TT

(58o) Pour cela soit -^-= M , je dis que M sera une fonction de

R seule , indépendante des racines p; en effet, si on avance d'un rang

les quantités p, les polynômes T,T,T", deviendront g, j^; donc -Tp restera constant. H ne s'agit dôtic que de trouver la fonction M d'après l'équation T T'=M T, et il résulte de cette équation' que M devra être de la forme V (cos^e + V/— 1 sin. e)> car comme

on a

T = n~ (cos. <■> — i sin. «) T = «* (cos.«'-f 1/ — isin.«') T"=»î(cos.M"+l/ — i sin.«"), il s ensuit que la valeur de M est

M = n* [cos. (« •+- « — un") -f- \/ — i sin. (» + »' — «*")].

Ainsi on devra avoir «t ■+■ — »"= e , et lorsque O sera connu , on déduira de cette équation la valeur de

Pour avoir la valeur de M il faudra développer le produit des deux polynômes,

T =p+pR +/7"R*-h/"Rï -^"R*

et réduire les différents termes à la forme linéaire en p,p',p"7 etc. Dans ce développement on peut se borner aux seuls termes qui contiennent p; car comme on doit avoir TT=MT" = M(/?+/?'RJ +//'R6 + etc.), il est évident que M sera égal à la somme des termes qui multiplient p.

J'observe d'abord que le terme constant a se trouve dans l'expression des carrés p* = a , p'' = a +p%> p"'= a -+-/>" , etc. , et que a peut être remplacé par sa valeur — a p — a p' — a/?" . . . — a/?*"; ainsi le produit TT contient une première partie affectée de p , savoir :

provenant des termes p* -h p'1 RJ 4- />"* R' + etc.

Mais il est facile de voir que cette partie se réduit à zéro, car elle

est égale à —a/?. t u, =—<xp. .(i -t-R-'+R*'); or on est

convenu de prendre pour R une valeur imaginaire qui rend R'*= i , sans rendre Rs= i. Ainsi les termes du produit TT' affectés des

a8o THÉORIE DES NOMBRES.

carrés p\p'\ etc. , ne produisent aucun terme linéaire affecté dep, si ce n'est le terme R", qui se réduit à (a +/>) R'1, et qui donne ainsi dans la valeur de M une première partie R'* ou R*.

Maintenant si les racines p, exprimées en général par ra + r~", sont rangées dans Tordre numérique des exposants et, on aura

=rï + /-î

px"

tu

Par cette disposition on voit immédiatement que dans le produit TT le terme linéaire affecté de/?, ne peut résulter que du produit de deux termes consécutifs de la suite précédente, savoir des termes,

pp",p"p,pp"\p"y pr"p"-

Et comme chacun de ces produits pm pn appartient à deux ternies

/; p R , p p tt. du produit 1 1 , il en résultera deux

termes Rm+a"-t- n21"^ dans la valeur de M. Ajoutant donc toutes les quantités ainsi formées, réduisant les exposants, lorsqu'il y a lieu , d'après l'équation R,i= i , et joignant à cette somme la partie déjà trouvée R1 , on aura la quantité cherchée

M = 2 + 2 + 2R+4Rï+3R*+4Rl+aR«+aR' R* -t- R'+ aR"-t- 4 R" + R'1 + R*.

Or il existe des réductions générales dans les puissances de R; on a d'abord l'équation

o=i -4-R + R'-f-RJ R'4.

Ensuite puisque la valeur de R est choisie de manière qu'on n'a ni i — RJ = o, ni i — Rs = o, on pourra déduire de l'équation i — R,6=o les deux suivantes :