CINQUIEME PARTIE. a8i

0=1 + R' + R' + R' + R" o = i+Rs + R'°,

au moyen desquelles la valeur de M peut s'exprimer ainsi : M=— 2R+3R3 + aR4 -+- aR*— aRé + aR'.

Substituant les valeurs M = n* (cos. 0 4- V — i sin. 0), R = cos. p. + 1/ — i sin. (i), on aura les équations

n 7 cos. 0 = i — 4 cos. jt — a cos.a |*— 5 cos. 3 p. = — a . 4473 5 807 1 4 1 3 /*~sin.0 = — a sin. a (* -+- 5 sin. 3 (a + a sin. 5(i= 5.ooio4 3738090, d'où résulte

0=n6"4/3a".57io39.

(58 1 ) I^s valeurs trouvées de e , ô' , , donnent par approximation

i5w=-36i854'3a". 7o5635; on peut prendre simplement

i5w=— i'54'3a".7o5635, ce qui suppose 1 5 » = 8 6 4- 4 0' 4- a 0"' 4- 6™ 4- a w , et on aura

u =— o" 7' 38".i8o376 aw ô = a/= 81 3 7 .366364 au — 6'=ù»"= ia7 11 8 .683094.

Pour avoir ensuite la vraie valeur de c'est-à-dire celle qui doit correspondre à la valeur prise pour «*, il faut la déduire de l'équation u,"—u-\- a — 0; on aura ainsi

valeur qui s'accorde suflisamment avec la première des cinq que nous avons données ci-dessus, savoir :

w" = = - 35» 9' 3" . 385o54- II. 36

28a THÉORIE DES .NOMBRES.

Nous en conclurons que l'angle 6 satisfait exactement, et non pas

simplement par approximation , à la condition

50= i5«— 58 — aô"— e'=a* + 3e +4ô'-h26"'+e*"— ô\

Connaissant w", l'équation T"»=A"T donnera la valeur de T*, au moyen de l'angle

w'=ac"- d"=6o. — 20— 20 — 0".

Donc la somme des deux termes T'+T jointe à celle de leurs compléments T" + T"" , sera

2/i7[cos.(3w — 6 — ©) + COS.(6<u — 2 6 — 6" 20)].

(58a) Pour former la somme de toutes lesquantités T,T\T" . . .T"", il ne reste plus qu'à trouver la valeur de T" et de son complément T";oron aT"> = A"T'*,etpar conséquent T,T*=A,TT'*T"=/iA';

faisant donc à l'ordinaire T,T=/i * (cos.»" -+• \/ — isin. «"), on aura

3w" — 6" = o, 37T, ou 4*, ce qui donne «'* égal à l'une des quantités

Pour savoir laquelle de ces trois valeurs doit être employée concurremment avec celle de u, il faut recourir au même principe qui nous a servi à déterminer la valeur de ta".

Pour cet effet soit TT/"=M'T", on prouvera aisément que M' doit être une fonction de R indépendante des racines p. Donc M' sera le coefficient de p dans la valeur du produit TT", développée de manière que les différents termes ne contiennent les racines p, p\p" . . . que sous forme linéaire. Or par une analyse semblable à celle qui nous a donné la valeur de M dans l'équation TT' = MT",

od trouvera

M'=2R'+2R8+ aR' + aR» — 5R";

cette quantité étant représentée à l'ordinaire par

n^(cos.e'-t-V/— isin.6'), on aura pour déterminer 0', les deux équations

n » cos. 0 = 7 — 6 cos. 3 p = — î . 354 1 o 1 9662 5o

/» • sin. e' = 4 sin. a |i — 2 sin. 3 fi -h 5 sin. 5 y. = 5 . 4oo5o, 32882 4 1 » d'où résulte

0' = io4,4'3a".57io39.

Comparant cette valeur à celle de 0, il est manifeste qu'on doit avoir 0'=0 — ia*=0 — et en effet cette équation peut être démontrée rigoureusement au moyen des équations qui déterminent les cosinus et sinus des angles 0 et 0'.

(583) Connaissant 0' on aura la valeur de «" correspondante à celle de w , savoir :

Mais d'un autre côté on a

76"=22°58'57".93of>78.

Ainsi la valeur de w" coïncide exactement avec celle de -j , d'où résulte la nouvelle équation de condition w -t- «"'=0'+ je", ou

Multipliant cette équation par 3 et mettant au lieu de i5o> sa valeur 86 + 4 ô'+ 2 ô"'+ 6"' + 36o° , on aura

Enfin la comparaison des valeurs de ces différents angles donne l'équation 0=0 + 6'— 0"+ 72% qu'on pourrait sans doute dénion-

a84 THÉORIE DES NOMBRES.

trer rigoureusement par nos formules. Ainsi nous avons entre les angles 6 deux équations , savoir :

lesquelles peuvent servir à déterminer deux de ces éléments par le moyen des cinq autres.

