CINQUIEME PARTIE. . a3i
Br.
9 =7/> -Hf(/>' -4p'-4p")
l»Sol. a COS. ^.=:iî"+l|/{?*"4y)
a' sol. aco8.^=i?"-^(y"'-4?) 4' sol. acos.|r'=i?'-ii/(?"-4!?} ( ?''=i/>''-TW'(/"-4/>",-4/>")
Une seule de ces solutions suffit pour avoir toutes les racines de
l'équation X = o; car si on fait, par exemple, r = eos.^-t-
1/ — î sin cette racine fera connaître toutes les autres par les puissances successives r1, #*■'. . .r4".
(M3) Voyons maintenant l'usage de la même analyse pour décomposer la fonction X du degré n — i en facteurs des degrés sousmultiples de ii — î.
Si on veut seulement la partager en deux facteurs du degré m = ~\n — i), il suffira de mettre 4X. sous la forme Y*± /*Z', savoir : Y* -f- n'D si n est de la forme 4 * — i et Y' — nZ* si n est de la forme 4 i + i . Dans ce dernier cas seulement les facteurs du degré m sont réels puisqu'on a 4X=(Y-f- Zl/n)(Y— Z|/«).
En général si on fait n — i — mk, on pourra décomposer le polynôme X du degré mk, en k polynômes du degré m, ce qui fera autant de décompositions possibles qu'il y a de manières de partager « — i en deux facteurs.
Dans l'exemple dont nous nous occupons où n — i =4o=a*. 5, on pourra décomposer le polynôme X du 40"™" degré de cinq manières différentes, savoir:
en deux facteurs du degré ao en quatre du degré 10
en cinq du degré 8
eu dix du degré 4
et en vingt du degré 2.
Nous allons développer ces différents cas.
a32 THÉORIE DES NOMBRES.
D'après les calculs précédents les vingt facteurs du degré a, sont:
T'"=.r,-rx+ 1.
Par le produit des deux facteurs T et T" on formera le facteur Q du quatrième degré; de même par le produit des deux facteurs T', T' , on formera le facteur Q' et ainsi jusqu'au facteur Q"; de sorte que les dix facteurs Q, Q' , Q" . • Q'% seront ainsi exprimés :
Q =(x>+ly — x(x' + i)q + q""x' Q' = + i)' — x{x% + \)q + q"x' Q" = (x*+ i)'— x(x>+i)q" + qx'
Q" — (x'+ iy~x(x'+ i)q" + q"x'.
Les facteurs du huitième degré se formeront par la réunion de deux facteurs du quatrième en cette sorte P = QQ', IV=Q'Q*% P"=Q'Q*",P"=:Q"'Q"",P" = Q"Q". Or en effectuant la multiplication, on a
p = (x>+ly-x(x>+iy(q + q')+x'(x'+ iy(q"'+q""+qq*) — x\x' + i)(qq'"+ qyq"") + x*q'"q°"\
Dans cette expression les coefficients réduits d'abord à la forme linéaire, s'expriment ultérieurement par le moyen des racines p, et parce que la valeur du facteur P fait connaître les quatre autre» facteurs , le système de ces facteurs sera comme il suit :
P' =(x'+ P/ — 4- \Jp +x>{x'+\Y{p" +p"+p") + Jj(i'+i)(i +p) + xt{p'+p)
p" o«— iy{p"+p"+p)
p''=(x'+ i)*—x{x*+ iyp"+x>(x' + iy(p"+p+p)
P"=r(.f' 1)*— .x(x' -+- oy +x'(x* 4- iy{p+p+p")
H- xJ (.r* + i ) ( i + p'*) + x4 (/>" + //").
(544) On a déjà formé les deux facteurs du vingtième degré qui divisent le polynôme X ; cherchons maintenant les quatre facteurs du dixième degré. Pour cela il faut d'abord avoir les valeurs des quatre périodes p = ( i o : i ), p' = ( i o : g), P"= ( i o : g*) , p"'= ( i o : g») , dont le développement est, en supposant toujours g= i3 :
De là résulte suivant le théorème de l'art. 5oo
p- =8-ap + f"+ap", pp'=-a+2p , pp'^-^ + p+p'
e" =8— ap' +P'" + 2p , p'p"=— a + ap", p'p-=: — a + p' + r
p"'r=8 — ap' ' + p -+-a,/, f"P'"=-» + »Pm.
p "=8 — ap "+p' -f-af ", p"p =r a + ap
Pour avoir l'équation du quatrième degré qui détermine p, je forme les équations successives
pJ 4- 2p* — l3p -4- ()=p"
p« + ap»-l.Sp« + 5p + a = p"l
et j>ar les deux dernières j'ai l'équation cherchée
a34 THÉORIE DES NOMBRES.
résultat qu'on obtiendrait directement par la formule du n* 517', et qu'on trouve dans le tableau du 11° 5*22.
