DÉMONSTRATION DE DIVERS THÉORÈMES D'ANALYSE INDÉTERMINÉE

S I, o« l'on se propose de décomposer un nombre donné ;i en quatre carrés , de manière que la somme de. leurs racines , prises positivement , soit égale à un nombre donné b, 33 ■

Premier cas, ou l'un des quatre nombres s, f, //,?■ serait zéro; conditions pour la possibilité de la solution , 33a

Second i as . nu aucun de ce< nombres n'est /.ci o ; alors il faut que 4a — ^' soit la somme de trois carrés, et qu'ainsi 4a — b' ne soit pas de la forme 4*(8«-4-7), 33J

la solution sera toujours possiltle avec cette condition , mais pour qu'elle soit donnée en nombres positifs, il faut encore que b soit compris entre les limites \-\'\a et \/ S n — i) — i, l'.t cependant il y a des cas où l'on obtiendra encore des solutions et) nmiiLircs j »<>■»! t ils, quoique b soit audessous de la limite [ ' '3 n ■ i) \ i , 33(i

Cette première analyse donne une nouvelle extension aux deux premiers cas du théorème sur les nombres polygones, 3 ju

S II. Démonstration du théorème de Fermât sur les nombres polygones et de quelques autres théorèmes aimlogues , 34o

Après quelques propositions préliminaires on prouve i° que tout nombre entier plus grand que 5o/w +21 est la somme de/w-t- 2 polygones de l'ordre it + a , dont m — a seront égaux à aéro ou à l'unité, a" qu'il en» est de même de tout nombre entier plus petit que ~n>m- -ai. 3.jo-j4f)

Ces deux propositions comprennent la proposition générale de Fermât, mais avec une modification qui lui donne plus de précision et d'élégance, puisque sur les m j- a polygones indiques par Fermât il y en a toujours m — a qu'on peut supposer égaux à zéro ou à l'unité.

On peut prouver de plus, que, passe une certaine limite, facile à assignerpour chaque ordre de polygones, tout nombre donne peut être décomposé en quatre polygones ou cinq an plus. 35o-354

P.xemplc sur le nombre <» {84 qui peut être décompose en quatre octogones, 356

§ III. De l'équation \s -4- y'-r- z3 — o. ifo

1. impossibilé de cette équation resuite des trois propositions suivantes :

DU TOME II. xiij

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i* Si cette équation est possible, l'un des nombres -r,/, a sera divisible par 3.

■/ L'indéterminée , qui doit être paire , scia on même temps divisible pai i.

3° Si l'une des indéterminées est divisible à îa fois par a" et par 3". l'équation à laquelle elle appartient pourra être changée en une autre ou l'indéterminée analogue ne sera divisible que par 3*~'. On parviendrait donc de transformation eu tianstoi inaliim à une équation ou aucune indéterminée ne serait divisible par 3, ce qui est impossible par la première proposition.

§ IV. De l't'guation xs -+ y* 4- à — o , 36i

Si l'équation proposée était résoluble, on pourrait déduire de cette équation une suite infinie d'autresequations, égalementrésolublcs, qui supposeraient que les nombres x,jr y z sont composés d'une infinité de facteurs; la solution supposée ne pourrait donc être donnée qu'en nombres d'une grandeur infinie.

S V. Théorèmes d'analyse suivis de formules nouvelles pour les sections angulaires , sti^

En partant du théorème de l'art. 5io, on prouve i°que a étant un nombre premier 4"* H- 1 i si l'on fait (/+ ^ / «}"=/P + Q l^" > les polynômes P et Q pourront se mettre sous la forme X ' — n Y* ,

a° Que «étant un nombre premier 4 m -f- 3 , si l'on fait (f+gV/r — /i)* — /!■' + »*,' Q l-^— " i les polynômes P et Q pourront èiie parlâmes eliartm en deux facteurs rationnels, de sorte qu'on aura P--\H, <> -=(iD, i~i

Ces théorèmes appliqués à la puissance n de cns.pH-W' — i sin.ç, donnent

le moyen de décomposer généralement en deux facteurs le polynôme

ncos.'~'9 — .. cos.'-'çsin. ç> -[ rte, e;;al a 1-

Ces facteurs s'exprimeront toujours d'une manière linéaire par les cosinus des multiples pairs de y lorsque n scia de la l'orme 4 "' \ 1 . et par les sinus des multiples impairs du même an.de. lorsque n sera de la forme 4W+3, 373-38a

De là résultent les équations les plus simples qu'on puisse obtenir pour la division de la circonférence en n parties égales.

§ VI. Nouvelle démonstration de Ici loi de réciprocité qui existe entre deux nombres j) ramiers , igt

C'est la plus simple entre toutes les démonstrations connues de cette proposition fondamentale.