Si on réunit maintenant dans une seule somme toutes les valeurs de T depuis T, T', T". . . jusqu'à T*" , et qu'on y joigne l'équation — i =p + p+p " • • •+/*"*» on aura pour déterminer p l'équation

1 5/7= — 14- an * (cos.w 4-COS.w'-+- COS.u" 4- COS. 4- COS. w" -+- COS.w* 4- COS.»"'),

où il ne reste plus qu'à substituer les valeurs des angles w, déterminées par les calculs précédents.

Voici les valeurs de ces angles, tant exactes qu'approchées :

u' =aw + «' u"=5w+a"

« =— 0 = 8ie i8'a3" .727116

(584) H nous reste à substituer dans la formule générale la valeur trouvée ci-dessus pour o> , afin de calculer au moins approximativement cette formule , ce qui fera connaître celle des racines p = ^

que la formule représente. Voici donc la valeur des différents angles <o dont il faudra calculer les cosinus :

Il suffirait pour notre objet de calculer ces cosinus par le moyen des tables à sept décimales seulement, mais pour plus d'exactitude nous donnons ici le résultat du calcul fait avec des tables à quatorze décimales :

2«y(C0S.a> +COS.«') = 12.8674902836 4577

2 n » (cos. «" + cos. uS) = 19. 55799 2°44a fyfi0 2/ivcos.w" = 10. a5i6i 707829619

42.6770994062 11 56 — 1 + 2 h » (cos. *"'+ cos. «"')=— 13 . 29 1 20 1 1 688 23 1 1

3ocos.^ = 29.3858g 83373 8845

cos-3T== °-9795a .994 124628 Or par les tables de la Trig. Brit. , on trouve

On voit par conséquent que la valeur de ~p donnée par notre formule est celle de cos.^-

(585) Si la valeur de « est augmentée successivement de jx, 2(1, 3 p. , etc. , (i étant ^ ou 24*, et que d'après chaque valeur de u> on forme les valeurs correspondantes de <*\ «" . . . wT, WT", la formule donnera successivement toutes les autres valeurs de p ou de 2 cos. —

dans l'ordre p, p\p" . . ./?*", indiqué par la racine primitive que nous avons adoptée ou dans l'ordre inverse. Ainsi à partir de a cos. — que nous avons déterminé , on obtiendra les valeurs des quinze racines acos.^, soit dans l'ordre

arc 6n i8r Sx aAir

acos. , 2cos. , acos.-^-, acos. > 2C0s Jp

iott 3oic 28t: aaïc An

acos.-^ — . acos. -=—, acos.-*—, a cos. -5—, acos-^- 01 7 3i ii 01 3i

îa* a6ir i6w iAt aow

a cos. -3— , a cos. , a cos. , a cos. -J- , a cos. -yj- ,

indiqué par la racine primitive #=3, soit dans l'ordre inverse

air aow îAit 161c

acos.y^, acos.-^j-, acos.-yj-, acos.-^-, etc.

On déterminera aisément lequel de ces deux ordres a lieu , en calculant la formule d'après la valeur de 0» augmentée de 24°, c'est-à-dire d'après la valeur

w = a3* 5a' ai". 8a, etc.

L'addition de ^ à la valeur de w en produit une de a p sur la valeur de u, de 3pi sur celle de «", etc. On aura donc les valeurs suivantes:

a, = a3° 5a' 2i".8u w' = 1 29 3 7 . 3y *>" = 36 r>o 56 .Gi5 o/" = aa3 ii 8 .68 u." = i4a 58 57 .93 WT =164 9 43 .48

Et en se bornant à sept décimales le calcul de la formule donnera \p= — 0.44039437 : ce cosinus répond aussi exactement qu'il est

possible à l'angle y^-= 1 16* 7' 44" ^2,

Ainsi en augmentant successivement de p ou a4* la valeur de w, et calculant les valeurs correspondantes de *»T", on

obtient toutes les racines de l'équation proposée dans l'ordre p , p",p"" . inverse de celui qui est indiqué par la racine primitive #=3. Ces racines suivraient l'ordre direct si, au lieu d'augmenter continuellement la valeur de u , on la diminuait de la même quantité en mettant successivement au lieu de u les valeurs u — p, « — 2p, u — 3|A,etc.

(586) Quoi qu'il en soit la formule générale

\j> = + ^ [COS. co 4- COS. (a a 4- a') -h COS. (3o> -f- et")

4- COS. (4w 4- a") 4- COS. (5u 4- a") 4- COS. (6o> 4- a*) 4- COS. (8 *> 4- a'")] ,

qui donne la valeur exacte de la racine cos.^ , lorsqu'on fait

donnera aussi à volonté la valeur de toute autre racine désignée par cos-t^; il suffit pour cela de mettre dans la formule w 4- m p. à la place de o» , m étant le rang de a i dans la suite

ao, i4, 16; a6, la, 4; aa, a8, 3o; io, a4, 8; 18, 6, a.

Par exemple, pour obtenir directement la valeur de cos. ^ ou

de — cos.^t il faudra mettre dans la formule <•> 4- ()\t. ouu 4-ai6* à la place de w.

Nous sommes donc parvenus à une formule générale qui donne à volonté toutes les racines de l'équation en p, ou toutes les valeurs

de cos. 4^, i étant tout nombre proposé de i à i5.

