée, par

. (0>te)>te,)>(g,)---0r" ), »74-'7-»

Formation des périodes dans lesquelles se décompose ln période 'n — i, 1)

comprenant toutes les racines de l'équation \ = o, «76