Connaissant une racine p de cette équation, on aura les trois autres de la manière la plus simple par les formules
Au reste l'équation dont il s'agit se décompose en deux équations du second degré qui sont, en faisant a = l/4« »
on en tire
p-—ip(«— + 5)=o
^ j==r1K«+0±il''(a«'+ ««>«)• P )
Les valeurs numériques approchées sont
a = 6.4o3ia 4^3809 \/{pi<t — io«)= t\. 2389J 7i38i6
1/ (3 «' -f- I O a) = 1 2 . o8433 872337 p = 0.29104 177498 p' = 1 . 17030 3621 32 ♦ p" — 2.4io52 o344°65
Par les fractions continues on trouverait les valeurs suivantes qui se déduisent les unes des autres, et qui sont à peu près aussi approchées que les précédentes,
Il est remarquable que les racines p, p',;p", P" se déduiraient 'des valeurs trouvées ci-dessus pour *\ etc. On a en efiet
Ainsi les valeurs de p qui s'expriment par de simples racines carrées, s'expriment aussi par les quantités t qui dépendent chacune d'une équation du cinquième degré et de deux du second; identité qu'il serait comme impossible de constater a posteriori, d'après les valeurs de p que nous donnerons ci-après.
(545) Maintenant si on veut avoir le facteur du dixième degré qui contient toutes les racines de la période p , il suffira de former le produit
*\y-t) Cr-'") tr—r") tr -«"«■),
dans lequel y= — - — . Représentons ce produit développé par
j> (y» - «y + tf- yy + èy- .).
Nous aurons d'abord a = p; ensuite des valeurs t=r+r*,... t"=z r,s 4- rlS, t"" — r" + r'" , r ' = r* + rJ" , e" = r1' -i- r'5 , on tire
é = S(*r) + S(«T,,,)=— i — p + {' Y = S(trr")+S(«rr)=-2-p+p' l = S (< r r ■• r •) = — 3 — P"— 3 P'" , = »"rrr=i — p;
donc le polynôme cherché du dixième degré est
(jr' + i)J-Px(a;,+ i)4— (i +p — p">'(x+ i)J -h (a + p— pO^(x*+ 1 V— (3 + p"-»- 3 0— (i — p)ar*.
a36 THÉORIE DES NOMBRES.
Cette fonction jointe aux trois autres qui s'en déduisent, en avançant chaque lettre p d'un rang, donnera les quatre facteurs dont le produit =X. Ainsi l'équation X = o du quarantième degré est immédiatement décomposée en quatre autres du dixième degré dont les coefficients ne dépendent que des quantités p déterminées par de simples extractions de racines carrées.
§ IV. Méthode de réduction pour compléter la théorie précédente.
(546) I l ne sera pas inutile de résumer ici en peu de mots la théorie que nous avons développée.
Étant proposée l'équation x* — 1=0 où l'exposant n est un nombre premier, et mettant à part le facteur a? — 1 , tout se réduit à trouver les racines imaginaires de l'équation X = o; et parce que chaque
racine doit être de la forme cos. ^^ + 1/ — isin.— , il suffit d'avoir l'une des valeurs réelles de x + ^ qui sera toujours représentée par 2 cos. C'est à quoi on parvient par la résolution
d'une suite d'équations dont les degrés, multipliés entre eux, donnent le produit \ {n — 1), et qui auront toutes leurs racines réelles.
Soit k le plus grand nombre premier qui divise n — 1 , et soit n — 1 = m k ; on formera d'abord l'équation du degré k qui a pour racines les périodes de m termes, savoir : (m : 1), (/w :g), (m :g%). . .{m : £*"'), g étant l'une des racines primitives de n. Cette équation, qui sera de la forme pl -+• p^'+oîp1"1 4- £ pk~* + etc.= o, et dont les coefficients «',€', etc. seront toujours des nombres entiers, jouit de ces deux propriétés remarquables :
i* I^s racines p , fi ,p ', etc. , étant les valeurs des périodes de m termes rangées dans l'ordre (m : 1) , (m ; : g) , (m -.g1), etc., ou en général dans l'ordre (m: a), (m : *g), (m:ag'), etc. , l'une de ces racines étant connue et désignée par p, toutes les suivantes p, p"y. . .p*~\ se déduiront de p et de ses puissances successives p1 , . ./>*"', par une expression de la forme A+Bp+Cp' . . . + hp^~% dans laquelle les coefficients A, B, etc. seront rationnels;
a" Etant donnée une fonction 9 rationnelle et entière des racines
p, p',p", etc., ou de quelques-unes d'entre elles seulement, si on avance les lettres p d'un rang pour passer successivement de la fonction 9 à la fonction 9', puis de la fonction 9' à la fonction 9", etc., jusqu'à ce qu'on parvienne à la fonction de rang k — i , la somme de ces k fonctions désignée par 8(9) sera égale à un nombre entier. Dans ces changements progressifs de la fonction 9, chaque racine qui y est contenue prendra successivement toutes les valeurs /?(■), //*+•), /;C«+»). . ./>(«-•), contenues dans la suite p,p',p". . qui est rentrante sur elle-même, et dont un terme quelconque petit être pris pour le premier terme.
