II
fji 1 »-'r'
il *•>
f'— qt + y'"=ro y'/ 4-?" =o V — q"t + q = o r—q"'t+q' =o f—q-t +q" =o t'—q't +q"' =o t' — q"t -+-y'* — o t'—q"'t + q< = o r~q""t+q" =o t>-~q"t +q"' =o
[.'équation du second degré qui a pour racines y et y" ne détermine pas celle des deux racines qui doit être prise pour y,- il en est de même de l'équation qui a pour racines y' et yT' et des trois autres semblables. Pour faire disparaître à cet égard toute indétermination , autre que celle qui est inévitable entre y et y*, il faudra chercher, conformément à la théorie précédente, les valeurs des puissances y', y1, '/'» y* de la racine q, exprimées en termes linéaires , y', y". . .y"; on réduira ces valeurs à ne contenir que les incon-
nues f/ , 7 ", 7 "', 7" , puisqu'on peut substituer peur les autres racines les expressions rf=p— 7, 7"=//— <j\fj"" =p" — q" ,q""=p'"—(f\ 7"=//* — 7". De cette manière on aura quatre équations au moyen desquelles on pourra exprimer 7', 7 ",7". 7" par les puissances de 7, sans aucune ambiguïté, ce qui déterminera en même temps les autres racines 7*, 7". . .7".
(54o) Le choix étant donc fait pour la valeur de 7 entre les deux racines de l'équation 7' — p 7 ■+• p'-hp"= o, toutes les autres quan- . tités 7', 7", etc. , deviennent connues et déterminées. Lorsqu'on passe ensuite des périodes 7 de quatre termes aux périodes t de deux termes, déterminées par dix équations du second degré, on rencontre une première ambiguïté inévitable dans la valeur de / qui peut être indifféremment l'une des deux racines de l'équation /* — 7* + 7""=o; on pourra ensuite éviter toute ambiguïté pour la détermination des 19 autres racines t, t" . . en faisant usage du même procédé que nous avons indiqué pour les raeines7', 7" . . . 7". Mais ces calculs sont d'une longueur rebutante , et il faut avouer que c'est un défaut de la méthode dont nous donnons ici le développement, de ne présenter aucun moyen simple, pris dans la même analyse, d'écarter toute ambiguïté dans la détermination des périodes déduites des périodes d'un ordre supérieur. M. Gauss, auteur de cette méthode, a senti cet inconvénient, et il a proposé pour v remédier d'employer les valeurs approchées «les différents termes que l'on cherche en les tirant d'une table de sinus naturels. Ainsi
, , « •, a£iv , j 2 kit
dans notre exemple ou 1 on a r=eos.~- \ — 1 sm.-^-,ce qui
donne en général r" + r" ~~ * = a cos. , si on fait jxror abréger
X ■= 1 , on aura ra + r"~a = a cos. . Au moyen de cette formule
les quantités 7, 7', etc. , s'expriment très-simplement et d'une manière déterminée, comme il suit :
u28 THÉORIE DES M OMBRES.
air . 181c «=2 COS. -r- 4- 2 COS. -t— 41 41
261c iair 7 =2C0S.— + 2COS.—
„ ioir 81c
7 = 1 COS. -jp- -4- 2COS. —
etc.
Lorsque ensuite ou passe des périodes de quatre termes désignées par 7 aux périodes de deux ternies désignées par t, on a pour ces dernières les valeurs très-simples,
2 ir „ 1 8 n
t =2cos.T , t' = acos.-— 4» 4i
./ a6w 12 iç
f ~ 2COS.-T— , f =2COS.-r-
.a 101c .... 8it
/ = 2COS.-r— , F" = a COS. -7-
etc. etc.
Et d'après les valeurs approchées de ces quantités, combinées avec leurs signes, il n'y a plus d'ambiguïté à craindre dans la résolution des équations du second degré qui donnent les diverses valeurs de 7 et de t.
(54i) On voit d'ailleurs a priori pourquoi la solution générale est sujette à des ambiguïtés nmltipliées, même en usant de toutes les ressources que fournit la méthode pour déduire d'une période donnée toutes les autres périodes d'un même nombre de termes; c'est que la solution générale a lieu quel que soit le nombre entier k ; et puisque ce nombre peut prendre toutes les valeurs de 1 à n — 1 , il est évident que chaque changement fait dans la valeur de k, doit intervertir l'ordre des périodes composées d'un même nombre de termes.