Dans cet exemple tous les angles 6 peuvent se construire géométriquement, puisque les angles p dont ils dépendent, supposent seu-

a88 THÉORIE DES NOMBRES.

lement la division delà circonférence en 1 5 parties. Par conséquent la division de la circonférence en 3i parties peut s'exécuter par la division en 1 5 parties d'un arc 1 5 u déterminable géométriquement.

Cette division en i5 parties s'opère par la division dn même arc en 5 et en 3 parties. Si suivant la méthode ordinaire nous eussions résolu l'équation en p, d'abord par une équation du 5e degré, puis par une équation du 3e degré, la première aurait exigé la division d'un arc en 5 parties, et la seconde la division d'un autre arc en 3 parties; à cet égard comme à plusieurs autres la solution eût été moins simple que celle que nous venons d'exposer.

Exemple IL » = i3, k—6.

(5Sj) Dans ce cas l'équation à résoudre est

o=p6+p% — 5p* — 4/>J + 6p* + Sp—i.

Soient p, p, p", p", p" , p1 , les racines de cette équation; si on prend pour racine primitive de i3 le nombre #=a, ces racines représenteront les périodes de deux termes (2 : i), (a : a), (2 : 4), (a : 5) , (a: 3), (a: 6), et en désignant par r une racine imaginaire quelconque de l'équation x'1 — 1 =o, on aura

p = r' + r" p"'= r5 + r~" p — r* + r— pn=.r* 4- r~!

De là on tire les carrés et les produits deux à deux des racines , réduits à la forme linéaire , comme il suit :

p' =2+p' pp =p +p" PP"=P'"+P" pp"=p"+p'

p"=2+p" p'p"=p+p* pp"=p"+p* p'p"=p'"+p

p'" = 2 +p"' p"p"'=p" +p p"F=p +p py =p"+p' p""=2+p» p"'p"=p"'+p' P'y=p+p' />'*•= 2 +/>" p"p*=p"+p" p"p =p'+p" y?'»— 2+/» p p —p +p p' p =p+p

CINQUIEME PARTIE. a89 (588) Soit R une racine imaginaire de l'équation R5 — 1=0; nous prendrons R=cos. — isin.ji en faisant ji = -^=6o" (on pourrait prendre également n = ^. Nous ferons ensuite

T=p+p'R+p"R'+p"'Ri+p"R*+p*Rs,

et nous désignerons à l'ordinaire par T, T",T"', T", ce que devient le polynôme T , lorsqu'au lieu de R on met R" , R1 , R4 , R5 , respectivement.

Lorsque k est pair comme dans cet exemple et dans tous ceux où n est de la forme + i , on ne peut plus supposer la valeur de T1 composée seulement avec des puissances paires de R , comme nous lavons fait pour les cas où le nombre k est impair ; il faut alors supposer

T*= a + a'R' + a'R* + bR + b'Ri+b'Ri,

et on continuerait ces suites plus loin, savoir jusqu'à la puissance R*- 1 , si k était plus grand que 6. Dans cette formule les coefficients a, a , a", seront assujétis à une loi , et les coefficients b , b' , b" , à une autre loi. On aura en effet

a =/?' + /?' "' -I- a p'py 4- zp"pw a! =//' -+- p"> + ip'p -*- a/>' a=p"*+ p"* + 2p"'p'-t-2px*p

b = app +2jfp" +2p"p" b' =*p'p" + a/)/'+a p'p" b"=zp"p"+2p'p"+*pp'

Ces coefficients doivent être réduits à la forme linéaire, mais il suffira de calculer les deux premiers a et b, car on voit bien que les autres se déduiront de ceux-ci en avançant progressivement d'un rang les lettres p , p ' . . .p\ On trouvera de cette manière

a =a — p' —p" b =zp -h Zip -4- a/?'"-f-4/>"

a' = 2—p"—p* b' =ap + kp" + np"+4p*

a= %-p"-p b"= zp" + 4/>"'+ V + 4/> IL 37

aoo THÉORIE DES NOMBRES,

et la valeur de T* sera

T'= a(i + R' + R«) 4-R (a// +Ap +a/>"'+4/i") — p —p"R'-p'"R* + R3(a/>* + 4^" +2p"+4p')

—/>"—// R'—^R1 + Rs(a/' + bp'+zp* +l±p).

Il faut ensuite ordonner cette quantité par rapport à p,p' •••/>', après avoir mis préalablement la partie constante a + aR*+ aR4(i) sous la forme

-(2+2R-+ aR'X/> +//+/>"-+-/»'"+/»"), ce qui donnera

T= /; (— a + aR — aR* — 3R4+4Ri) +p' (— 3 + 4R— aR' aR>— aR4) +p" ( a — 3 Rl + 4RJ — a R4+ a Rs) +p'"(— a + aR — aR'— 3RM-4R5) -+-/>"(— 3 + 411— ail' + aRJ— aR4) +p- ( 2 3R« + 4R1 — a R4+ aR8).

Soit A le coefficient de p dans cette expression, il est facile de voir que AR" sera le coefficient de p, AR4 celui de p" , etc. Donc en faisant

A = — a + aR— aR'— 3R« + 4RS,

ou aura