(547) L'équation en p étant résolue, appelons k' le plus gratid nombre premier qui divise m (k' pouvant être égal à k), et soit m = m'k'\ il faudra partager la période p=(m :«) en k1 périodes de m' termes , savoir : (m : a) , (nï : «A) , (m' : ah') . (m' : aA*~ ') , où l'on a h=gk. Ces périodes désignées par q , qW}q(**). . .ql?*— seront les racines d'une équation en q du degré k' , dont tous les coefficients s'exprimeront d'une manière linéaire par les racines connues p,p\ p , etc.
Les autres périodes de m termes , savoir : (m : «g), (/« : <tg') , etc., se partageront de même en k' périodes de m' termes, au moyen d'une suite d équations en q qui dérivent de la première équation trouvée , en avançant successivement les lettres p d'un rang. Mais il suffit de résoudre la première de ces équations ; car d'une racine donnée q de cette équation, on peut déduire les valeurs de toutes les autres périodes de m termes, par des expressions rationnelles et qui ne laissent aucune indétermination. On trouve de même que toute fonction 9 rationnelle et entière des racines q ou de quelquesunes d'entre elles, prenant kk' valeurs successives, lorsqu'on fait parcourir à chaque racine q'^ le cercle entier des valeurs dont elle est susceptible , la somme de toutes ces fonctions désignée par 8(9), pourra être exprimée d'une manière linéaire par les racines connues p,p\p", etc.
Continuant ces subdivisions jusqu'à ce que le dernier terme de
la suite m, m ,m" , etc. soit 2, on aura enfin les équations qui ont pour racines les périodes de deux termes , représentées en général
par + af~|A, et qui donneront ainsi la solution complète du problème.
(548) La théorie dont nous venons d'indiquer les principaux résultats, laisse à résoudre les équations en p, q, etc. qui sont pourvues de tous leurs termes, et qui pourraient à quelques égards présenter des difficultés plus grandes que l'équation x" — 1 = 0 qui est le principal objet de ces recherches. Pour obvier à cet inconvénient, M. Gauss a indiqué une méthode particulière au moyen de laquelle la résolution des équations auxiliaires dont nous parlons se réduit dans chaque cas à celle d'une équation à deux termes de même degré, dont le terme connu est de la forme a -\-b\/ — 1 ; de sorte qu'alors une équation complète du degré k peut se résoudre par la section d'un angle dont le cosinus et le sinus sont connus, ou du moins sont déterminés, en supposant connue la division du cercle en k parties égales.
Cette méthode de réduction est d'autant plus remarquable qu'à l'époque où son auteur l'a publiée, les géomètres pouvaient la regarder comme le premier exemple un peu général qui eût été produit jusqu'alors, de la résolution des équations au-delà du quatrième degré.
Nous nous proposons ici d'exposer cette méthode sous un nouveau point de vue qui en facilitera beaucoup les applications et fera disparaître entièrement la prolixité qui avait jusqu'ici paru inévitable dans cette sorte de calculs.
Pour qu'on saisisse plus facilement l'esprit de la méthode et la loi des résultats, nous ne considérons pas seulement un cas particulier, mais nous allons résoudre en général l'équation du cinquième degré qui a pour racines les cinq périodes de m termes qui ont lieu en supposant n = 5m -+• 1. Nous ferons voir ensuite comment on peut résoudre l'équation du septième degré qui a lieu lorsque n = ym -+- 1.
De l'équation auxiliaire du cinquième degré qu'il faut résoudre
lorsque n=5m + i.
fo4<)) Cette équation que avons représentée ci-dessus par
o=Pi +P* + iy— Q// + Rp— n
a pour racines les cinq périodes de m termes dans lesquelles se par tage la période (5m, i) comprenant toutes les racines de l'équation X = o.
Soient /?,//,//',/?"',/>", les cinq racines de l'équation dont il s'agit, nous supposerons
R étant une des racines imaginaires de 1 équation R5 — 1=0; si on élève au carré la valeur de T et qu'on le mette sous la forme
T> = a + bR* + cW + dR6 + cW, il est facile de voir qu'on aura