Dans l'exemple dont nous nous occupons n — 1 =4o, ainsi il y a \o valeurs différentes à prendre pour k , lesquelles prises deux à deux
produisent les mêmes valeurs de*, puisque la valeur f = acos.-^ nechange pas en mettant n — k à la place de k. On doit donc trouver
ao valeurs différentes pour une même racine t* dans laquelle « serait constant, et ces 20 valeurs, différentes entre elles, représentent la suite entière t,t',f.. .f".
Le nombre 20 de ces combinaisons, composé des trois facteurs 5.2.2, s'explique naturellement par les cinq valeurs de p déduites de l'équation (A), par les deux de q déduites de l'équation. . . 7' — pq + // -f- //' = o , et par les deux de t déduites de l'équation V— qt + q"u=o.
(542) Si on n'a pour but que d'obtenir le résultat final , soit pour avoir toutes les racines de l'équation X=o, soit pour diviser la circonférence en n parties égales, on pourra éviter en très-grande partie les difficultés que nous venons de signaler , et il ne faudra jamais qu'un petit nombre dessais pour parvenir à une ou plusieurs solutions réduites à la forme la plus simple dont elles sont susceptibles. C'est ce que nous allons faire voir dans le cas de n = 4>-
Il faut d'abord chercher la valeur approchée d'une racine de l'équation, puis déduire de cette racine, désignée par p, les quatre autres désignées par p ,p'\p"',p" \ voici le résultat de cette opération pour laquelle on a donné ci-dessus les formules nécessaires,
Racines approchées.
p = 3 . 062 53 90796 p = o.446io 14^96 p" = 1.2162875038 = — i.i9586 684o6
Leurs logarithmes.
0.48608 i6392Ô 9.64943 3ai5o o.o85o3 624496 0.07768 28238 o.656oo 81866
Au moyen de ces racines on calculera les valeurs de q et q" , ainsi que celles de q" et qr" , savoir :
, et f par la formule q^p ±^(^ -p -,»)= j ^5,^,3» f et r • pr la formule W-/*-,^ \ J^g» JjJ
a3o THÉORIE DES NOMBRES.
Remarquons ensuite que parmi les équations qui déterminent deux à deux les 20 valeurs de t , on trouve lequation V — q"t + q—o (jui donne ces deux valeurs t= 7 q q")' — q]. Or par le résultat précédent, q doit être l'un des deux nombres 2.3Ô7. . . , o . 705 . . . , et q" l'un des deux 3 . 0769 . . . , — 1 . 8606 . . . Ainsi on n'aura que ces quatre suppositions à faire :
j ( q =a.3!i734 3o658 h j q = a.35734 3oG58 { <y" 1=3.07690 19087 ' q " = — I .86061 44"49
ni
La seconde supposition ne peut avoir lien parce que les valeurs de t qui en résultent seraient imaginaires; la troisième n'a pas lieu non plus, parce qu'il en résulterait une valeur de t plus grande que 2 , laquelle par conséquent ne pourrait être représentée, comme elle doit l'être, par 3cos. w. Ainsi il ne reste à calculer que les vu leurs de t qui résultent de la première et de la quatrième hypothèse. Ces valeurs sont :
, ..... , 1 <= 1. 63585 87ao5 = acos.( 35* 7' 10". 0244: Dans la Irc hvp.
1 ( /= i.44u»43i88a =acos.( 43e54' 8".78o4j
nain la IVe hvi. ' * = ~ °- ^6 3oo385= 2cos.(io5' ai' 57".o73i ..: | /=- i.33o6'5 «40105=2005.(131° 4^'^'.34i57)
or on a
^ --= 1 o5" 2 1 ' 57" . 073 1 7 , ^jf — 1 ï 1 ° & ^ • ^4 1 ^'
Ainsi on peut conclure de là que les quatre valeurs trouvées pour /
8ir
dans nosdeux hypothèses, seraient égales rigoureusement à 2 eus. ~ ,
2oos.^, 2cos. 24^, 2cos.^, si on substituait dans les formules 4' 4' 4'
les valeurs exaetes des racines /;,//,//',//",/>". De là résultent ees quatre solutions.
